精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2023-2024学年 高二下学期期中考试数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 140 B. 70 C. 154 D. 77 2. 椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，已知，，且（），则（ ） A. 13 B. 9 C. 11 D. 7 4. 已知等差数列，若、是函数的极值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知函数满足，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，为其前n项和，首项，又函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题3题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若p，q为实数，则是等比数列 B. 若数列的前项和为，则，，成等差数列 C. 若数列的公比，则数列是递增数列 D. 若数列的公差，则数列是递减数列 10. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ） A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 11. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 若函数的导函数为，且满足，则_________. 13. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________． 14. 学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想（，1，2，…）是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设（，2，…），，则数列的前n项和________． 四、解答题（本题共5题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 17. 如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. （1）求证：BF∥平面 ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间; （2）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2023-2024学年 高二下学期期中考试数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 140 B. 70 C. 154 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果. 【详解】等差数列的前n项和为， . 故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题. 2. 椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的几何性质由等比中项性质可得，即可求离心率. 【详解】根据题意可得， 由是，的等比中项， 可得，可得， 所以． 故选：B 3. 在数列中，已知，，且（），则（ ） A. 13 B. 9 C. 11 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式，结合，通过赋值，即可求得. 【详解】由题意可知，. 故选：C. 4. 已知等差数列，若、是函数的极值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，利用韦达定理和等差中项的性质可求得的值. 【详解】，， 由韦达定理，又，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了等差中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 5. 函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案. 【详解】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：， 设切点为， 又因为，所以，解得， 所以切点， 又因为点到直线的距离为， 所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是. 故选：B. 6. 已知函数满足，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令，求出，再根据函数解析式令，求出，即可求出函数解析式，再利用导数求出函数的增区间即可. 【详解】由， 得， 则，所以， 则， 故，所以， 所以，， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 而， 令，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：D. 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除B，利用函数值正负可排除A，再根据单调性排除D，得解. 【详解】令，， 因为，所以是奇函数，排除B， 又当时，恒成立，排除A， 当时，， ， ，，函数单调递增， 当时，，即函数单调递减，故D不正确. 故选：C. 8. 在数列中，为其前n项和，首项，又函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据，可得，再利用待定系数法求出数列的通项，再利用分组求和法即可得解. 【详解】因为， 所以， 若，则， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 故，所以． 故选：C. 二、多选题（本题3题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若p，q为实数，则是等比数列 B. 若数列的前项和为，则，，成等差数列 C. 若数列的公比，则数列是递增数列 D. 若数列的公差，则数列是递减数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差、等比数列及其前n项和性质直接判断可得. 【详解】取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确. 故选：BD. 10. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ） A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 【答案】AC 【解析】 【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项. 【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确； 选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等， 说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误； 选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内， 血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确； 选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为 和，显然不相同，即选项D不正确． 故选：AC. 11. 已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可 【详解】对于A，，令，得或，有“巧值点”； 对于B，，令，得，有“巧值点”； 对于C，，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”； 对于D，，令，即，得，无解，无“巧值点”. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 若函数的导函数为，且满足，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】令即可求得的值. 【详解】令得：. 故答案为：1 13. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据单调性求出函数极值点，根据极值点的位置列不等式求解. 【详解】由已知， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 所以在时取最大值，所以 解得. 故答案为： 14. 学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想（，1，2，…）是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设（，2，…），，则数列的前n项和________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数式的运算，求出，得数列的通项，裂项相消求前n项和. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列的前n项和． 故答案为：． 四、解答题（本题共5题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值. 【小问1详解】 的定义域为， ，所以， 又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出和，可求数列的通项公式； （2）求出数列的通项，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意，可得，即， 解得或，又， ，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 则， 有， 两式相减得， ， . 17. 如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. （1）求证：BF∥平面 ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)．设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h)． 依题意，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又＝(0，2，h)， 可得，又因为直线 BF⊄ 平面 ADE ， 所以 BF∥平面 ADE . （2）. 【解析】 【分析】（1）建立如图的空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量＝(1，0，0)，证得，即可证出结论； （2）利用空间向量的夹角坐标公式以及空间向量夹角与线面角的关系即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）解:由（1）得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2)， 设＝(x，y，z)为平面BDE的法向量， 则，即， 不妨令z＝1，可得＝(2，2，1)， 因此有. 设直线CE与平面BDE所成角为， 因此 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间; （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 因为当时，恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围为. 19. 已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可； （2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可； 【详解】解：(1) 由题意：， ∴， 则椭圆的方程为 (2) ∵斜率均存在 ∴设直线方程为：， 再设，则有， 联立得：， 消去得：， ∴，即， 将上式中的换成，同理可得：， 若，解得：，直线斜率不存在， 此时直线过点； 下证动直线过定点， 若直线斜率存在，则， 直线为， 令，得， 综上，直线过定点； 【点睛】此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $