第10讲 函数的单调性与最大（小）值（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性与最大（小）值 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性； 2．会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性； 3．会求一些具体函数的单调区间. 知识点 1 函数的单调性 1、单调函数的定义 （1）设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 知识点 2 单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点 3 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 3、利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。 考点一：判断函数的单调性 例1．（23-24高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 【变式1-1】（23-24高一上·天津红桥·期中）下列函数在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 考点二：定义法讨论函数的单调性 例2.（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【变式2-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【变式2-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【变式2-3】（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 考点三：求函数的单调区间 例3.（22-23高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【变式3-1】（22-23高一上·四川攀枝花·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 【变式3-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 考点四：利用函数单调性求参数 例4.（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：利用单调性比较大小 例5.（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 考点六：利用单调性解不等式 例6.（23-24高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点七：求函数的最值或值域 例7.（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式7-2】（23-24高一上·湖北宜昌·月考）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点八：根据函数的最值求参数 例8.（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 【变式8-1】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）设，若的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 一、单选题 1．（22-23高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．（23-24高一上·山东枣庄·月考）若为定义在上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 9．（23-24高一上·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 10．（23-24高一上·北京·期中）若函数的单调递增区间是 ，则实数的值为 . 11．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 13．（23-24高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递减区间. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的单调性与最大（小）值 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性； 2．会用函数单调性的定义判断(或证明）一些函数的单调性； 3．会求一些具体函数的单调区间. 知识点 1 函数的单调性 1、单调函数的定义 （1）设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 知识点 2 单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点 3 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 3、利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。 考点一：判断函数的单调性 例1．（23-24高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 【答案】ABD 【解析】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确； 对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 但是，所以函数在区间上不是单调递减的，故C项错误； 对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减， 所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确.故选：ABD. 【变式1-1】（23-24高一上·天津红桥·期中）下列函数在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上，是增函数；在上，是减函数，因此是增函数； 在上，是减函数，在上，是减函数， 因此是增函数，故选：C． 【变式1-2】（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的图像可知，其单调递增区间是，，所以A对． 因为抛物线的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以该抛物线在上不单调，所以B错； 因为直线的斜率为-1，所以在上为减函数，所以C错； 根据函数的图像可知其在上为减函数，所以D错；故选：A． 【变式1-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【答案】A 【解析】不妨令， ， 令，， 又，∴是增函数．故选:A. 考点二：定义法讨论函数的单调性 例2.（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【解析】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 【变式2-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【解析】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 【变式2-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析 【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 【变式2-3】（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求的值； (2)根据定义，研究在上的单调性． 【答案】(1)；(2)在上单调递增 【解析】（1）依题意，函数对于，，都满足， 令得. （2）任取，则，所以， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 考点三：求函数的单调区间 例3.（22-23高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B 【变式3-1】（22-23高一上·四川攀枝花·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【解析】的定义域为， 由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，故选：D 【变式3-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 画出的图象如下： 的单调减区间为，故选：A 【变式3-3】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【解析】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和.故选：C. 考点四：利用函数单调性求参数 例4.（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得，故选：B． 【变式4-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是.故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是.故选：D 【变式4-3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 要保证单调递减，则还需，解得， 综上所述，a的取值范围是.故选：A. 考点五：利用单调性比较大小 例5.（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B 【变式5-1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是增函数， 时，，； 时，，； ，因此，； 时，，，故选：C． 【变式5-2】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即.故选：A 【变式5-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令函数， 因为函数在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减， 又因为，所以，即.故选：C. 考点六：利用单调性解不等式 例6.（23-24高一上·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在上是减函数，，得，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·月考）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为，故选：A． 【变式6-2】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为.故答案为：. 【变式6-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设， 都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为.故选：C 考点七：求函数的最值或值域 例7.（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为.故选：D 【变式7-1】（23-24高一上·江苏南通·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】， 由于在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增， 又，即分段处端点值相等， 故在处取得最小值，最小值为.故选：B 【变式7-2】（23-24高一上·湖北宜昌·月考）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为.故选：D. 【变式7-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 故，，解得，故， ，函数定义域为， 设，，则，， 当时，函数有最小值为，故函数值域为.故选：C. 考点八：根据函数的最值求参数 例8.（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则 ． 【答案】或 【解析】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以或. 故答案为：或 【变式8-1】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出函数的图象，如下图所示： 易知，； 若时的值域是，由图可知.故选：C 【变式8-2】（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，函数在上单调递减，在上的值域为， 因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含， 显然，否则当时，，不符合题意， 于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则， 所以实数的取值范围为.故选：D 【变式8-3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）设，若的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 【答案】C 【解析】当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故时，， 由二次函数性质可知对称轴，且， 解得或（舍去），故选：C 一、单选题 1．（22-23高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线， 故函数的单调递减区间是.故选：C． 2．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足， 但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得. 则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D. 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即，故选：D 4．（23-24高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以.故选：A. 5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是定义在R上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是.故选：B. 6．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得.故选：C. 二、多选题 7．（23-24高一上·山东枣庄·月考）若为定义在上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为为上的单调函数，且满足对任意，都有， 所以，为常数， 于是，且，故，解得或， 当时，，则； 当时，，则.故选：CD. 8．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【解析】，不妨设，故， 即，令，则， 故在上单调递减， AB选项，，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，A错误，B正确； CD选项，由得， 因为，所以，即， 因为在上单调递减，所以，C正确，D错误故选：BC 三、填空题 9．（23-24高一上·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【解析】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 10．（23-24高一上·北京·期中）若函数的单调递增区间是 ，则实数的值为 . 【答案】－4 【解析】由已知，对称轴为直线， 又单调递增区间是，所以，． 故答案为：． 11．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【解析】函数是函数与函数 同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 12．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 13．（23-24高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递减区间. 【答案】(1)作图见解析；(2)；(3)，. 【解析】（1）函数， 当时，的图象是开口向下的抛物线在的一段， 当或时，的图象是射线和射线组成， 函数的图象，如图， （2）. （3）当时，在上单调递减， 当或时，在上单调递减， 所以函数的单调递减区间是，. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$