2024年四川省绵阳市游仙区中考数学模拟试卷

2024年四川省绵阳市游仙区中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数2的相反数是(    ) A. B. 2 C. D. 2.下列手机中的图标是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是(    ) A. B. C. D. 4.将一直尺和一块含角的三角尺按如图放置，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表： 年龄/岁 12 13 14 15 人数 5 23 ■ ■ 由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是(    ) A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、中位数 D. 中位数、方差 6.设，则对于实数m的范围判断正确的是(    ) A. B. C. D. 7.班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是(    ) A. B. C. D. 8.图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示.相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹.大禹依此治水成功，遂划天下为九州.洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等.图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为(    ) A. B. 3 C. D. 2 9.关于x的方程的两实根异号，则k满足的条件是(    ) A. B. C. D. 10.对称轴为直线的抛物线为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数，⑥当时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11.如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 12.如图，在矩形ABCD中，，，E为AB上一点，，P为直线CD上的动点，以PQ为斜边作，交直线AD于点Q，且满足，若F为PQ的中点，连接CE，CF，则当最小时，的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.多项式，的公因式是______. 14.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是______. 15.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是，堤坝高米，则迎水坡面AB的长度为______米. 16.如图，在扇形AOB中，，半径，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的面积是______结果保留 17.字母a从，，0，1，2，3这6个数中选出使关于x的不等式组有解，且使关于x的方程有唯一的解的数，a有______. 18.如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B分别落在点、处，且点恰好为线段CD的中点，交AD于点G，作于点P，交于点若，则______. 三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题16分 计算： 先化简，再求值：，其中 20.本小题12分 网络直播教学是特殊时期常见的教学方式，顺德区为了解九年级教师使用线上授课软件情况，在12月份某天随机抽查了若干名老师进行调查，其中A表示“抖音直播”，B表示“腾讯会议”，C表示“腾讯课堂”，D表示“QQ群课堂”，E表示“钉钉直播”，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表： 组别 使用人数人 占调查人数的百分率 A 3 B 12 C a D 15 c E b 请根据图表中的信息解答下列问题： ______，并将频数分布直方图补充完整； 已知该区共有九年级老师500人，请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人？ 该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况，已知A组有理科老师2人，文科老师1人，请用列表法或树状图法求出抽取两名老师都是理科的概率. 21.本小题12分 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨. 求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ 每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，根据以上要求，设所需费用为w元，A种型号机器人的采购量为m台，当m为何值时所需费用最低？最低费用是多少？ 22.本小题12分 已知，如图，，，G为射线BM上的一动点，AP为的角平分线且交BM于点P，以AP为边在内部作菱形APCD，使得，DP交AG于点E，连接CE并延长交AB于点 求证：≌； 判断CF与BM的位置关系并证明； 若的周长为3，求菱形APCD的周长. 23.本小题12分 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”. 写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标______； 点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； 如图，矩形OCDE的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与DE交于点若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求的面积. 24.本小题12分 如图，内接于，BC是的直径，，过点A作，交于点E，点F是上一点，连结EF交BC于点G，连结CF交AD于点 求证：∽； 若，，求EF的长； 设，，求y关于x的函数表达式. 25.本小题14分 如图，抛物线与y轴相交于点C，且经过，两点，连接 求抛物线的解析式； 点P为抛物线在x轴下方图形上的一动点，是否存在点P，使，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由； 若抛物线顶点为M，对称轴与x轴的交点为N，点Q为x轴上一动点，以Q、M、N为顶点的三角形与相似.请直接写出点Q坐标. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：根据相反数的表示的方法，实数2的相反数为 故选： 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解决此题． 本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的表示方法是解决本题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.是轴对称图形，故此选项符合题意； D.不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选： 根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 3.【答案】C  【解析】解：， 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】D  【解析】解：， ， ， ， 故选： 先求的度数，再求的度数． 本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练运用平行线的性质． 5.【答案】B  【解析】解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而12岁的有5人，13岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是13岁，因此中位数是13岁，不会受14岁，15岁人数的影响； 因为13岁有23人，而12岁的有5人，14岁、15岁共有22人，因此众数是13岁； 故选： 根据众数、中位数的定义进行判断即可． 本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． 6.【答案】C  【解析】解：， ， 即实数m的范围是 故选： 估算出，再找出选项即可． 本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 7.【答案】A  【解析】【分析】 画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出A，B两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 【解答】 解：列表为： ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC CABD CADB DABC DACB BCAD BDAC CBAD CDAB DBAC DCAB BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA 4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12， 故A，B两位同学座位相邻的概率是 故选： 8.【答案】A  【解析】解：设第二行第一个数字为为常数， 根据题意得：， 故选： 设第二行第一个数字为为常数，根据每一横行、每一竖列上的数字之和相等，可列出关于x，y的二元一次方程，变形后，即可求出的值． 本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：由题知， 因为关于x的方程的两实根异号， 所以且， 解得 又因为， 所以， 综上所述，k满足的条件是： 故选： 由方程的两实数根异号，可得出两根之积小于零，再利用二次根式的被开方数非负及即可解决问题． 本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：①由图象可知：，， 对称轴为直线：， ， ，故①正确； ②抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，则与的函数值相等， 当时，，故③错误； ④当时，， ，故④正确； ⑤当时，y取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 11.【答案】D  【解析】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意， 根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， 的半径为， ， ， 设，则， 则的中点M在直线上， ，， 解得：，不合题意，舍去， 的横坐标是，的横坐标是， ， 故选： 如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到，不合题意，舍去，于是得到结论． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 12.【答案】D  【解析】解：连接DF，延长CF与DQ交于点M，连接EM，过E点作于点N， 是PQ的中点，， ， 当CF为以D为圆心，5为半径的圆相切时，最小， 此时， ， ，， ∽， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 故选： 连接DF，延长CF与DQ交于点M，连接EM，过E点作于点N，由直角三角形斜边上的中线定理可知点F点始终在以D为圆心，5为半径的圆上，故当CF为以D为圆心，5为半径的圆相切时，最小，求出此时的EN和CN的长度便可解决问题． 本题是矩形的一个综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形的面积公式，圆的性质，本题难度，关键是确定最小时F点的位置，计算量也大，对计算能力要求较高． 13.【答案】  【解析】解：，， 多项式，的公因式是； 故答案为： 根据公因式定义，对多项式，进行整理，然后即可选出有公因式的项． 此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“”． 14.【答案】  【解析】解：如图，过点B和作轴和轴于点D、C， ， ，， ，， ， ， 将绕点O逆时针旋转，点B的对应点， ，， 坐标为： 故答案为： 过点B和作轴和轴于点D、C，根据题意可得，进而可得点B的对应点的坐标． 本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 15.【答案】120  【解析】解：堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：， ， ， ， ， 故答案为： 根据题意可得，把，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可 此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比． 16.【答案】  【解析】解：连接OD， 由翻折而成， ，， ， 是等边三角形． ， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， 首先连接OD，由折叠的性质，可得，，，则可得是等边三角形，是等腰直角三角形，故可得出OC的长，再根据即可得出结论． 此题考查的是扇形面积公式，在解答此题时要注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 17.【答案】4个  【解析】解：使关于x的不等式组有解的a满足的条件是， 使关于x的方程有唯一的解的a的， 使关于x的不等式组有解，且使关于x的方程有唯一的解的数a的值为，0，1，2四个数， 故答案为：4个． 分别求得使关于x的不等式组有解，且使关于x的方程有唯一的解的a的值满足的条件，进而即可求得a的个数． 本题考查了解一元一次不等式组以及解分式方程的解等知识，解题的关键是首先确定满足条件的a的值，难度不大． 18.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是正方形，设， ， 由翻折可知，，设， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ∽， ， ，， ， ， ， ，，，， 设， 在中，则有， 解得， ， 连接，延长DP交AB于T，则四边形是平行四边形，过点作于H， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， 故答案为 四边形ABCD是正方形，设，利用相似三角形的性质，求出用a表示，构建方程求出a，再想办法求出PD，DQ即可解决问题． 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 19.【答案】解：原式 ； 原式 ， 当时， 原式  【解析】根据，及绝对值的性质求解即可得到答案； 先通分计算括号里的，再因式分解约分，约到最简代入求解即可得到答案． 本题主要考查实数的混合运算，分式的化简求值，锐角三角函数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】； 完成频数分布直方图如下： 人， 答：估计该区使用“QQ群课堂”有125人； 把理科老师记为M，文科老师记为N， 画树状图如图： 由树状图知共有6种等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有2种， 抽取两名老师都是理科的概率为  【解析】【分析】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和频数分布直方图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 由A的人数除以所占百分比得出本次调查的人数，即可解决问题； 由该区九年级老师总人数乘以使用“QQ群课堂”的九年级老师所占的比例即可； 画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】 解：本次调查的人数为人， ，， 故答案为9， 完成频数分布直方图见答案. 见答案. 21.【答案】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨， ， 解得， 每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨； 设：A种机器人采购m台，B种机器人采购台，总费用为万元， 解得： ， 随着m的减少而减少． 当时，w有最小值， 、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．  【解析】题目中的等量关系是：①每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，②3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨． 题目中的不等关系是：每天搬运的货物不低于1800吨，等量关系是：总费用型机器费用型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决． 考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决 22.【答案】证明：四边形APCD为菱形， ，， 在和中； ， ≌； 解：CF与BM的位置关系是：，证明如下： ， ， ， ， ， 由可知：≌， ， 为的角平分线， ， ， ； 解：在PM上截取，连接CN，过C作交BM于H，连接PF，如图所示：   由可知：， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 为等边三角形， ， 由可知：， 四边形BHCF为平行四边形， ，， ， ，， ， 由可知：≌， ， 的周长为3， ， 即， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 菱形APCD的周长  【解析】根据菱形的性质得，，据此可依据“SAS”判定和全等； 先由得，再由得，则，由的结论得，然后根据AP为的角平分线得，据此可得，据此可判定CF与BM的位置关系； 在PM上截取，连接CN，过C作交BM于H，连接PF，先证和全等得，，进而得为等边三角形，则，再证四边形BHCF为平行四边形得，，由此可得，然后由的周长为3，得，据此得，则，则为等边三角形，进而可证，最后在中求出PA即可得出菱形APCD的周长． 此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 23.【答案】  【解析】解：根据倒数的规定，在第三象限，只有的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标， 故答案为：； 点P是反比例函数图象上的一点， 点的“倒数点”Q满足的坐标是， ， ； 设A点坐标为 点B是点A的“倒数点”， ， 点B的纵横坐标满足， 点B在的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上， ①点B在边ED上时，点A、B纵坐标相同，即， 或舍去，点B的纵坐标为1， ， ②当点B在CD上时，点B的横坐标为3，点B的纵坐标为， 综上所述，三角形OBC的面积为或 在第三象限，只有的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标； 点的“倒数点”Q满足的坐标是据此可得点Q满足的函数表达式； 设A点坐标为则，点B的纵横坐标满足，根据反比例函数的性质可知点B在的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上，分情况讨论即可得到三角形OBC的面积． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握纵横坐标之积是定值是解答本题的关键． 24.【答案】证明：是的直径，， ， ， ， ， ∽； 解：连接BF， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，，则，， ， 是的直径， ， ，， ， ，， ∽， ， ， ， ∽， ， ； 解：设，则， ， ，， ，， ①当点G在线段OD上时， ， ，，， 过点G作交于点M， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； ②当点G在线段OB上时，同理可得； 综上所述：当点G在线段OD上时，；当点G在线段OB上时，  【解析】根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等，能够推导出，，即可证明三角形相似； 连接BF，由题意可得，在中，利用勾股定理求出，再由，得到，在中，利用勾股定理求出，，则，证明∽，求得，则，再由∽，求出； 设，则，，，分两种情况讨论：①当点G在线段OD上时，，则，，，过点G作交于点M，推导出，再由，推导出，，从而求出，，即可求；②当点G在线段OB上时，同理可得 本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 25.【答案】解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 存在点P，使，理由如下： 过P作轴于K，连接BC，如图： 在中，令得， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 设， ， 解得或与B重合，舍去， ； 的坐标为； ， 抛物线顶点M坐标为，对称轴为直线， ， ， 当∽时，如图： ， ， ， ， 当Q在对称轴右侧时，Q的坐标为， 当Q在对称轴左侧时，Q的坐标为； 当∽时，如图： ， ， ， ， 当Q在对称轴左侧时，Q的坐标为， 当Q在对称轴右侧时，Q的坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或或  【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为； 过P作轴于K，连接BC，由，，得，故，有，即得，设，从而，解方程可得P的坐标为； 由，知M坐标为，，，当∽时，根据，有，故，从而Q的坐标为或；当∽时，同理可得Q的坐标为或 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度及分类讨论思想的应用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$