精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

成都石室阳安学校2023-2024学年度下期高2023级半期考试 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 4. 若向量，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 5. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 式子的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 8. 一半径为2m水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上有两个零点 11. 下列说法中正确的有（ ） A. B. 已知在上的投影向量为且，则 C. 若非零向量满足，则与的夹角是 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 12. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则b的取值范围是 D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知， 且，则 _________. 14. 若角的终边经过点，则_________. 15. 正方形的面积为16，，点在线段上．若，则__________． 16. 岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为______米． 四、解答题（共70分） 17 已知平面向量，. （1）求的值； （2）求与夹角余弦值. 18. 已知，，分别为三个内角，，对边，. （1）若，，求； （2）若的面积为，，求. 19. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 20. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 21. 在中，角所对的边分别为，. （1）求角的值； （2）若，边上的中点为，求的长度. 22. 已知. （1）若，求函数零点； （2）设的内角所对的边分别为，若且.求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都石室阳安学校2023-2024学年度下期高2023级半期考试 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式可求出结果. 【详解】. 故选：A. 2. 已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， 由扇形的面积公式,得，解得， 由弧长公式， 故选：B 3. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 4. 若向量，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解. 【详解】依题意得，即. 故选：D. 5. 函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得解. 【详解】依题意可得，解得，又， 所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 即，所以，，所以，， 又，所以， 所以. 故选：A 6. 式子的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由正余弦的倍角公式、诱导公式即可化简求值. 【详解】由，， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换化简求值，属于简单题. 7. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解. 【详解】因为，则， 因，则，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 8. 一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】设，由三角函数的性质求解． 【分析】由题意设，则，，则， 当时，，取， 故，，， 故选：C 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据诱导公式逐一进行判断即可. 【详解】对于A, ，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用周期公式判断；对于B：通过计算判断；对于C：通过计算判断；对于D：将看成一个整体，通过函数的图象性质来判断. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：，C错误； 对于D：当时，，函数在上有两个零点，故在区间上有两个零点，D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法中正确的有（ ） A. B. 已知在上的投影向量为且，则 C. 若非零向量满足，则与的夹角是 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量投影向量的定义可判断B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C；判断与平行时的取值可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为在上的投影向量为，所以， 又，所以，则，故B正确； 对于C，因为非零向量满足， 则，即有， 所以，又， 所以与的夹角的余弦值为， 又，可得与的夹角为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 当与平行时，，解得， 此时与的夹角不为锐角，故D错误. 故选：ABC. 12. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则b的取值范围是 D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】选项A，因为，即， 所以有 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确. 选项C，如图，若有两解，则， 所以，则b的取值范围是，故C正确． 选项D，的平分线交于点D，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知， 且，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到，根据垂直得到方程，求出答案. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故答案为： 14. 若角的终边经过点，则_________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用三角函数定义可求，利用齐次式可得，求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故答案为：. 15. 正方形的面积为16，，点在线段上．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图建立直角坐标系，可得，又设，后结合可得t，即可得答案. 【详解】如图建立直角坐标系，因正方形的面积为16， 则，又，则M为AB中点， 则，因点在线段上，则设，则，. 则，故. 故答案为：. 16. 岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】在中，用表示，在中，用表示，根据的长，可求解. 【详解】中，，，， 中，，，， 因为米，所以， 解得： 故答案为： 四、解答题（共70分） 17. 已知平面向量，. （1）求的值； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，由公式求出模长； （2）利用向量余弦夹角公式进行求解. 【小问1详解】 ， 故； 【小问2详解】 设与夹角为， ， 故与夹角的余弦值为 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，. （1）若，，求； （2）若的面积为，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据正弦定理即可求解； （2）根据面积公式可得，即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 由正弦定理得， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以. 19. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； （2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为E是AD的中点， 所以 . 【小问2详解】 因为，与的夹角为， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 20. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）将化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据的取值范围，求得的范围，结合正弦函数单调性，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期为； 由，解得单调递减区间是； 【小问2详解】 当时，，又在单调递增，在单调递减； 则，即时，取得最小值1， ，即时，取得最大值2， 故当时，的值域为． 21. 在中，角所对的边分别为，. （1）求角值； （2）若，边上的中点为，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）切化弦后，利用两角和正弦公式求解； （2）利用平面向量数量积可求出结果. 【小问1详解】 ，， ，， ，， . 【小问2详解】 是边上的中线， ， ， . 22. 已知. （1）若，求函数的零点； （2）设的内角所对的边分别为，若且.求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数的解析式，令，得到，结合三角函数的性质求解即可； （2）首先求出，再由正弦定理可得，然后结合三角函数值域的求法求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 令，即，所以或， 解得或， 当时或， 又，所以函数在上的零点为，. 【小问2详解】 由，得，又，所以，所以. 所以，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$