精品解析：广西南宁市马山县周鹿中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年广西南宁市马山县周鹿中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断. 【详解】且，则；且，则，所以. 故选：A 2. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设，则，所以， 则，所以. 故选：A 3. 设函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且，则（ ） A. 的周期为 B. 的单调递减区间为 C. 的图像与的图像重合 D. 的对称轴为 【答案】C 【解析】 【分析】利用题意求出，然后再判断每一个选项的正误即可. 【详解】选项A:∵在区间上具有单调性，且，∴和均不是的最值点，其最值应该在处取得，∵，∴也不是函数的最值点，又在区上具有单调性，∴，得 为一个与对称轴相邻的对称中心，故函数的最小正周期，所以A错误； 选项B:由选项A可知，所以，因为，，过点可得 ，所以，令，得的单调递减区间为，所以B错误； 选项C：，所以C正确； 选项D：令，得的对称轴为，所以D错误． 故选：C． 4. 在中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，根据共线可设，，结合已知及平面向量的基本定理列方程组求参数值. 【详解】由题设，，又，且， 所以，即，解得. 故选：B. 5. 已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示以及数乘运算解方程组可得结果. 【详解】设，则， 由，解得， 即. 故选：A. 6. 设，则复数的实部和虚部之和为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法可得，从而可得其实部和虚部之和. 【详解】，故其实部为，虚部为，两者的和为， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法以及复数的虚部和实部，注意复数的虚部为，本题属于基础题. 7. 已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长. 【详解】如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、， ，为的中点，则， 平面，平面，， ，平面， 、分别为、的中点，则且，平面， 平面，所以，平面平面， 所以，平面即为平面，设平面交于点， 在直棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 、分别为、的中点，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 且，且，所以，四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面， 设平面平面，平面，所以，，， ，所以，四边形为平行四边形，可得， 所以，为的中点， 延长交于点，，所以，，， 又，所以，，，为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面平面，， ，，，，为的中点， ，，则， 为的中点，，则，同理， 因为直棱柱的棱长为，为的中点，， 由勾股定理可得，同理可得， 且，平面，平面， 平面，， 、分别为、的中点，则，， 由勾股定理可得，同理. 因此，截面的周长为. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查直棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置． 8. 梯形ABCD，上底，腰，下底，以下底所在直线为轴，则由斜二侧画法画出的直观图的面积为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合斜二测画法确定直观图对应梯形上下底、高，即可求面积. 【详解】如下图，若为等腰梯形的高，则，且 由斜二测画法知：，且梯形的高为， 所以直观图的面积为. 故选：A 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数解析式为 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数的定义域为 D. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由三角函数的性质求出函数解析式为可判断A；可判断B；求函数的定义域即为，解不等式可判断C；由三角函数的平移变化结合三角函数的奇偶性可判断D. 【详解】由题意知，该函数最小正周期为，解得， 即，将点代入，得， 所以，函数解析式为，选项A正确； 对于选项B，，因而选项B正确； 对于选项C，，满足， 所以，解得，从而选项C正确；对于选项D，由题意，， 根据该函数为奇函数，知，从而得到， 所以b的最小值为，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【解析】 【分析】利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B. 【详解】对于A，当时，与不一定共线，故A错误； 对于B，由，得， 所以，， 同理，，故是三角形的垂心，故B正确； 对于C，由共线向量的性质可知，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误. 故选：BC 11. 对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用新定义和复数的运算性质求解． 【详解】对任意复数，，定义，其中是的共轭复数， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，令，，则，， 所以，故D错误． 故选：AB． 12. 已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 的取值范围为 C. 若为线段上的动点，则 D. 过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】依次判断每个选项，直接计算A正确；当时，，B错误；当三点共线时最小，根据余弦定理计算得到C正确；计算截面，根据均值不等式计算得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：母线长，侧面积为，正确； 对选项B：中，，，则当时， ，错误； 对选项C：为等腰直角三角形，，将放平得到，如图2所示，当三点共线时最小，为中点，连接，则，， ，正确； 对选项D：如图3，设截面为，为中点，连接，设，，则 ，当，即时等号成立，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中侧面积，截面积和线段和的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和空间想象能力，其中，将空间的线段和转化为平面的距离是解题的关键. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用含有量词命题的否定及不等式恒成立可解得a的最大值 【详解】由特称命题的否定可知： ，的否定为，且为真命题. 分离参数化简得：恒成立. 对，当且仅当时取得最小值4， 即，∴a的最大值为5 故答案为：5 14. 已知单位向量满足，则的范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用向量数量积的定义及运算得到，再利用，即可求出结果. 【详解】设的夹角为， 因为， 又为单位向量，得到， 又，得到，所以， 故答案为：. 15. 在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】 根据复数的几何意义 由，得到，点的坐标为，设点的坐标为，再根据三角形是以为斜边的等腰直角三角形，则有，再运算求解.. 【详解】因为， 所以，点的坐标为. 设点的坐标为， 则. 由题意得，， 所以， 解得或， 所以复数或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 16. 为不超过1996的正整数，如果有一个，使成立.则满足上述条件的值共有_________个. 【答案】498 【解析】 【详解】∵， 又， ∴. ∵. ∴，. 即不超过1996被4除余1的正整数都合要求，这种数共有个. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设函数． （1）设，求函数的最大值和最小值； （2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数的图像特性即可求其最大值和最小值； (2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间. 【小问1详解】 ， ∵，， ∴， ∴函数的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 ， ∵该函数为偶函数，∴，得， 又∵，∴k取0，， ∴， 令，解得， 从而得到其增区间为． 18. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得， 则， 所以. 19. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）计算出，根据对应点所在象限列出不等式组，求出实数的取值范围； （2）根据题意得也是方程的一个根，由两根之和求出，进而得到，计算出的值. 【小问1详解】 . 因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以， 解得.因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为虚数是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 于是，解得. 所以，， 因此. 20. 圆锥底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可． 试题解析：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，得圆锥的轴截面，正方体对角面，如图所示． 设正方体棱长为，则，， 作于，则，， ∵，∴，即， ∴，即内接正方体棱长为． 考点：简单组合体的结构特征． 21. 一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. （1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； （2）当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【小问1详解】 设游船的实际速度大小为， 由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. 【小问2详解】 当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示， ，则， 在Rt中，，从而，因此， 故游船的实际航程为. 22. 已知是关于的实系数一元二次方程. （1）若是方程的一个根，且，求实数的值； （2）若是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值. 【答案】（1）或或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论是题设方程的实根或虚根两种情况，实根时直接将代入即可求得值，虚根时利用韦达定理及判别式即可求得值，由此得解； （2）利用韦达定理求得，从而列出的所有可能取值，再利用一元二次方程的判别式即可确定所有取值. 【小问1详解】 因为是关于的实系数一元二次方程，所以, 因为是方程的一个根，且， 当时，则或， 若，代入方程得，解得； 若，代入方程得，解得； 当为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根， 故，又因为，即，故， 所以，解得， 又，得， 所以； 综上：或或. 【小问2详解】 由韦达定理可知，，，， 所以， 因为为整数,， 所以必为的因式，则的值可能为， 则实数的值可能为， 又因为是该方程的两个实根，所以，则， 所以的所有取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广西南宁市马山县周鹿中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 3. 设函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且，则（ ） A. 的周期为 B. 的单调递减区间为 C. 的图像与的图像重合 D. 的对称轴为 4. 在中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则复数的实部和虚部之和为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ） A. B. C. D. 8. 梯形ABCD，上底，腰，下底，以下底所在直线为轴，则由斜二侧画法画出的直观图的面积为（　　） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数解析式为 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数的定义域为 D. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为. 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 若，则P是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则存在唯一实数使得 11. 对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 的取值范围为 C. 若为线段上的动点，则 D. 过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为__________. 14. 已知单位向量满足，则的范围是___________. 15. 在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_____________. 16. 为不超过1996的正整数，如果有一个，使成立.则满足上述条件的值共有_________个. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设函数． （1）设，求函数的最大值和最小值； （2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间． 18. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长； （2）若，求. 19. 已知复数，，. （1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是方程的一个根，求实数的值. 20. 圆锥底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长． 21. 一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. （1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； （2）当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 22. 已知是关于的实系数一元二次方程. （1）若是方程的一个根，且，求实数的值； （2）若是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $