精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

西南大学附中初2025届初二下定时训练 数 学 试 题 (本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图 (包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的函数的图像上有三点,,，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 3. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①内错角相等 ②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形 ③过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条 ④若两个角的两边分别平行，则这两个角相等 ⑤立方根和平方根都为本身的数只有0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 6. 如图， 在菱形 中， 对角线、 相交于点 ， 平分 交 于点 ， 且点为线段的中点，连接并延长至点 ，使得 ，连接，若．则 （ ） A. B. C. D. 7. 某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ） A. B. C. D. 8. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限循环重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，毕达哥拉斯树的形成如图所示，若第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，则n的值为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 若关于的不等式组 无解，关于的分式方程 的解为非负整数，则整数的所有取值之和为（ ） A. B. C. D. 10. 对于正数 a 四舍五入到个位的值记为(a)，当 n 为非负整数时，若则，如．下列说法：①；②若关于x的不等式组恰有 3 个整数解，则；③若满足 (其中k为正整数)的a的范围为， 且(其中是关于 x，y 的二元一次方程的一组正整数解，则，其中正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 64的立方根是_______． 12. 如图，已知二次函数的图象，且对称轴与轴的交点在点的右侧，则化简后为__________． 13. 已知直线与轴交于点， 交双曲线于、两点， 点在点 右侧， 且，则_________． 14. 在矩形中，，点E为中点，点H为上一点，将沿翻折得到，点M在线段上，且，延长交延长线于点F，若，则___________． 15. 对于一个四位自然数，满足千位数字与十位数字的差为，百位数字与个位数字的和不超过千位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么称该四位数为“和气数”．例如：，因为， ， 且各个数位上的数字互不相等，所以为“和气数”；若是最大的“和气数”，则___________；若“和气数”、、、均为整数)， 记 当为的倍数时，满足条件的的最大值与最小值的差为_________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分．解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统。如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间()之间的函数关系图，其中线段，表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段 表示恒温系统关闭后阶段(曲线段 为反比例函数一部分)，根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？ （2）求该天的温度 与时间()之间的函数关系式； （3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？ 17. 在等腰中， 点、分别在边、上， 点为边延长线上一点， 连接、， 满足 ，． （1）证明： ； （2）若、分别为边、的中点， 于点 ，的面积为，求的长度 18. 关于x的方程， 的两个实数根为 （1）若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； （2）若 求m的值 19. 材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即 同理，对于任意关于 x 的绝对值函数都有 例如 材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解决代数问题．例如关于的不等式，可解读为函数的图象不高于函数的图象，不等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的解集为 　　　 根据材料完成下列题目： （1）认真阅读材料一，解关于x的方程： ，要求写出解答过程． （2）认真阅读材料二，仿照该方法解关于x的不等式： 请完善下列解答思路： 步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象． 步骤2：在方格纸中画出图象． 步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ． （3）若关于x的不等式有解，请直接写出k的取值范围． 20. 已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． （1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； （2）若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点 时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； （3）若x轴上有一点 且 于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当 为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 21. 在等边中，点是上一点，点是上一点，与交于点，且． （1）如图1，若，,求的长度； （2）如图2，延长至点，使得，连接，点为中点，连接，，求证：； （3）如图3，，点为中点，将沿折叠得到四边形，动点在线段上运动（包括端点），连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中初2025届初二下定时训练 数 学 试 题 (本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图 (包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，都与原横，纵坐标互为相反数． 根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则点的坐标是． 故选：B． 2. 已知关于的函数的图像上有三点,,，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴反比例函数的图象在第一，三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∵ ∴， 故选：D． 3. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①内错角相等 ②平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形 ③过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条 ④若两个角的两边分别平行，则这两个角相等 ⑤立方根和平方根都为本身的数只有0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题以及平行线的性质，平行四边形的性质，平行公理，立方根与平方根，熟练掌握已经学过的定理、公理、性质、概念是解题的关键． 分别利用平行线的性质、平行四边形的性质、平行公理、立方根与平方根概念判定即可． 【详解】解：①两条直线平行，内错角相等，原说法错误，是假命题，故①不是真命题； ②平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，原说法错误，是假命题，故②不是真命题， ③过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，正确，故③是真命题； ④若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，原说法错误，是假命题，故④不是真命题； ⑤立方根和平方根都为本身的数只有0，正确，故⑤是真命题； 综上，是真命题的有③⑤，其2个． 故选：B． 4. 如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 将抛物线 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意，向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到： ∴ 解得： ∴， 故选：B． 6. 如图， 在菱形 中， 对角线、 相交于点 ， 平分 交 于点 ， 且点为线段的中点，连接并延长至点 ，使得 ，连接，若．则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质，垂直平分线的性质与判定；根据角平分线的定义可得，根据菱形的性质以及中位线的性质可得出，进而根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角以及三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵ 平分，， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， 又∵点为线段的中点， ∴， ∴ ， 又∵， ∴ ∴ 故选：C． 7. 某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线． 将代入，得．解得． ∴． 将代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 8. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限循环重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，毕达哥拉斯树的形成如图所示，若第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，则n的值为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形规律探究，总结归纳出图形变化后正方形个数规律是解题的关键． 通过分析图中正方形个数，得出第n次操作后，图中正方形的个数为，根据第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，得，则，即可求得n值． 【详解】解：第1次操作后，图中正方形的个数为个， 第2次操作后，图中正方形的个数为个， … 若第n次操作后，图中正方形的个数为个， ，即， ∴． 故选：B． 9. 若关于的不等式组 无解，关于的分式方程 的解为非负整数，则整数的所有取值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程．解不等式组得出，求出分式方程的解，从而得到的范围，再化简，再求出符合条件的整数，进而即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组无解， ∴ 解得：， 即 ∵分式方程的解为非负整数，且 ∴或 解得：或 ∴ 故选：D． 10. 对于正数 a 四舍五入到个位的值记为(a)，当 n 为非负整数时，若则，如．下列说法：①；②若关于x的不等式组恰有 3 个整数解，则；③若满足 (其中k为正整数)的a的范围为， 且(其中是关于 x，y 的二元一次方程的一组正整数解，则，其中正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，新定义以及二元一次方程得解．依据题意逐一对序号进行分析求解即可得到本题答案． 【详解】解：由题意知：， ∴①正确， ∵， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵恰有 3 个整数解， ∴的解为， ∴， ∴，即， ∴②正确， ∵是关于 x，y 的二元一次方程的一组正整数解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的解集为， ∴， ∴， ∵，且和为正整数， ∴， ①当时，，符合； ②当时，，不符合； ③当时，，不符合； ④当时，，符合； ⑤当时，，不符合； ⑥当时，，不符合； ⑦当时，，不符合； ∴当时，时，； 当时，，， 故或， ∴③不正确， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 64的立方根是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解. 【详解】解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 12. 如图，已知二次函数的图象，且对称轴与轴的交点在点的右侧，则化简后为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，化简绝对值，二次根式的性质，根据题意得出，，进而得出，再化简代数式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与轴的交点在点的右侧， ∴， 又∵抛物线开口向上，则 ∴，即， 抛物线与轴的交点在轴的上方且在的下方， ∴， 当时， 则 ∴ ∴ 故答案为：． 13. 已知直线与轴交于点， 交双曲线于、两点， 点在点 右侧， 且，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，设与轴交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，设，则，，则，进而表示出，根据反比例函数的性质，将代入解析式，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，设与轴交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 当时，，当时， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，则 ∴， 设，则， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 解得：舍去或 ∴ ∴ 故答案为：． 14. 在矩形中，，点E为中点，点H为上一点，将沿翻折得到，点M在线段上，且，延长交延长线于点F，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，先得出，再结合折叠性质得，，，，再因为平行线的性质得出，即，再证明，所以，在；在；在，，化简得出，然后在中，即，解出． 【详解】解：如图：连接， 设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在， 在， 在，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 15. 对于一个四位自然数，满足千位数字与十位数字的差为，百位数字与个位数字的和不超过千位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么称该四位数为“和气数”．例如：，因为， ， 且各个数位上的数字互不相等，所以为“和气数”；若是最大的“和气数”，则___________；若“和气数”、、、均为整数)， 记 当为的倍数时，满足条件的的最大值与最小值的差为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设 ∵是最大的“和气数”， ∴千位为，十位数为 ∵百位数字与个位数字的和不超过千位数字， ∴ 又∵各个数位上的数字互不相等，则 ∴； ∵，且， ∴ ∵为的倍数 设 ∴ ∵、、、均为整数， ∴ 又∵ ∴ 当最大时，最大， 又∵ 当时，不是的倍数 当时， 当时，， ∴， 又， ∴的最大值为 当取最小值时，，则 ∴不是的倍数， 当时，，， 则时，，则最小为 ∴的最小值为 ∴满足条件的的最大值与最小值的差为 故答案为：． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分．解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 在炎热的夏天，重庆某脐橙生产基地为保证脐橙的产量，在养殖大棚安装了恒温系统。如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间()之间的函数关系图，其中线段，表示恒温系统开启至稳定后的阶段，曲线段 表示恒温系统关闭后阶段(曲线段 为反比例函数一部分)，根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统开启一段时间后，达到稳定阶段，则该稳定温度为多少？ （2）求该天的温度 与时间()之间的函数关系式； （3）该恒温系统在开启达到最高温度后，至少稳定5小时才可关闭系统，且温度低于后，脐橙的生长会受到影响，请问该生产基地在时开启系统后最多可关闭多少小时，才能使脐橙生长不受影响？ 【答案】（1） （2） （3）小时 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． （1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，将，代入 得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； 【小问2详解】 由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； 【小问3详解】 当时，， ， ∴该生产基地在时开启系统后最多可关闭小时，才能使脐橙生长不受影响 17. 在等腰中， 点、分别在边、上， 点为边延长线上一点， 连接、， 满足 ，． （1）证明： ； （2）若、分别为边、的中点， 于点 ，的面积为，求的长度 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在与中， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及等腰三角形的性质证明，，进而证明； （2）根据中位线的性质可得，设，则，根据题意表示出，根据等腰直角三角形的性质得出，解得，进而求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵、分别为边、的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴中，边上的高为的长， ∵的面积为 ∴ 即 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 又∵， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，中位线的性质，公式法解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 关于x的方程， 的两个实数根为 （1）若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； （2）若 求m的值 【答案】（1）的周长为或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义； （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于，据此建立关于的不等式，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：∵的两个实数根为 ∴ 解得： 当时，， 则 解得： ∵等腰三角形其中两边的长度为 且另一边的边长为6， ∴周长为 当，则有一个根为， ∴ 解得：或（舍去） ∴原方程为 解得: ∴的周长为， 综上所述，的周长为或 【小问2详解】 ∵的两个实数根为 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或 由（1）可得，当时， 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 19. 材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即 同理，对于任意关于 x 的绝对值函数都有 例如 材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解决代数问题．例如关于的不等式，可解读为函数的图象不高于函数的图象，不等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的解集为 　　　 根据材料完成下列题目： （1）认真阅读材料一，解关于x的方程： ，要求写出解答过程． （2）认真阅读材料二，仿照该方法解关于x的不等式： 请完善下列解答思路： 步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象． 步骤2：在方格纸中画出图象． 步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ． （3）若关于x的不等式有解，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）或或 （2）步骤 1：；； 步骤2：在方格纸中画出函数，的图象，如图所示． 步骤3： （3） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义，分情况讨论，解方程，即可求解； （2）根据材料二，可得即为函数的图象不高于函数与的图象，画出函数图象，根据函数图象即可求解； （3）先去绝对值得出，进而画出函数图象，得出函数的图象不高于的函数图象部分的自变量的取值范围即为不等式的解，观察图象可得，当与只有1个交点时，则，则方程即有两个相等的实数根，进而求得，观察函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解： 当时，即时，， 解得： 当时，即时，， 解得：或 【小问2详解】 步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数的图象不低于函数的图象 步骤2：略． 步骤3：当时，即时，， 解得：（舍去）或 当时， ∴交点坐标为， 当时，即时，，此方程无解； 观察图象，得出不等式的解集为 【小问3详解】 当时，， 当时， ∵时， 又， ∴的解集为或 则的解集为 ∴当时， 当时， 同理可得时， 当时，， ∴ ∵ ∴函数的图象不高于的函数图象部分的自变量的取值范围即为不等式的解， 当时，如图所示， 观察图象可得，当与只有1个交点时，则， 则方程，即有两个相等的实数根， ∴ 解得：， ∴时，观察函数图象可得 【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的意义，一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与二次函数交点问题，二次函数的平移，根据函数图象,解决不等式问题是解题的关键． 20. 已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． （1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； （2）若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点 时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； （3）若x轴上有一点 且 于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当 为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解，进而化为顶点式，即可求解； （2）先用勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，延长至使得，，连接，交轴于点，得出点在上，设直线的解析式为，代入，，求得直线的解析式为，联立抛物线，进而求四边形的面积，即可求解； （3）根据等边三角形的性质与判定得出，得出，进而分三种情况讨论，当时，，②如图所示，当时， ③当时，，根据旋转的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线 与轴交于点， 且经过点． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 ∵ ∴顶点； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且 如图所示，延长至使得，，连接，交轴于点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴， 又∵， ∴点在上， ∵，， 设，则 解得：，， ∴； 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴； ∵，当时，， ∴，则， ∴四边形的面积为 ； 【小问3详解】 解： 如图所示， ∵ ∴ ∴ 取的中点，则 ∴是等边三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形，则， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转可知， ①如图所示，当时，，则 在四边形中， ，， ∴ ∴即 ②如图所示，当时， 在中，， ∴， ∴，又 则是等边三角形， ∴，即； ③当时， ∴ ∴ 在四边形中， ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，面积问题，旋转的性质，四边形内角和定理定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 在等边中，点是上一点，点是上一点，与交于点，且． （1）如图1，若，,求的长度； （2）如图2，延长至点，使得，连接，点为中点，连接，，求证：； （3）如图3，，点为中点，将沿折叠得到四边形，动点在线段上运动（包括端点），连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示， 延长至，使得，连接， ， 是等边三角形， ， 设， 由（1）可得， ， 又， ， ， 在，中， ， ， ， 又， ， , 是等边三角形， ，， 延长至，使得， ， ， 在，中， ， ， ， ，， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据已知条件证明，得出，在，中，勾股定理即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，得出，证明是等边三角形，延长至，使得，证明，得出，根据中位线的性质得出，等量代换，即可得证； （3）连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则是等边三角形，根据中位线的性质，旋转的性质得出的轨迹为平行于的一条线段，且，进而找到FM最大值和最小值的位置，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 等边中， ，， ， 又， ， 在，中， ， ， ， 在中，，， ， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则是等边三角形， 将沿折叠得到四边形， 四边形是菱形， 依题意，，，三点共线，且， 又，， ， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 的轨迹为平行于的一条线段，且， ，点为中点，则， 由（1）可得，则为的中点，则， 在中，， ， ， ， ，， 如图所示，当，重合时，取得最大值，此时如图所示， ，，， 则，，共线， ， 在中，， 如图所示，当，重合时，最小， 在中，，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $