精品解析：2024年福建省莆田市第九中学中考模拟数学试题

2023-2024莆田第九中学中考模拟考试卷 一．选择题（共9小题） 1. 2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 进行垃圾分类可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少对土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．以下图标是几种垃圾分类的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 文化和旅游部5月6日发布数据显示，2024年“五一”假期，全国国内旅游出游合计295000000人次．数据“295000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个黄球，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上的两点A、对应的实数分别是、，则下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 2023年杭州亚运会上，我国获得奖牌383枚，其中银牌111枚，金牌数是铜牌数的3倍少12枚．若设金牌数是，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点A、在轴的正半轴上，点在边上，且，反比例函数的图象经过点、，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 12. 已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为_______． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 如图，，，且，，则的面积为_________． 15. 把直尺、圆片和两个同样大小的含角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点，．若，则的长为________． 16. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为_______． 三．解答题（共7小题） 17. 解不等式组： 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，中，，，，点M在上，且． （1）尺规作图，过M作的平行线交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求的面积． 21. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为件． （1）直接写出日销售量为（件）与每件售价（元）之间的函数关系式______； （2）现要求销售该吉祥物的单个利润不得低于，问该商场应如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进一辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 24. 【综合与实践】 在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动． 【操作探究】 “求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：将边沿翻折到的位置； 第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点． 证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠， ∴① ， 又∵， ∴， ∴． 由题意可知E是的中点，设，则， 在中，可列方程：② ，(方程不要求化简) 解得：③ ，即H是边的三等分点． “励志”小组对矩形纸片进行了如下操作： 第1步：如图2所示，先将矩形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将矩形纸片沿对角线翻折，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G； 第3步：过点G折叠矩形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①： ，②： ，③： ； （2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长． 25. 已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C． （1）求c的值； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024莆田第九中学中考模拟考试卷 一．选择题（共9小题） 1. 2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键． 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解． 【详解】解：2024的相反数是， 故选B． 2. 进行垃圾分类可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少对土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．以下图标是几种垃圾分类的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 3. 文化和旅游部5月6日发布数据显示，2024年“五一”假期，全国国内旅游出游合计295000000人次．数据“295000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法指一个数可写成（其中，为整数）的形式，根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．根据组合体的形状进行判断是解题的关键． 根据组合体的形状和三视图的定义即可解答． 【详解】解：该几何体的左视图是：． 故选：C． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要是考查了同底数幂的除法，单项式乘单项式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．分别根据同底数幂的除法，单项式乘单项式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果． 【详解】解：A．，所以A运算错误； B．，所以B运算错误； C．，所以C运算错误； D．，所以D运算正确． 故选：D 6. 一个不透明的袋子中装有3个白球和2个黄球，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有3个白球和2个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为． 故选：A． 7. 如图，数轴上的两点A、对应的实数分别是、，则下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数轴、不等式、绝对值的性质等知识点，熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识是解题的关键． 根据数轴得出且，再根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.由且，则，故A选项正确，符合题意； B.由题意得：，则，，即B选项错误，不符合题意； C. 由题意得：且，则，即C选项错误，不符合题意； D. 由题意得： ，则，即D选项错误，不符合题意． 故选：A． 8. 2023年杭州亚运会上，我国获得奖牌383枚，其中银牌111枚，金牌数是铜牌数的3倍少12枚．若设金牌数是，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．审清题意、明确各量之间的关系成为解题的关键． 设金牌数为枚，则铜牌数为枚，再根据获得奖牌383枚，列出方程求解即可． 【详解】解：设金牌数为枚，则铜牌数为枚， 根据题意得：． 故选：C． 9. 如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出． 【详解】解：设折痕与平行四边形交点为，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 根据折叠可得， ． 故选：B． 10. 如图，正方形的顶点A、在轴的正半轴上，点在边上，且，反比例函数的图象经过点、，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M，根据正方形，，得,设，则，根据反比例函数的图象经过点C、E，得到，据此解答即可． 【详解】解：过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M， ∵正方形，，， ∴, 设，则， ∵反比例函数的图象经过点C、E， ∴，解得． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 【答案】x≠2 【解析】 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0， 解得x≠2. 故答案为x≠2. 12. 已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为_______． 【答案】##1260度 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握定理是解题的关键．根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解． 【详解】解：多边形的边数为：， 正多边形的内角和的度数为， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，根据方程有实数根得出，求解即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，，，且，，则的面积为_________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于对应边长的平方比是解题的关键．先利用，得出对应线段的比，进而得出面积比，最后求出面积的值． 【详解】解：，， ，， ， 而，， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 15. 把直尺、圆片和两个同样大小的含角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点，．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，连接，，根据切线的性质得到，，推出四边形是正方形，求得，，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴ 故答案为：． 16. 已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数图像的性质是关键． 依据题意，当时，或，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合，是抛物线上的两点，且，可得，最后计算可以得解． 【详解】解：∵当时，或， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线． ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ， 又∵，是抛物线上的两点，且， ∴． ． ． ∴． 故选：A． 三．解答题（共7小题） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 【详解】解：由①得． 由②得，即．，， 原不等式组的解集为． 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，因式分解−运用公式法，以及二次根式的性质与化简，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【详解】 ， 当时，原式． 20. 如图，中，，，，点M在上，且． （1）尺规作图，过M作的平行线交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求的面积． 【答案】（1） 点N如图所示， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，尺规作图． （1）利用尺规作图作，即可作出的平行线； （2）利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理结合三角形面积公式求得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 在 中，由三角形内角和得： ， ， 是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． （1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线； （2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 为直角三角形， ，， ，，， ， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为件． （1）直接写出日销售量为（件）与每件售价（元）之间的函数关系式______； （2）现要求销售该吉祥物的单个利润不得低于，问该商场应如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件售价为70元时，可使日销售利润最多，最大利润为7500元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用等知识点，找出等量关系式是解题的关键． （1）根据题意直接列出函数关系式即可解答； （2）设日销售利润为W元，由题意得：，再根据吉祥物的单个利润不得低于求得x的取值范围，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设日销售利润为W元，由题意得：， ∵销售该吉祥物的单个利润率不得低于， ∴ ∴ ∵， ∴当时，； 答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多，最大利润为7500元． 23. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进一辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 【答案】（1）平均费用约为元； （2）①为事故车的概率为；②50万元 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据加权平均数计算解题即可； （2）①从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，可直接得出为事故车的概率； ②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可． 【小问1详解】 解：元， 答：在第四年续保时的平均费用约为元； 【小问2详解】 ①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆， ∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为； ②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元． 24. 【综合与实践】 在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动． 【操作探究】 “求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：将边沿翻折到的位置； 第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点． 证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠， ∴① ， 又∵， ∴， ∴． 由题意可知E是的中点，设，则， 在中，可列方程：② ，(方程不要求化简) 解得：③ ，即H是边的三等分点． “励志”小组对矩形纸片进行了如下操作： 第1步：如图2所示，先将矩形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将矩形纸片沿对角线翻折，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G； 第3步：过点G折叠矩形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①： ，②： ，③： ； （2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；③； （2）解：结论正确，证明如下： ∵矩形沿折叠， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴点M为边的三等分点； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理解答； （2）根据矩形的性质以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果； （3）根据E是上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果． 【详解】解：（1）证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 由题意可知E是的中点，设，则， 在中，可列方程：，(方程不要求化简) 解得：，即H是边的三等分点． 故答案为：①；②；③； （2）略 （3）连接交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时，如图所示，连接与交点N， 由对称性可知，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 即， 在中，， 即， 解得：（舍），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接， 由对称性可知，， ， 过点A作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍），， ∴， 即， 综上的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C． （1）求c的值； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入中，即可求解； （2）根据（1）可得抛物线解析式为，求出，分为①当在轴上方抛物线上时，如图1，证明，即可求出点的坐标为． 在求出的解析式，联立即可得出点的坐标；②如图2，当在轴下方抛物线上时，根据对称性得出的解所式为，联立即可求出点的坐标； （3）设，求出直线的解析式，求得，求出直线的解析式，求得．即可求出，，即可得出，从而解得的取值范围． 【小问1详解】 ∵点在上， ， ； 【小问2详解】 根据（1）可得抛物线解析式为，如图1， 令，则， 解得， 则， 当在轴上方抛物线上时，如图1，设交轴于点， 在和中 ， ， ∴的坐标为． 设直线的解析式为， 代入，得，解得， 故的解析式为． 令， 得或． ∴点的坐标为； 如图2，当在轴下方抛物线上时，的解所式为， 令， 得或． ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【小问3详解】 设， 设直线的解析式为， 代入坐标得，， 解得． 所以直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为， 代入坐标得，， 解得． 直线的解析式为， 当时，， ∴，． ， ∴， ∴， ， 故． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式求解，一次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，二次函数的图象和性质，函数交点求解，二次函数最值求解等知识点，解题的关键是数形结合以及分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $