精品解析：四川省成都市双流区成都棠湖外国语学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

2023-2024学年四川省成都市双流区棠湖外国语学校 九年级（下）月考数学试卷（3月份） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 1. 四个实数，0，2，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9，8 B. 9，9 C. 8.5，9 D. 8，9 5. 如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴是直线，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 点在函数图象上 9. 因式分解：______． 10. 点在反比例函数的图象上，该反比例函数位于第_____象限． 11. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 12. 分式方程的解是____________． 13. 如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则___________． 14. （1）计算：． （2）解关于的不等式组：． 15. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 16. 避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 17. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 18. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是轴上一点，且，求点的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？直接写出点的坐标． 19. 如果时，那么代数式的值______． 20. 若是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则另一根为_____，c=_____． 21. 如图，AD为的中线，点E，F分别为的中点，连接 ．现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ______________ ． 22. 如图，正方形的边长为，曲线叫“正方形的渐开线”，其中、、、、的圆心依次按，，，循环，长度分别标记为，，，，当弧线长度标记为时，的值为______． 23. 在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 __________． 24. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； （3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省成都市双流区棠湖外国语学校 九年级（下）月考数学试卷（3月份） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 1. 四个实数，0，2，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的数是2． 故选：C 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法运算法则、完全平方公式及幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘除法运算法则、完全平方公式及幂的乘方进行计算即可得出答案． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9，8 B. 9，9 C. 8.5，9 D. 8，9 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义进行解答即可． 【详解】解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9； 从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位线是8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的定义，解题的关键是熟练掌握将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值．如果一组数据有偶数个，那么中位数就是处于中间位置的两个数的平均值． 5. 如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴，故选项A、D结论正确，不符合题意； 又是的角平分线，， ∴，故选项B结论正确，不符合题意； 由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可． 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，得到，就是平移后的对应点的坐标． 【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键． 7. 程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，设大和尚有人，则小和尚有人，根据馒头总数列方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人，由题意， ； 故选C． 8. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴是直线，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 点在函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．根据对称轴的位置和与轴的交点即可判断；根据时，，即可判断；根据抛物线与轴的交点个数即可判断，根据抛物线的对称性即可判断． 【详解】解：、抛物线对称轴位于轴的右侧可得、异号，与轴的正半轴相交，则， ，故本选项结论错误； B、时，， ，故本选项结论错误； C、抛物线与轴有两个交点， ，故本选项结论错误； D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则另一交点坐标是， 点在函数图象上，故本选项结论正确． 故选：． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键；原多项式根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 点在反比例函数的图象上，该反比例函数位于第_____象限． 【答案】二、四 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数图象上分布在第二、四象限． 故答案为：二、四 11. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 12. 分式方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程，并检验，从而可得答案. 【详解】解： 去分母得： 整理得： 解得： 检验：把代入中得： 所以是原方程的根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键，注意一定要检验. 13. 如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则___________． 【答案】15 【解析】 【分析】证明是等边三角形可得，再求出，利用等腰三角形的性质可求出，进而可求出． 【详解】解：连接， 由作图方法可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 14. （1）计算：． （2）解关于的不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解． （1）原式第一项化简三次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的意义化简，即可得到结果； （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 由得， 由得， 所以不等式组的解集为：． 15. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 【答案】（1）20；18；36 （2）恰好都是女性的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了统计图、列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据统计图中的信息，列式计算即可； （2）由题意得，用现金支付方式的居民里有名女性，根据题意列出表格，结合表格再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由统计图可得，本次调查的总人数为：， ， ， 在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为． 故答案为：20；18；36． 【小问2详解】 由题意得，用现金支付方式的居民共有5人， 用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性， 用现金支付方式的居民里有名女性， 设男性为、，女性为、、，列表得： 由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种， 恰好都是女性的概率． 答：恰好都是女性的概率为． 16. 避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：m， ∵， ∴，即， 解得：m， ∴m ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键． 17. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，为半径， ∴为的切线． （2），． 【解析】 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可， （2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 18. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是轴上一点，且，求点的坐标； （3）在坐标轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）存在，点的坐标为，，或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，关键是注意分类讨论． 将点代入反比例函数中，求得反比例函数的表达式，可得点坐标，将、两点代入一次函数中，可得一次函数的表达式； 设，即，对于一次函数，令，求得点坐标，因为，，，可得，解得的值，即得点的坐标； 分四种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 将点代入反比例函数中， 得，， 解得：， 反比例函数， 将点代入反比例函数中， 得，， 解得：，即， 将、两点代入一次函数中， 得，， 解得：，， 一次函数； 【小问2详解】 设，即， 对于一次函数，令，则，即， ，，， ， 解得：， 或； 【小问3详解】 ， 设，过作轴，交轴于点， ， ，即， ， ， ， ，即， 对于一次函数，令，则，即， ， 解得：， ， ， 设，过作轴，交轴于点， ， ，即， ， ， ， ，即， ， 解得：， ， ， 设，过作轴，交轴于点， ， ，即， ， ， ， ，即， ， 解得：， ， ， 设，过作轴，交轴于点， ， ，即， ， ， ， ，即， ， 解得：， ， 综上，点的坐标为，，或． 19. 如果时，那么代数式的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，用了整体代入思想．先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 故答案为：． 20. 若是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则另一根为_____，c=_____． 【答案】 ①. 2﹣ ②. 1． 【解析】 【详解】∵关于x的方程x2-4x+c=0的一个根是2+， 设方程的另一根为t，则2++t=4， 解得，t=2-． 根据根与系数的关系得：c=（2+）（2-）=4-3=1． 考点：1．一元二次方程的解；2．根与系数的关系． 21. 如图，AD为的中线，点E，F分别为的中点，连接 ．现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ______________ ． 【答案】． 【解析】 【分析】根据三角形的中线把一个三角形分成面积相等的两部分，和三角形的中位线的性质，求出阴影部分的面积之和，再根据概率=相应的面积与总面积之比求解即可． 【详解】解：∵AD为的中线， ∴ , 又∵点E，F分别为的中点， ∴是的中位线，CE为的中线， ∴，， ∴ ， ∴（针尖落在阴影区域的概率）． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了中线的性质和中位线的性质，以及概率=相应的面积与总面积之比，熟悉相关性质是解题的关键． 22. 如图，正方形的边长为，曲线叫“正方形的渐开线”，其中、、、、的圆心依次按，，，循环，长度分别标记为，，，，当弧线长度标记为时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式．每一条渐开线都是一段弧，圆心角都等于，半径分别为，，，，，再计算弧长． 【详解】解：当时，由题意可得：的半径为，圆心角为， 故． 故答案为：． 23. 在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短．不论P怎么运动，保持不变，则的外接圆中所对的圆心角为，从而的圆心与半径确定，于是可得当点F在与的交点位置时，就取最小值，求出此时的值便可． 【详解】解：作的外接，连接、、、，在优弧上取点M，连接、，过O作，与的延长线交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∴点F在的外接上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当A、F、O三点依次在同一直线上时， 的值最小， 故的最小值为：． 故答案为：． 24. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应为元或元； （3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得： ， 解得：，， 答：销售单价应为元或元； 【小问3详解】 由题意可知： ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，有最大值，． 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； （3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标； （2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解； （3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得． 【小问1详解】 解：将，代入解析式得， ， 抛物线的解析式为， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下； 如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于， ∵，， ∴，即，点即为所求； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，的对称轴为直线， 将代入得，， ∴， ∴存在，． 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式是解题的关键． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：∵， （2）18； （3）． 【解析】 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， 【小问3详解】 解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $