第13讲 函数的奇偶性-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第13讲 函数的奇偶性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 知识点2 函数奇偶性的几个重要结论 （1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. （4）定义在(，)上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （5）若函数yf(x)的定义域关于原点对称，则f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇，f(x) f(x) 为偶函数． （6）f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论： f（x） g（x） f（x）+ g（x） f（x）- g（x） f（x）g（x） f（g（x）） 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点3 分段函数强制奇偶对称 口诀：奇函数定奇变偶，偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负． 定义在(，)上任意的函数f(x)都可以唯一的表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和．当f (x)以分段函数形式出现奇偶性的时候，则函数一定满足：①奇函数f(x)f(x)g(x)h(x)；②偶函数f (x)f(x)g(x)h(x)，我们理解为奇函数定奇变偶，偶函数定偶变奇．在f(x)不好拆分出奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和时，则直接采用：①奇函数f(x)f(x)；②偶函数f(x)f(x)，即口诀：奇双负，偶单负．其实通俗的说就是奇函数内外两层都为负，偶函数只有内层为负． 知识点4 对称中心或对称轴平移求值 若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)m时，则f(x)关于点(0，m) 中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)f(x)2f(0)2m ；当h(x) m时， 则有f(x)f(x) 2h(x)． 推论 若f(x)g(x)m，则f(x)maxf(x)min2f(0)2m ． 知识点5 函数的周期 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). （3）对称性的三个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 教材习题01 根据定义证明：函数在定义域R上是偶函数． 解题方法 因为函数的定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数. 【答案】见解析 教材习题02 根据定义证明：函数在定义域R上是奇函数． 解题方法 ，都有， 且， 所以，函数在定义域R上是奇函数． 【答案】见解析 教材习题03 画出下列函数的图象，并判断其奇偶性： (1)； (2)； (3)． 解题方法 （1），其定义域为， ，则函数为奇函数； 图象如图：    （2）；其定义域为， ，则函数为偶函数； 图象如图：    （3），其定义域， 但且， 则既不是奇函数也不是偶函数 图象如图：    【答案】(1)奇函数，图象见解析 (2)偶函数，图象见解析 (3)非奇非偶函数，图象见解析 考点一 函数奇偶性的定义与判断 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，， 所以函数为奇函数. 故选：A. 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误； 对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确； 对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误. 故选：B （多选题）3．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. （多选题）4．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【详解】根据函数的解析式可知，定义域是全体实数，值域为，故AB正确； 当是有理数时，是有理数，， 当是无理数时，是无理数，，所以是偶函数，故C正确； 因为，所以不是单调函数，故D错误； 故选：ABC． 5．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 考点二 由奇偶性求函数解析式 （多选题）1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．在上单调递增 C．的解集为 D．的解集为 【答案】AD 【详解】当时，，易求得当时，的最大值为，A正确；在上单调递减，B错误；的解集为，C错误；当时，的解集为，当时，无解，故D正确． 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为： 3．已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 4．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 5．若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减区，要使在上不单调， 则，解得． 或，解得． 所以实数的取值范围是 考点三 函数奇偶性的应用 1．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以 . 故选：B. 2．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为，为奇函数，为偶函数， 所以，， 故，， 当时，， 则，解得， 在等式中，令可得，可得， 即，解得，故当时，， 在等式中，用替代得， 所以，所以， 即，所以， 故函数是周期为的周期函数，故. 故选：A. 3．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 4．已知定义域为的函数满足，且当时，恒有：，则使得的值可以确定的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】根据条件，令，则， 即，可知为R上的奇函数，所以， 当时，，即，解得， 此时，即不等式两侧的函数图象相切于点（如图所示）， 所以有， 又为R上的奇函数，所以，所以，有3个． 故选：C 5．设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 考点四 抽象函数的奇偶性 1．已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B 【详解】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称， 但不确定，故B错误. 故选：B 2．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 3．若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【详解】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. （多选题）4．已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】对于A，令，则有，得或， 但当时，， 与不是常值函数矛盾，故，故A正确； 对于B，令，则， 则， 当，则，故， 故，故B正确； 对于C，任取，令，则， 则，故在上单调递增，故C错误； 对于D，令可得：， 故是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在上单调递增可得：，解得：， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. （多选题）5．已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【详解】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD （多选题）6．已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】选项A：解法一：令，，则由题意得， 将代入解得，A说法正确； 解法二：令，则由题意得，即，解得， 若，令，，则，得，与矛盾，故，A说法正确； 选项B：令，则由题意得， 将代入得，故不是减函数，B说法错误； （另解：也可以根据，直接判断不是减函数） 选项C：由B可知， 所以，C说法正确； 选项D：令，，则由题意可得， 将，代入解得， 令，则①， 由B可知，所以， 代入①式可得，即， 所以为奇函数，D说法正确； 故选：ACD 考点五 由函数奇偶性解不等式 1．已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 2．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 3．若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意. 故答案为： 4．已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数； (2) 【详解】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 5．已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为 (3) 【详解】（1）因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 考点六 奇偶函数对称性的应用 1．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，都有，则在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 由，则，且， 故或时，或时， 所以的解集为. 故选：D 2．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数， 对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错； 对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错． 对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错； 故选:C 3．（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且在区间上是增函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的一个周期为4 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增，在上单调递减 D．函数在内有25个零点 【答案】ABD 【详解】①， 在①中令，得，得， 由于函数为偶函数，故， 所以②，函数是以4为周期的函数，故A正确； 因为偶函数，则③， 在③式中，用代替得，， 由周期性可得，即 所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 结合函数在区间上是增函数，画出函数的大致图象如图所示，由图可知，函数在上单调递减，故C错误； 根据图象可知，，故在内共有25个零点，故D正确． 故选：ABD 4．（多选）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 【答案】AC 【详解】解：令，得， 所以，故A正确； 当时，， 当时，恒有， 令， 即对任意，时， ， 即函数为增函数，故B错误． 令，则， 又， 所以， 即 的图象关于点对称，故C正确； 当时，若取， 则， ， 即， 且当时， 单调递增，恒有， 显然， 不为偶函数，故D错误． 故选：AC. 5．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 【答案】 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 6．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 知识导图记忆 知识目标复核 1．函数奇偶性的定义及判断 2．函数的复合及复合函数奇偶性的判断 3．分段函数奇偶性的判断 4. 数学语言理解函数周期性及对称性 1．若，函数为上的奇函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、由奇偶性求参数 【分析】根据函数为奇函数求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数为上的奇函数，则，解得或， 当时，，因为，， 所以，即函数不是奇函数； 当时，，该函数的定义域为， ，即函数为奇函数. 故当函数为上的奇函数时，， 因此，是的充要条件. 故选：D. 2．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性 【分析】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项 【详解】因为，所以的图象关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以的一个周期为8，故B正确； ，故C正确； 由，得， 又当时，，所以，即，故D错误. 故选：D 3．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】利用与的奇偶性推得是周期函数，从而结合题设条件即可得解. 【详解】是偶函数，， 则，从而， 又是奇函数，则， ，进而， 所以是周期为的周期函数， 又当时，，则， 所以. 故选：D. 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数图象选择解析式、奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6．已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（   ） A．6 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】由题意得的图象对称性及周期性，利用对称性求得值后，结合函数的单调性得在单调递增，在单调递减，由函数的周期性求出一个周期的最大值，即可得解. 【详解】因为，所以的图象关于对称， 又，则的图象关于中心对称， 因为，所以， 所以，即． 所以，即，所以， 所以的周期为8， 由，得，当时，， 为了求的最大值，由周期性不妨求在上的最大值即可， 因为在单调递增，结合的图象关于中心对称， 所以在单调递增，即在单调递增， 则在上的最大值为， 又的图象关于对称且周期为8，所以的图象关于对称， 所以在单调递减，所以在上的最大值为， 根据周期函数的性质可知的最大值是6. 故选：A 7．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得. 【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A （多选题）8．已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】求函数值、比较函数值的大小关系 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，则， 又，则，所以，故A错误； 对于B，令，则， 又，，所以，则，故B正确； 对于C，令，则， 又，则， 由上可知，故，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以，故D错误. 故选：BC. （多选题）9．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（   ） A．图象过定点 B．值域为 C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对于A，由奇函数性质即可判断；对于B，只需求得时，值域，结合奇函数性质即可判断；对于C，D，由二次函数性质即可判断. 【详解】选项A：是定义域为的奇函数，所以，图象过，A正确； 选项B：时，时，值域为；时，值域为，又，值域为． 时，时，值域为；时，值域为，又，值域也为，B正确． 选项C：当时，在上单调递减，在上单调递增，在定义域上不单调，C错误； 选项D：当时，是单调递增区间；当时，是单调递增区间，D正确． 故选：ABD． （多选题）10．若是定义在上的奇函数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据是上的奇函数可确定判断A项；由可得，赋值即得判断C项，根据条件推出函数的一个周期为4，即可判断D项，对于B项，没有相关条件求出其值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以①，且，故A正确； 因为，故得②，则，故C正确； 由①②可得，则，可得 ， 即是以4为一个周期的函数，，故D正确； 对于，没有相关条件求出其值，故B错误. 故选：ACD. （多选题）11．已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A．的图象关于直线对称 B．是周期函数 C．在上单调递减 D．在内有4个零点 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由是偶函数可得关于直线对称，由此判断A；由是奇函数可得关于点对称，结合A可推出的周期为8，由此判断B；由关于点对称及时，，可知在单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出在内的零点个数，由此判断D. 【详解】对于A，是偶函数，，关于直线对称，故A正确； 对于B，由A可知关于直线对称，①， 又是奇函数，，即， 关于点对称，②， 由①②可得，即， ， ， 的一个周期为8，故B正确； 对于C，由B知关于点对称， 时，单调递增， 在也单调递增，故C错误； 对于D，定义域为R，关于对称，， 又关于直线对称，， 在内有2个零点，故D错误， 故选：AB. （多选题）12．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（   ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，可得，，联立即可求得函数的周期，对称性，逐项判断求解即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以， 可知的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由，所以，又， 所以，即， 故函数的周期为，故C错误； 对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 13．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为： 14．已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、判断或证明函数的对称性 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 15．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围. 【详解】由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得， 则，得. 故答案为：. 16．设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而符号法得到不等式的解集. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 又在上是增函数，则在上也单调递增， 因为，所以， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 17．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 18．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可. 【详解】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数的奇偶性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 知识点2 函数奇偶性的几个重要结论 （1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. （4）定义在(，)上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （5）若函数yf(x)的定义域关于原点对称，则f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇，f(x) f(x) 为偶函数． （6）f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论： f（x） g（x） f（x）+ g（x） f（x）- g（x） f（x）g（x） f（g（x）） 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点3 分段函数强制奇偶对称 口诀：奇函数定奇变偶，偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负． 定义在(，)上任意的函数f(x)都可以唯一的表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和．当f (x)以分段函数形式出现奇偶性的时候，则函数一定满足：①奇函数f(x)f(x)g(x)h(x)；②偶函数f (x)f(x)g(x)h(x)，我们理解为奇函数定奇变偶，偶函数定偶变奇．在f(x)不好拆分出奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和时，则直接采用：①奇函数f(x)f(x)；②偶函数f(x)f(x)，即口诀：奇双负，偶单负．其实通俗的说就是奇函数内外两层都为负，偶函数只有内层为负． 知识点4 对称中心或对称轴平移求值 若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)m时，则f(x)关于点(0，m) 中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)f(x)2f(0)2m ；当h(x) m时， 则有f(x)f(x) 2h(x)． 推论 若f(x)g(x)m，则f(x)maxf(x)min2f(0)2m ． 知识点5 函数的周期 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). （3）对称性的三个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 教材习题01 根据定义证明：函数在定义域R上是偶函数． 解题方法 因为函数的定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数. 【答案】见解析 教材习题02 根据定义证明：函数在定义域R上是奇函数． 解题方法 ，都有， 且， 所以，函数在定义域R上是奇函数． 【答案】见解析 教材习题03 画出下列函数的图象，并判断其奇偶性： (1)； (2)； (3)． 解题方法 （1），其定义域为， ，则函数为奇函数； 图象如图：    （2）；其定义域为， ，则函数为偶函数； 图象如图：    （3），其定义域， 但且， 则既不是奇函数也不是偶函数 图象如图：    【答案】(1)奇函数，图象见解析 (2)偶函数，图象见解析 (3)非奇非偶函数，图象见解析 考点一 函数奇偶性的定义与判断 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． （多选题）3．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 （多选题）4．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．是单调函数 5．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 考点二 由奇偶性求函数解析式 （多选题）1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．在上单调递增 C．的解集为 D．的解集为 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 3．已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 4．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 5．若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 考点三 函数奇偶性的应用 1．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（   ） A． B． C． D． 3．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 4．已知定义域为的函数满足，且当时，恒有：，则使得的值可以确定的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设函数（）的最大值为，最小值为，则= 考点四 抽象函数的奇偶性 1．已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 2．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 （多选题）4．已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 （多选题）5．已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 （多选题）6．已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 考点五 由函数奇偶性解不等式 1．已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 4．已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 5．已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 考点六 奇偶函数对称性的应用 1．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 3．（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且在区间上是增函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的一个周期为4 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增，在上单调递减 D．函数在内有25个零点 4．（多选）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（    ） A． B．当时，函数为减函数 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，为偶函数 5．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 6．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 知识导图记忆 知识目标复核 1．函数奇偶性的定义及判断 2．函数的复合及复合函数奇偶性的判断 3．分段函数奇偶性的判断 4. 数学语言理解函数周期性及对称性 1．若，函数为上的奇函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 3．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ） A． B． C．0 D．1 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（   ） A．6 B．3 C．5 D．8 7．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． （多选题）8．已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A． B． C． D． （多选题）9．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（   ） A．图象过定点 B．值域为 C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间 （多选题）10．若是定义在上的奇函数，，则（   ） A． B． C． D． （多选题）11．已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A．的图象关于直线对称 B．是周期函数 C．在上单调递减 D．在内有4个零点 （多选题）12．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（   ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 13．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 14．已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 15．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 16．设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 17．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 18．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$