精品解析：河南省郑州市高新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年下期期末调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列中国传统纹样图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年6月，我国选手苗浩以7小时58分4秒成绩创造了亚洲大铁新纪录，将该记录用时记为，若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（ ） A B. C. D. 3. 若分式值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法，正确的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 6. 如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案，方案一铺设光缆长为（D为的中点）；方案二铺设光缆长为（O为三边的垂直平分线的交点）．关于两个方案说法正确的是（ ） A. 方案一铺设光缆长较短 B. 方案二铺设光缆长较短 C. 两种方案铺设光缆长一样 D. 无法比较两个方案铺设光缆长短 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 8. “郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，点E恰好落在边上，与交于点O且与不平行，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 有4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，涂上阴影设计为中心对称图形，设图中大正方形面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是______． 12. 如图，在四边形中，，垂足分别为点E，F，连接，请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______ 13. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 14. 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____． 15. 如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16. 计算： 17. 如图，三个顶点分别为． （1）的度数为______； （2）在图中画出向上平移2个单位长度后得到，此时点的坐标为______； （3）连接，则线段可以看作是线段绕点A顺时针旋转______得到的，四边形的面积为______． 18. 在中，，线段是的高，能否在外部找到一个角等于的一半？小智分别以点C、点D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，请你证明这种做法的正确性． 19. 下面是“智慧”小组开展综合与实践活动的片段，请仔细阅读并完成任务． 素材 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 问题 如何确定单肩包最佳背带长度 （1）任务一：对该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是，单层部分的长度是，得到如下数据： 双层部分长度 2 4 6 单层部分长度 116 112 108 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，对应的y为纵坐标，描出所表示的点，画出函数图象； （2）任务二：求出y与x之间的关系式，并确定x的取值范围； （3）任务三：资料显示，当单肩包的背带总长度与身高比例为时，背包效果最佳，若小宇同学身高，当背这款背包效果最佳时，求背带双层部分的长度x的值． 20. 河南是全国小麦主产区，无论小麦种植面积，还是单产、总产，均居全国第一，“傲娇”的背后，“良种”是关键密码．某数学实践小组通过探访小麦试验基地，带来如下信息． 信息一：基地有A、B两块试验田，分别种植“郑麦1860”、“艾麦180”，A试验田比B试验田少9亩； 信息二：A试验田总产量为12.8吨，B试验田总产量为22吨； 信息三：该基地中“艾麦180”的平均每亩产量是“郑麦1860”平均每亩产量的1.1倍． （1）根据以上信息，求出“郑麦1860”平均每亩产量， （2）该实践小组计划利用校园空地开展小麦种植试验，两块试验田如图所示，1号小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；2号小麦试验田是长为，宽为b的长方形，那么几号小麦试验田面积较大，请说明理由． 21. 类比三角形中位线，连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1在四边形中，设，与不平行，E，F分别为的中点，连接，则是四边形的中位线． （1）在横线上填写内容，探索中位线与线段之间的关系； 如图2，连接并延长至点G，使，连接， ∵，， ∴是______的中位线，______， ∵，， ∴______， ______， 在中，， 则____________ （2）用不同方法证明上述结论，请你将下面的证明过程补充完整； 如图3，连接，取的中点M，连接， ∵点E，点M分别是和的中点， … （3）如图4，在五边形中，，，，，若点F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是______． 22. 在中，，，点D在射线上，过点D作且（点E在点D的右侧），直线与直线交于点F，点H是的中点，连接． （1）如图1，猜想与的数量关系是______，位置关系是______； （2）当点D在延长线上时，请根据题意，在图2中补全图形，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． （3）当的长为时，请直接写出以点C，D，E，H为顶点的四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年下期期末调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列中国传统纹样的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 2024年6月，我国选手苗浩以7小时58分4秒的成绩创造了亚洲大铁新纪录，将该记录用时记为，若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的表示和意义，熟练掌握不等式的表示和意义是解题的关键．由于记录用时记为，要打破该记录，即比赛用时要小于记录用时，即． 【详解】解： 记录用时为， 若今后的选手要打破该记录，则比赛用时需． 故选：B． 3. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式值为零，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选A． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算正确； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，不能进行因式分解，原选项计算错误； 故选A． 5. 下列说法，正确的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 三角形三条边垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、命题的真假判断、线段垂直平分线的性质、反证法的应用，熟练掌握相关性质和概念是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质、逆命题的概念、线段垂直平分线的性质、反证法逐一判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，故A选项错误，不符合题意； B、“若，则”的逆命题是“若，则”，当，且时，也满足，故逆命题是假命题，B选项说法错误，不符合题意； C、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形的三个顶点的距离相等，故C选项说法错误，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，D说法正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案，方案一铺设光缆长为（D为的中点）；方案二铺设光缆长为（O为三边的垂直平分线的交点）．关于两个方案说法正确的是（ ） A. 方案一铺设光缆长较短 B. 方案二铺设光缆长较短 C. 两种方案铺设光缆长一样 D. 无法比较两个方案铺设光缆长短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理，利用等边三角形的性质，结合勾股定理，求出两种方案所需要铺设的光缆长度是解题的关键．设等边三角形的边长为，对于方案一，根据D为的中点，利用三线合一性质，结合勾股定理可求出；对于方案二，根据O为等边三角形三边的垂直平分线的交点，利用三线合一性质，结合勾股定理可求出，然后进行比较即可得解． 【详解】解：设等边三角形的边长为，则 方案一： 是等边三角形， ，， D为的中点， ，， ， ， 方案二： O为等边三角形三边的垂直平分线的交点， ， ， 在中，， ， ． 同理可得， ， ， ， 方案二铺设光缆长较短． 故选：B． 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意和方程中式子的意义． 根据是表示快马的速度是慢马的2倍，则是表示慢马的速度，是表示快马的速度，所以是表示慢马的时间，是表示慢马的时间，即可求解． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：， ∴x表示规定的时间． 故选：C． 8. “郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，点E恰好落在边上，与交于点O且与不平行，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，故选项A正确； ∴， ∴，故选项B正确； ∴，故选项D正确； 条件不足，无法得到，故选项C错误； 故选C． 10. 有4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，涂上阴影设计为中心对称图形，设图中大正方形面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，先求出和，根据，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．利用不等式性质，两边同时减去2，不等号方向不变，然后两边同时乘，不等号方向改变，即可得解． 【详解】解： ， ， ． 不等式的解集是． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，垂足分别为点E，F，连接，请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：添加条件为：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 故答案为：． 13. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 14. 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接DN， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴EF是△MND中位线， ∴， ∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点， ∴当点N与点B重合时，DN最大，此时 ∴EF长度的最大值为：， 故答案：5． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】4或2##2或4 【解析】 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或2． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．先对括号内的分式进行通分计算，将除法转化为乘法，然后进行约分化简即可． 【详解】解： 17. 如图，三个顶点分别为． （1）的度数为______； （2）在图中画出向上平移2个单位长度后得到的，此时点的坐标为______； （3）连接，则线段可以看作是线段绕点A顺时针旋转______得到的，四边形的面积为______． 【答案】（1） （2）图见解析， （3）90，9 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与旋转： （1）过点作，易得为等腰直角三角形，即可得出结果； （2）根据平移规则，画出，进而写出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，分割法求面积，求解即可． 【小问1详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由图可知：； 【小问3详解】 由图可知，线段可以看作是线段绕点A顺时针旋转得到的， 四边形的面积； 故答案为：90，9． 18. 在中，，线段是的高，能否在外部找到一个角等于的一半？小智分别以点C、点D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，请你证明这种做法的正确性． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三线合一，根据作图，易得四边形为平行四边形，进而得到，同角的余角相等，得到，三线合一得到，即可得证． 【详解】证明：由作图可知：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵线段是的高， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19. 下面是“智慧”小组开展综合与实践活动的片段，请仔细阅读并完成任务． 素材 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 问题 如何确定单肩包最佳背带长度 （1）任务一：对该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是，单层部分的长度是，得到如下数据： 双层部分长度 2 4 6 单层部分长度 116 112 108 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，对应的y为纵坐标，描出所表示的点，画出函数图象； （2）任务二：求出y与x之间的关系式，并确定x的取值范围； （3）任务三：资料显示，当单肩包的背带总长度与身高比例为时，背包效果最佳，若小宇同学身高，当背这款背包效果最佳时，求背带双层部分的长度x的值． 【答案】（1）图见解析 （2）， （3）背带双层部分的长度x的值为18 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）描点，连线，画出图象即可； （2）根据（1）中图象可知，与满足一次函数的关系，设出关系式，待定系数法求出函数解析式即可； （3）先根据比例关系求出单肩包的背带总长度，再根据总长度等于，进行求解即可． 【小问1详解】 解：描点，连线画出函数图象如图： 【小问2详解】 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； 【小问3详解】 由题意，当背这款背包效果最佳时： 单肩包的背带总长度为； ∴， 解得：， 即：背带双层部分的长度x的值为18． 20. 河南是全国小麦主产区，无论小麦种植面积，还是单产、总产，均居全国第一，“傲娇”的背后，“良种”是关键密码．某数学实践小组通过探访小麦试验基地，带来如下信息． 信息一：基地有A、B两块试验田，分别种植“郑麦1860”、“艾麦180”，A试验田比B试验田少9亩； 信息二：A试验田总产量为12.8吨，B试验田总产量为22吨； 信息三：该基地中“艾麦180”的平均每亩产量是“郑麦1860”平均每亩产量的1.1倍． （1）根据以上信息，求出“郑麦1860”平均每亩产量， （2）该实践小组计划利用校园空地开展小麦种植试验，两块试验田如图所示，1号小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分；2号小麦试验田是长为，宽为b的长方形，那么几号小麦试验田面积较大，请说明理由． 【答案】（1）“郑麦1860”平均每亩产量为吨． （2）当时，1号和2号小麦试验田面积相等，当时，1号小麦试验田面积较大．理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和完全平方公式的应用，找到题目中的等量关系是解题的关键． （1）设“郑麦1860”平均每亩产量为吨，则“艾麦180”的平均每亩产量为吨，根据题意可得，解方程即可求解； （2）根据题意可得1号小麦试验田面积，2号小麦试验田面积，两式相减可得，由此可判断两块试验田的面积关系． 【小问1详解】 解：设“郑麦1860”平均每亩产量为吨，则“艾麦180”的平均每亩产量为吨， A试验田种植“郑麦1860”总产量为12.8吨，B试验田种植“艾麦180”总产量为22吨， A试验田面积为亩，B试验田面积为亩， 又 A试验田比B试验田少9亩， 解得． 经检验为方程的解， “郑麦1860”平均每亩产量为吨． 答：“郑麦1860”平均每亩产量为吨． 【小问2详解】 解：1号小麦试验田面积， 2号小麦试验田面积， 当时，，1号和2号小麦试验田面积相等， 当时，，1号小麦试验田面积大． 答：当时，，1号和2号小麦试验田面积相等，当时，，1号小麦试验田面积较大． 21. 类比三角形中位线，连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1在四边形中，设，与不平行，E，F分别为的中点，连接，则是四边形的中位线． （1）在横线上填写内容，探索中位线与线段之间的关系； 如图2，连接并延长至点G，使，连接， ∵，， ∴是______的中位线，______， ∵，， ∴______， ______， 在中，， 则____________ （2）用不同方法证明上述结论，请你将下面的证明过程补充完整； 如图3，连接，取的中点M，连接， ∵点E，点M分别是和的中点， … （3）如图4，在五边形中，，，，，若点F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是______． 【答案】（1），，，，，； （2）证明见解析； （3），过程见解析； 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． （1）由E，F分别为的中点，可得是的中位线，，由，，，可证，由此得到，在中，利用三角形三边的关系即可求得结果； （2）连接，取的中点M，连接，点E，点M分别是和的中点，可得，同理可得，在中，利用三角形三边的关系得，代入即可求得结果； （3）连接，作，垂足为，利用等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，利用前面的结论可得，代入即可求得线段长的取值范围． 【小问1详解】 解：如图2，连接并延长至点G，使，连接， ∵，， ∴是中位线，， ∵，， ∴， ， 在中，，即 则． 【小问2详解】 解：如图3，连接，取的中点M，连接， ∵点E，点M分别是和的中点， 为的中位线， ， 点F，点M分别是和的中点， 为的中位线，， 在中，， ． 【小问3详解】 解：连接，作，垂足为，如图所示， ，， ， ，， ， 点F，G分别是边的中点， 由第（1）（2）问的结论得 ， 即， ． 22. 在中，，，点D在射线上，过点D作且（点E在点D的右侧），直线与直线交于点F，点H是的中点，连接． （1）如图1，猜想与的数量关系是______，位置关系是______； （2）当点D在延长线上时，请根据题意，在图2中补全图形，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． （3）当的长为时，请直接写出以点C，D，E，H为顶点的四边形的面积． 【答案】（1） （2）图见解析，成立，理由见解析 （3）49或28 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据题意，补全图形，证明，即可得出结论； （3）分点D在延长线上和分点D在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：猜想：； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 补全图形如图： 结论依然成立，理由如下： 同（1）法可得：，，，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①当点D在延长线上时，如图，连接， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：四边形的面积； ②当点D在线段上时，如图： 同法可得：， ∴， 过点作，则：， ∴四边形的面积； 综上：以点C，D，E，H为顶点的四边形的面积为或28． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，分割法求面积等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$