2025届高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练八

2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练八【原卷版】(时间:45分钟　分值:60分) 1.(5分)若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为(　　) A.π　 B.2π　 C.3π　 D.4π 2.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点P满足=2,则点P的轨迹的圆心坐标为(　　) A.(4,0)　 B.(0,4) C.(-4,0)　 D.(2,0) 3.(5分)已知O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满足=2,则动点P轨迹与圆(x-2)2+y2=1的位置关系是(　　) A.相交　 B.相离　 C.内切　 D.外切 4.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足=,动点M的轨迹为C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与C恒有公共点,则b的取值范围是(　　) A.[-,]　 B. C.[-,]　 D. 5.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得PA=PB,PC=PD,则实数a的取值范围是(　　) A. [-2,2] B. [-2-1,2-1] C. [-2-2,2-2] D. [-2-1,2-2] 6.(5分)(多选题)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足=λ(其中λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,下列说法正确的是(　　) A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=a B.当λ=时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C.当0<λ<1时,点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D.当λ>1时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在圆内 7.(5分)(多选题)(2023·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0).点P满足=,设点P所构成的曲线为E,下列结论正确的是(　　) A.曲线E的圆心坐标为(-,0) B.≤ ≤ 4 C.曲线E的周长为π D.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为(-1) 8.(5分)已知平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为　　　　　.  9.(5分)若平面内两定点A,B间的距离为4,动点P满足=,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为　　　　;·的最大值是　　　　.  10.(5分)(2023·泰安模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=,则S△ABC的最大值为　　　　　.  11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为　　　　　.  12.(5分)(2023·盐城质检)已知圆O:x2+y2=1和点A(-,0),若定点B(b,0) (b≠-)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ=　　　　　,△MAB面积的最大值为　　　　　.  2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练八【解析版】(时间:45分钟　分值:60分) 1.(5分)若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为(　　) A.π　 B.2π　 C.3π　 D.4π 【解析】选D.以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则B(3,0).设M(x,y),依题意有,=2,化简整理得,x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则M点的轨迹围成区域的面积为4π. 2.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点P满足=2,则点P的轨迹的圆心坐标为(　　) A.(4,0)　 B.(0,4) C.(-4,0)　 D.(2,0) 【解析】选A.设P(x,y),则= 2,两边平方并整理得:(x-4)2+y2=16,所以圆心为(4,0). 3.(5分)已知O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满足=2,则动点P轨迹与圆(x-2)2+y2=1的位置关系是(　　) A.相交　 B.相离　 C.内切　 D.外切 【解析】选D.由已知动点P(x,y)满足=2,得 =2, 即动点P轨迹为圆:(x+1)2+y2=4, 因为=2+1,所以两圆外切. 4.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足=,动点M的轨迹为C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与C恒有公共点,则b的取值范围是(　　) A.[-,]　 B. C.[-,]　 D. 【解析】选C.设M(x,y),由A(-2,0),且=, 得=2,即(x-2)2+y2=8, 直线l:y=k(x-1)+b恒过定点(1,b), 把x=1代入(x-2)2+y2=8,解得y=±, 要使对任意实数k,直线l与圆C恒有公共点, 则-≤b≤,即b的取值范围是[-,]. 5.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得PA=PB,PC=PD,则实数a的取值范围是(　　) A. [-2,2] B. [-2-1,2-1] C. [-2-2,2-2] D. [-2-1,2-2] 【解析】选B.设P(x,y),由PA=PB, 则=×,整理得(x-5)2+y2=8, 动点P是以(5,0)为圆心,以2为半径的圆,另一方面,由PC=PD知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动, 因而问题就转化为直线y=a+1与圆(x-5)2+y2=8有交点,所以|a+1|≤2,故实数a的取值范围是[-2-1,2-1]. 6.(5分)(多选题)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足=λ(其中λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,下列说法正确的是(　　) A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=a B.当λ=时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C.当0<λ<1时,点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D.当λ>1时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在圆内 【解析】选AD.设P(x,y),所以|PA|=,|PB|=, 因为=λ, 所以|PA|==λ, +y2=. A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径 r==,故正确; B.当λ=时,以AB为直径的圆为x2+y2=a2,阿波罗尼斯圆为+y2=,圆心距为a,两半径之和为a,两半径之差的绝对值为a,不相切,故错误; C.当0<λ<1时,圆心的横坐标为=(1+)a<a,所以点B在阿波罗尼斯圆圆心的右侧,故错误; D.当λ>1时,点A与圆心的距离 =>=r,在阿波罗尼斯圆外;点B与圆心的距离=<=r,在圆内,故正确. 7.(5分)(多选题)(2023·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0).点P满足=,设点P所构成的曲线为E,下列结论正确的是(　　) A.曲线E的圆心坐标为(-,0) B.≤ ≤ 4 C.曲线E的周长为π D.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为(-1) 【解析】选ABD.设P(x,y),由=可得=, 整理可得x2+x+y2+1=0,化为(x+)2+y2=, 所以曲线E的圆心坐标为(-,0) ,半径为,故A正确; 圆心(-,0)到点B(1,0)的距离为, 所以-≤≤+,即≤≤4,故B正确;圆的周长为2πr=,故C错误; 圆心到直线x+y-1=0的距离为=,所以曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为-=(-1),故D正确. 8.(5分)已知平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为　　　　　.  【解析】　设P(x,y),由|PA|=2|PB|, 得=2, 整理得(x-)2+y2=, 所以点P的轨迹的圆心坐标为(,0). 答案: (,0) 9.(5分)若平面内两定点A,B间的距离为4,动点P满足=,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为　　　　;·的最大值是　　　　.  【解析】以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图, 则A(-2,0),B(2,0),设P(x,y),=, 所以=,得x2+y2-8x+4=0, 即(x-4)2+y2=12, 点P的轨迹为圆(如图),其面积为12π. ·=x2-4+y2=-4,如图,当P位于点D时,最大,的最大值为=28+16, 故·的最大值是24+16. 答案:12π　24+16 10.(5分)(2023·泰安模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=,则S△ABC的最大值为　　　　　.  【解析】方法一(直解法): 以BD中点O为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y), B(-,0),D(,0),则AB=2AD. 即(x+)2+y2=4[(x-)2+y2], 整理得, (x-)2+y2=,即有|y|≤, 所以S△ABC=2S△ABD=BD·|y|≤2, 当|y|=时取等号,所以S△ABC的最大值为2. 方法二(秒解法): 由题知,AB=AC,中线BD=,S△ABC=2S△ABD.又AB=2AD,所以点A的轨迹是以B,D为定点的阿波罗尼斯圆,其半径为r===,所以(S△ABC)max=2×|BD|·r=2×××=2. 答案:2 11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为　　　　　.  【解析】点C在直线l:y=2x-4上,故设C的坐标为(a,2a-4).因为圆C的半径r1=1,所以圆C的方程是(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1. 设点M(x,y),则由|MA|=2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D,即=2,化简整理得x2+(y+1)2=4.所以点M(x,y)在以D(0,-1)为圆心,r2=2为半径的圆上.又点M(x,y)在圆C上,所以两圆有公共点的条件是|r1-r2|≤|DC|≤|r1+r2|, 即1≤5a2-12a+9≤9,解得0≤a≤. 即a的取值范围是[0,]. 答案: [0,] 12.(5分)(2023·盐城质检)已知圆O:x2+y2=1和点A(-,0),若定点B(b,0) (b≠-)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ=　　　　　,△MAB面积的最大值为　　　　　.  【解析】设点M(x,y),由|MB|=λ|MA|, 得(x-b)2+y2=λ2[(x+)2+y2], 整理得x2+y2-x+=0, 所以解得 如图所示,S△MAB=|AB|·|yM|, 由图可知,当|yM|=1,即M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,S△MAB取得最大值,故△MAB面积的最大值为×|--(-2)|×1=. 答案:2　 学科网（北京）股份有限公司 $$