上海市松江区第四中学2023-2024学年高一下学期期末测试数学试卷

松江四中2023学年第二学期高一数学期末学情诊断试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 命题教师：周淑丽 审题教师：周钢 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知向量，若，则实数______． 2. 半径为6，圆心角等于的扇形的面积是______． 3. 已知复数满足，则复数______． 4. 已知，且，则______． 5. 若，则______． 6. 在中，内角A、B、C所对边边长分别为a、b、c，若，则______． 7. 已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 8. 若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式______． 9. 若是方程的解，其中，则______． 10. 设函数对任意的实数均满足，则______． 11. 如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______． 12. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-16题每题5分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 16. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知． （1）设向量的夹角为，求的值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 18. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 19. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 20. 在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． （1）若米，求烧烤区的面积？ （2）为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ （3）在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； （3）记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 松江四中2023学年第二学期高一数学期末学情诊断试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 命题教师：周淑丽 审题教师：周钢 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 【1题答案】 【答案】2 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】1 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 （3）设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $