精品解析：云南省保山市智源高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

保山市智源中学 2023-2024学年下学期高二年级 期中考试 数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：徐阳 审题人：李晓翠 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1. 已知一个样本由三个，三个和四个组成，则这个样本的方差为（ ）． A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量、不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 4. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 6. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 8. 已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为，且，则的离心率（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，则（ ） A. B. 锐角三角形 C. 的面积为 D. 的外接圆半径大于2 10. 已知的三边长分别是，，，则（ ） A. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为 D. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 11. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为上的减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的常数项为_______． 13. 2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有__________种．（用数字作答） 14. 若不等式恒成立，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响. （1）求考生甲得分的分布列和数学期望； （2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率. 16. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 17. 在圆锥PO中，高，母线，B为底面圆O上异于A的任意一点. （1）若，过底面圆心O作所在平面的垂线，垂足为H，求证：平面OHB； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且． （1）求的值； （2）已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点． 19. 已知函数 ，． （1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源中学 2023-2024学年下学期高二年级 期中考试 数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：徐阳 审题人：李晓翠 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1. 已知一个样本由三个，三个和四个组成，则这个样本的方差为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平均数，再利用方差公式即可. 【详解】由已知样本的平均数， 则方差， 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小. 【详解】∵指数函数在上单调递增， 且， ∴，即. ∵幂函数在上单调递增，且， ∴，即， ∴. 故选：A. 3. 已知向量、不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为与共线，则存在，使得， 即，且向量、不共线， 则，整理可得，解得或. 故选：C 4. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，再利用面积公式求解. 【详解】， 解得，则， 所以. 故选：A. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，所以圆与外切. 故选：D 6. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用相互独立事件、互斥事件及条件概率公式即可求出结果. 【详解】记事件E：在某次通电后有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换， 则，， 由条件概率公式可得． 故选：C． 7. 在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均分组分配问题，结合排列组合即可求解. 【详解】男生的分配方法有,女生的分配方法有， 所以总的分配方法有， 故选：C 8. 已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为，且，则的离心率（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得点的坐标，再由条件得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 而以线段为直径的圆的方程为， 联立，结合，解得或， 因为在第一象限，所以， 又，则， 而，，所以， 所以，即，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，则（ ） A. B. 锐角三角形 C. 的面积为 D. 的外接圆半径大于2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识确定正确答案. 【详解】， 所以，由正弦定理得，故A错误； 由余弦定理，得，所以角是钝角，故B错误； 由，得， 的面积为，故C正确； 设的外接圆半径为， 则，故D正确. 故选：CD 10. 已知的三边长分别是，，，则（ ） A. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为 D. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积和体积，可知A正确，B错误；以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是两个同底的圆锥组合体，求出其表面积和体积，可知C错误，D正确． 【详解】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为，体积为，故A正确，B错误； 以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长分别为3和4的两个圆锥组合体，表面积为，体积为，故C错误，D正确． 故选：AD． 11. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为上的减函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，解得即可判断A；令求得，令求得，令求得即可判断B；令可得，即可判断C；由AB即可判断D. 【详解】A：令，代入， 得，解得，故A正确； B：令，代入， 得，又，所以； 令，代入， 得， 令，代入， 得，所以，故B正确； C：令，代入， 得，则， 所以函数为奇函数，故C正确； D：由选项AB知，，，则， 所以函数不为R上的减函数，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】写出展开式的通项，在令即可. 【详解】，令，得， 所以常数项为. 故答案为： 13. 2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有__________种．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】分三步完成，第一步从四名志愿者中选取三名志愿者，第二步从6个项目中选取2个项目，第三步把志愿者分配到两个项目中，再利用分步乘法计数原理可得答案.. 【详解】可分三步完成， 第一步，从四名志愿者中选取三名志愿者，有种选法； 第二步，从6个项目中选取2个项目有种不同的选法； 第三步，把志愿者分配到两个项目中有种分配方法； 故共有（种）不同的分配方法． 故答案为：120. 14. 若不等式恒成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数后，对分为和讨论，再利用导数求出最值即可. 【详解】若不等式恒成立，也就是恒成立， 函数，定义域为， 当时，，， 在为减函数，此时； 当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 此时， 综上可知，则a的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响. （1）求考生甲得分的分布列和数学期望； （2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意分析，甲的得分情况可能为，利用超几何分布概率公式可得分布列，然后由期望公式可得； （2）根据乙答对题数服从二项分布可求得乙得分不少于15分的概率，先求两人得分都低于15分的概率，然后由对立事件的概率公式可得 . 【小问1详解】 设学生甲得分的所有取值为， ， ，. 所以甲得分的分布列为 -15 0 15 30 . 【小问2详解】 记事件:“甲得分不少于分”，记事件:“乙得分不少于分”． ， . 所以甲、乙两人中至少有一人得分大于等于分的概率为 . 16. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 【答案】(1)an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；an（2n+79），bn＝9•； (2) 【解析】 【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得， 解得，或， 当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1； 当时，an（2n+79），bn＝9•； （2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1， ∴cn， ∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•， ∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•， ∴Tn＝2（2n﹣1）•3， ∴Tn＝6． 【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 17. 在圆锥PO中，高，母线，B为底面圆O上异于A的任意一点. （1）若，过底面圆心O作所在平面的垂线，垂足为H，求证：平面OHB； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 因为PO为圆锥的高，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，又平面，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质证明，再证明平面，可得，根据平面，可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）以O原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以O原点，建立空间直角坐标系， 得， 所以. 设平面PAB的一个法向量为， 则，则可取， 因为轴垂直平面， 则可取平面POA的一个法向量为， 则， 故所求二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且． （1）求的值； （2）已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点． 【答案】（1）； （2） 点在抛物线上，设直线，点， 由消去x得，，， ， 整理得，将代入直线，得， 即，所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）设点，由抛物线定义可得，即可求出答案. （2）设直线，，联立方程组，得，根据，可得，代入直线方程即可. 【小问1详解】 显然点，由抛物线定义可知，，而，解得， 所以抛物线方程为：. 【小问2详解】 略 19. 已知函数 ，． （1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）由（i）且，，不妨设， 则 ， 要证， 需证， 即， 只需证， 即，令， 则证， 由（1）可知当时，在上递增， 又，故， 即， 综上，. 【解析】 【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可； （2）（i）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可； （ii）根据（i）条件，不等式可以转化为，变形后，设，构造新函数，利用导数即可证明. 【小问1详解】 由题知， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以， 经检验，符合题意. 故. 【小问2详解】 (i)由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意； 故，又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以， 可得， 即实数的取值范围是. (ii)略 【点睛】易错点点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $