精品解析：2024年北京市清华大学附属中学中考三模数学试题

清华附中2024.6统练11 一、单选题 1. 根据数据显示，2023年北京市GDP总量为万亿元，排在全国第13位．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列标志的图形中，是轴对称图形的但不是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 6. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 10. 点，是反比例函数的图象上的两点，如果，那么__________（填“>”，“=”，“<”） 11. 分解因式：______． 12. 分式方程的解为_______． 13. 某地区青少年、成年人和老年人的人数比约为3∶5∶2，现从中抽取一个样本容量为1000的样本，调查了解他们对新闻、体育、动画三类节目的喜爱情况．老年人应抽取________人． 14. 如图，在平行四边形中，，，，求线段 _______． 15. 如图，为的直径，C为上一点，，，交于点D，连接，那么________． 16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤 时间（分钟） 桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 ___分钟． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的长． 21. 我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年月日至月日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息： 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图： 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成组：，，，，，）： 测试成绩在这一组的是：． 小明的冬奥知识测试成绩为分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明的测试成绩在抽取的名同学的成绩中从高到低排名第______； （2）抽取的名同学的成绩的中位数为______； （3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，则，，的大小关系是______； （4）成绩分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人． 24. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图1，长度为6千米的国道两侧有，两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为和，其中、之间的距离为2千米，、之间的距离为1千米，、之间的乡镇公路长度为2.3千米，、之间的乡镇公路长度为3.2千米，为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地，设、之间的距离为千米，物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和为千米，以下是对函数随自变量的变化规律进行的探究，请补充完整． （1）通过取点、画图、测量，得到与的几组值，如下表： /千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 /千米 10.5 8.5 6.5 10.5 12.5 （2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，则物流基地应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置） 答：__________． ②如右图，有四个城镇、、、分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地，使得沿公路到、、、的距离之和最小，则物流基地应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置） 答：__________． 26. 在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若且，求的值． （2）已知且，若对于，都有，求t的取值范围． 27. 如图，在四边形中，，，，作，使得点和点在直线异侧，连接，将射线绕点逆时针旋转90°交射线于点． （1）①依题意，补全图形； ②证明：． （2）连接，若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”； （2）点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清华附中2024.6统练11 一、单选题 1. 根据数据显示，2023年北京市GDP总量为万亿元，排在全国第13位．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选：B． 2. 下列标志的图形中，是轴对称图形的但不是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行判断即可得答案． 【详解】A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意 ， 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等和已知条件，得出∠1=∠DFA，根据平行线的判定可得出AB∥CD，根据平行线的性质从而得出答案． 【详解】∵∠2=∠DFA，∠1=∠2， ∴∠1=∠DFA， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠D=180°， ∵∠D=50°， ∴∠B=130°， 故选：D 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 4. 数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴a，b同号， ∵， ∴， 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得： ， 解得：； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可． 【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°， 根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°． 解得n=6. 故选C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 8. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点． 故选：D 【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 10. 点，是反比例函数的图象上的两点，如果，那么__________（填“>”，“=”，“<”） 【答案】． 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 13. 某地区青少年、成年人和老年人的人数比约为3∶5∶2，现从中抽取一个样本容量为1000的样本，调查了解他们对新闻、体育、动画三类节目的喜爱情况．老年人应抽取________人． 【答案】200 【解析】 【分析】老年人抽取的人数应按照该地区的青少年、成年人和老年人的人数比来分配，故可列出式子求解. 【详解】依题意应抽取老年人人数为1000=200人. 【点睛】此题主要考查样本比例的计算，正确把握计算方法是解题的关键. 14. 如图，在平行四边形中，，，，求线段 _______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，先推出四边形是平行四边形，从而得到，求出，从而求出结果． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ．即线段， 故答案为：6． 15. 如图，为的直径，C为上一点，，，交于点D，连接，那么________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键． 先求出，再结合等腰三角形的性质可得，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤 时间（分钟） 桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 ___分钟． 【答案】 【解析】 【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子同时，工作人员2清理两张小桌子；第5分钟，当工作人员1清理小桌子①的同时，工作人员2开始清理1张大桌子；第8分钟，当工作人员1清理小桌子②的同时，工作人员3开始在大桌子和小桌子①上摆放新餐具；第分钟，工作人员3开始在小桌子②上摆放新餐具，进而即可求解． 【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： 由流程图可知：将三张桌子收拾完毕最短需要分钟， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实际问题的方案设计，事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，与②清洁椅面与地面，在同一时间段进行，节约时间是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 19. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，． 20. 如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：由题意得， 四边形是平行四边形， ，点为中点， ，即， 四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，证明即可； （2）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ， ∵点为中点， 在中，， 解得： 在中，， 故的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握定理与性质是解题的关键． 21. 我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 【答案】（1）B生产线至少加工7小时；（2）a的值为2 【解析】 【分析】（1）设B生产线加工生产x小时，则A生产线加工生产（12-x）小时，根据生产粽子总数量不少于5500个，列出不等式解决问题； （2）利用A、B生产线一天生产的总数量的和是6400个列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工（）小时． ， 解得． 答：B生产线至少加工7小时． （2） 整理得，， 解得（不符合题意，舍去） ∴a的值为2 【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不等式解决问题是关键． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知，再把点代入求出b的值，进而可得出结论； （2）由函数解析式可知其经过点，由题意可得临界值为当，两条直线都过点，将点代入到一次函数，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与函数的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，，当时，有，可知其经过点． 当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，即一次函数图象在函数的图象上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点， 将点代入到函数中， 可得，解得， 结合函数图象及性质可知，当，时，一次函数的值大于一次函数的值， 又∵如下图，当时，根据一次函数的图象可知，不符合题意． ∴m的取值范围为：且． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键． 23. 第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年月日至月日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息： 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图： 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成组：，，，，，）： 测试成绩在这一组的是：． 小明的冬奥知识测试成绩为分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明的测试成绩在抽取的名同学的成绩中从高到低排名第______； （2）抽取的名同学的成绩的中位数为______； （3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，则，，的大小关系是______； （4）成绩分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人． 【答案】（1）5 （2）74 （3） （4）140 【解析】 【分析】（1）根据图由大到小数即可得出结论； （2）根据中位数的定义，可以得到结论； （3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论； （4）由图可知，成绩在分以上的有人，总占比，再乘总人数即可得出结论． 【小问1详解】 在30名同学冬奥知识测试成绩的统计图中画出成绩为85分的水平线，如下图： 由图可知：小明的成绩是，位于第名； 故答案为：； 【小问2详解】 抽取的人数为， ∵，，，，，的人数分别为：人，人，人，人，人，人； 即中位数落在的范围内， 又∵的范围内的成绩为：70，73，74，74，75，75，77，78， ∴中位数是第和第个分数的平均数， ∴中位数为， 故答案为：； 【小问3详解】 为便于观察，画出年级分隔先，如图， ∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由上图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 由直方图可知，成绩在分以上的有人，总占比， 即：（人）， 故答案为：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及中位数，方差，用样本估计总体等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察．分析．研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由得，进而得，又由得，即可由得到，据此即可求证； （）由得，即可得，得到，进而得，，，连接，证明，得到，据此即可求解； 此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，长度为6千米的国道两侧有，两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为和，其中、之间的距离为2千米，、之间的距离为1千米，、之间的乡镇公路长度为2.3千米，、之间的乡镇公路长度为3.2千米，为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地，设、之间的距离为千米，物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和为千米，以下是对函数随自变量的变化规律进行的探究，请补充完整． （1）通过取点、画图、测量，得到与的几组值，如下表： /千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 /千米 10.5 8.5 6.5 10.5 12.5 （2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，则物流基地应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置） 答：__________． ②如右图，有四个城镇、、、分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地，使得沿公路到、、、的距离之和最小，则物流基地应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置） 答：__________． 【答案】（1）6.5，8.5； （2）描点，画图如下： （3）①之间，②点处 【解析】 【分析】（1）由题意分x=2以及x=4两种情况分析讨论，并将相关线段的长代入即可得答案； （2）根据表格数据先描点再连接画出函数图象即可； （3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案； ②结合①的结论及修建在上时，到、两个城镇的距离之和最小综合分析可得答案． 【详解】解：（1）当时，点在点处， 此时； 当时，点在点靠近侧1处， 此时． （2）略 （3）①由函数图象可得，当物流基地在之间时，沿公路到、两个城镇的距离之和最小． ②当修建在上时，到、两个城镇的距离之和最小； 当修建在上时，到、两个城镇的距离之和最小； 综上，修建在点处，则到、、、的距离之和最小． 【点睛】本题考查一次函数在解决实际问题中的应用，熟练运用数形结合思维进行分析是解答本题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若且，求的值． （2）已知且，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． （1）根据，得出抛物线的对称轴为直线，即可确定两点关于直线对称，根据抛物线对称性即可求解． （2）根据得出抛物线为，在直线右侧，且在的左侧，根据若对于，都有， 即可确定，即可求解； 【小问1详解】 解：若，则抛物线为， 故抛物线的对称轴为直线， ∵，， 故两点关于直线对称， ∴． 【小问2详解】 解：若，则抛物线为， 抛物线的对称轴为直线，且， ∵抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而增大， ∴在直线右侧，且在的左侧， 若对于，都有， 则， ∵ ， ∴， 解得：， ∴． 27. 如图，在四边形中，，，，作，使得点和点在直线异侧，连接，将射线绕点逆时针旋转90°交射线于点． （1）①依题意，补全图形； ②证明：． （2）连接，若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） ①根据题意，补全图形如图所示； ②证明：由旋转性质得，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2） 解：． 证明：延长至H，使，连接，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转性质和全等三角形的判定证明即可证得结论； （2）延长至H，使，连接，，先证明，得到，，进而证得，再证明，得到，在中，利用勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，添加适当辅助线构造全等三角形求解是解答的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． （1）如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”； （2）点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值． 【答案】（1） （2）①或 ② 【解析】 【分析】(1)直线与圆的交点分别为和，则，根据勾股定理计算即可． (2) ① 根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围． ②根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质及解三角形求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，∵， ∴直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， ∵的半径为1， ∴圆O与y轴的正半轴交点为，与x轴的负半轴交点为， ∴直线关于该圆的“圆截距”为， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且 ∵点M的坐标为，的半径为1， ∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)， 当时，直线的解析式为， 当直线经过点B时，， 解得； 过点M作，垂足为F， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设直线与圆M的另一个交点为C， 则， ∵关于的“圆截距”小于， ∴k的取值范围是； 设直线与圆的一个交点为N， ∵点，点M的坐标为， ∴， ∴， ∴， 根据圆的对称性，直线和直线关于直线对称，此时， ∴， ∴， ∴D的坐标为， ∴， 解得， 直线的解析式为， ∵关于的“圆截距”小于， ∴k的取值范围是； 综上所述，k的取值范围是或． ②当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2， 设直线与y轴交点为点，则过Q点的“圆截距”的最小值为2， 如图所示：，， 由题意得，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴由对称性得． 【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $