精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

绝密★启用前 2023—2024学年度第二学期0330第一次质量检测试题 高一年级数学 一､单选题（共40分） 1. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 2. 如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 3. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 已知向量，不共线，向量，，且，则（ ） A. －3 B. 3 C. －6 D. 6 6. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 7. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则＝（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若 ，则与的方向相同或者相反 B. 若，为非零向量，且 ，则与共线 C. 若 ，则存在唯一的实数 使得 D. 若 是两个单位向量，且 ，则 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为或 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则b的取值范围是 D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9 三､填空题（共15分） 12. 设平面向量，点，则点B的坐标为______. 13. 已知，向量，则的最大值为__________________. 14. 在中，，，则外接圆半径为______. 四､解答题（共77分） 15. 已知向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，证明：； （2）若，求周长的最大值． 19. 如图，在中，点在边上，． （1）若，求； （2）若是锐角三角形，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2023—2024学年度第二学期0330第一次质量检测试题 高一年级数学 一､单选题（共40分） 1. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 2. 如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的边上的中线， 所以，所以 . 故选：C 3. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得，由此即可得解. 【详解】由题意是两个单位向量，且， 所以，解得， 由，所以. 故选：C. 4. 已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】判断两向量是否为非零的不共线向量，若是可作为基底，若不是则不可以作为一组基底. 【详解】A选项，设，则，无解，故和是不共线的向量，可作为一组基底，A错误； B选项，∵， ∴和共线，不能作为一组基底，故B正确； C选项，设，则，无解，故和不共线，故可作为一组基底，C错误； D选项，设，则，无解，和不共线，可作为一组基底，D错误.. 故选：B 5. 已知向量，不共线，向量，，且，则（ ） A. －3 B. 3 C. －6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，从而得到，得到方程，求出的值. 【详解】设，则， 故． 故选：D 6. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 7. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则＝（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)， ＝(4，1)，＝(2，3)， ＝4×2＋1×3＝11， 故选：B. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 8. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理得，又，代入面积公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 则， 故选：D. 二､多选题（共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若 ，则与的方向相同或者相反 B. 若，为非零向量，且 ，则与共线 C. 若 ，则存在唯一的实数 使得 D. 若 是两个单位向量，且 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用零向量与任意向量平行可判定A，利用共线向量的定义可判定B，利用共线向量的充要条件可判定C，利用平面向量的数量积与模长关系可判定D. 【详解】对A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误； 对B，分别表示，方向上的单位向量，根据题意可知B正确； 对C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数 使得 ，故C错误； 对D，由， 所以，故D错误. 故选：ACD 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】BD 【解析】 【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项． 【详解】因为点，，， 所以，，所以， 所以，故A选项错误； 设与的夹角为，所以， 所以与的夹角为，故B选项正确； 设与同向的单位向量为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项错误； 因为，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 故D选项正确. 故选：BD. 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则b的取值范围是 D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】选项A，因为，即， 所以有 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确. 选项C，如图，若有两解，则， 所以，则b的取值范围是，故C正确． 选项D，的平分线交于点D，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（共15分） 12. 设平面向量，点，则点B的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量加减法的三角形法则可得. 【详解】设，则， 点的坐标为. 故答案为： 13. 已知，向量，则的最大值为__________________. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得，结合题意利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 又，所以， 故，当且仅当，结合，即时取等号， 故的最大值为， 故答案为： 14. 在中，，，则外接圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径. 【详解】因为，故, 故，故为锐角，故， 故外接圆的半径为， 故答案为：. 四､解答题（共77分） 15. 已知向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可； （2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解. 【小问1详解】 由题意，设， 因为，所以，所以， 所以或． 【小问2详解】 因为， 所以，所以， 即， 设与的夹角为，则， 又，所以，所以与的夹角． 16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； （2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为E是AD的中点， 所以 . 【小问2详解】 因为，与的夹角为， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边求解； （2）利用余弦定理与三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 ，，则． 又，所以． 【小问2详解】 ，， 因为，则， 故的面积． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，证明：； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） 证明：由余弦定理知和， 得， 又，则， 结合正弦定理得， ； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合题设可得，再利用正弦定理边化角，即可证明结论； （2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周长的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，又， 故，即， ，所以， 则，故，当且仅当，即时取等号， 故，即周长的最大值为6. 19. 如图，在中，点在边上，． （1）若，求； （2）若是锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，则，再次利用余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理可得，再利用三角恒等变换结合角的范围即可得解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即，而，解得， 则， 在中，， 由余弦定理得． 【小问2详解】 在锐角中，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $