精品解析：四川省德阳外国语学校2023-2024学年下学期七年级C7班第一次月考数学试题

德外初2023级C7班2024年春期数学第一月知识梳理 班级______ 姓名______ （用时120分钟，总分150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下面的图形中对称轴最多的是( ) A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. a（x－y）＝ax－ay B. x2－1＝（x+1）（x－1） C. （x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D. x2+2x+1＝x（x+2）+1 3. 如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（　　） A. B. C. D. 4. 已知多边形的每个内角都是108°,则这个多边形是( ) A. 五边形 B. 七边形 C. 九边形 D. 不能确定 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11. 已知a、b、c是三角形的三边，则代数式的值（ ） A. 不能确定 B. 大于0 C. 等于0 D. 小于0 12. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 二、填空题（每小题4分，共32分） 13. 0.52017×（﹣2）2018＝_____． 14. 已知，，则________ 15. 如图，等腰三角形中，已知的垂直平分线交于，则的度数为__________°． 16. 如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为___________． 17. 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为_____． 18. 已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝_____． 19. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________． 20. 如图所示，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④，正确的结论是______. 三、解答题 21. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 先化简，再求值： （1）6x2y（﹣2xy＋y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1； （2）（x＋2y）（x﹣2y）＋（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝. 23. 如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF． （1）求证：∠DBE＝∠DCF； （2）求证：△ABC为等腰三角形． 24. 阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）的三边满足，判断的形状． 25. 已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接， （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德外初2023级C7班2024年春期数学第一月知识梳理 班级______ 姓名______ （用时120分钟，总分150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下面的图形中对称轴最多的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别得出各选项对称轴的条数，进而得出答案． 【详解】A、有1条对称轴； B、有4条对称轴； C、有1条对称轴； D、有2条对称轴； 综上可得：对称轴最多的是选项B． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题关键． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. a（x－y）＝ax－ay B. x2－1＝（x+1）（x－1） C. （x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D. x2+2x+1＝x（x+2）+1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、a（x-y）=ax-ay，是多项式的乘法运算，故此选项错误，不符合题意； B、x2-1=（x+1）（x-1），正确，符合题意； C、（x+1）（x+3）=x2+4x+3是多项式的乘法，故此选项错误，不符合题意； D、x2+2x+1=x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；判定三角形的全等首先要找出已经具备哪些已知条件，即相等的边或相等的角，根据三角形的判定方法判定缺少哪些条件．判定已经具备的条件是，，再加上两角的夹边对应相等，就可以利用来判定三角形全等． 【详解】解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项错误； B、不是对应边相等，故本选项错误； C、不是对应边相等，故本选项错误； D、， ， 又，， ，故本选项正确； 故选：D． 4. 已知多边形的每个内角都是108°,则这个多边形是( ) A. 五边形 B. 七边形 C. 九边形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案． 【详解】∵多边形的每个内角都是108°， ∴每个外角是180°-108°=72°， ∴这个多边形的边数是360°÷72°=5， ∴这个多边形是五边形， 故选A． 【点睛】此题考查多边形的外角与内角，解题关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方的运算法则解答即可． 【详解】解：A.，计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，计算错误，不符合题意； D.，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方运算法则，熟记公式和法则并能正确计算是解题的关键． 6. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论． 7. 已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，根据展开式不含x的一次项，且常数项为-9，可求得a和b的值，代入计算即可． 【详解】解： 又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为-9， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，负整数指数幂．能根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键． 8. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，连接、， ∴，，， ∴， 此时取得最小值， ∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ，， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【点睛】本题是轴对称—最短路线问题，考查了轴对称的性质，等边对等角，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短．正确作出辅助线，在等腰中确定是解题的关键． 10. 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解． 【详解】解：如图， 分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决. 11. 已知a、b、c是三角形的三边，则代数式的值（ ） A. 不能确定 B. 大于0 C. 等于0 D. 小于0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据乘法公式进行整理原式，然后根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴． ∴， 故选：D． 12. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③ ④均是正确的,②缺少条件无法证明. 【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°, ∵∠ACB＝∠BAD ∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B, ∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°, ∴∠CAB=90°,①正确, ∵AE平分∠CAD,EF∥AC， ∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误, ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF, ∴∠BAE＝∠BEA,③正确, ∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确, 综上正确的一共有3个,故选B. 【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键. 二、填空题（每小题4分，共32分） 13. 0.52017×（﹣2）2018＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用积的乘方的逆用使计算简便. 【详解】解：0.52017×（﹣2）2018 ＝0.52017×（﹣2）2017×（﹣2） ＝﹣（×2）2017×（﹣2） ＝2 故答案为：2． 【点睛】本题考查积的乘方的逆用，熟记公式正确计算是本题的解题关键. 14. 已知，，则________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：2． 15. 如图，等腰三角形中，已知的垂直平分线交于，则的度数为__________°． 【答案】60 【解析】 【分析】如图，连结BD，根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，再利用三角形内角和定理计算出∠ABC＝（180−∠A）＝80，接着根据线段垂直平分线的性质得DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝20，然后利用∠CBD＝∠ABC−∠DBA进行计算即可． 【详解】如图，连结BD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠ABC＝（180−∠A）＝×（180−20）＝80， ∵AB的垂直平分线交AC于D， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝20， ∴∠CBD＝∠ABC−∠DBA＝80−20＝60． 故答案为60． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． 16. 如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由翻折的性质可知：，；再根据三角形的内角和定理求解即可； 【详解】解：由翻折的性质可知： 故答案为：． 17. 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】20°． 【解析】 【分析】依据题意，设出顶角度数，根据“特征值”可知底角度数，再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】如图． ∵△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝， ∴∠A：∠B＝1：4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+4∠A+4∠A＝180°， 即9∠A＝180°， ∴∠A＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的知识，灵活运用这部分知识是解决本题的关键． 18. 已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝_____． 【答案】17 【解析】 【分析】先利用完全平方公式展开，然后再求和. 【详解】根据（x+y）2=25，x2+y2+2xy=25;（x﹣y）2=9, x2+y2-2xy=9,所以x2+y2=17. 【点睛】(1)完全平方公式：. (2)平方差公式：(a+b)(a-b)=. (3)常用等价变形： , , . 19. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 20. 如图所示，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④，正确的结论是______. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】因为为等边三角形，根据已知条件可推出，则，故②正确，，所以是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，也是边上的高和中线，即点P是的中点，因为，所以点Q是的中点，所以是边的中线，有，故③正确，又可推出，故④正确． 【详解】解：∵于点，于S点， ∴ ∵， 在和中， ∴， ∴，故②正确， ∴是等边三角形的顶角的平分线，故①正确； ∴是边上的高和中线，即点P是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴，故③正确； ∵是等边三角形， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴，故④正确； ∴全部正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握等边三角形的性质是关键． 三、解答题 21. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （4）利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 22. 先化简，再求值： （1）6x2y（﹣2xy＋y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1； （2）（x＋2y）（x﹣2y）＋（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝. 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据整式的乘除运算进行化简，然后代入进行求值即可； （2）利用乘法公式进行整式的运算，然后代值求解即可． 【详解】解：（1）原式=， 把x=2，y=-1代入得：原式=； （2）原式=， 把x＝﹣2，y＝代入得：原式=． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式及整式的乘除是解题的关键． 23. 如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF． （1）求证：∠DBE＝∠DCF； （2）求证：△ABC为等腰三角形． 【答案】 证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）； （2）∵Rt△DBE≌Rt△DCF， ∴∠EBD＝∠FCD， ∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠DBC＋∠EBD＝∠DCB＋∠FCD， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． 【解析】 【分析】（1）根据HL可证明Rt△DBE≌Rt△DCF； （2）由全等三角形的性质得出∠EBD＝∠FCD，由等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠DCB，则可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）的三边满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）按照题目给出的方法，把前三项分成一组，后两项分成一组，因式分解即可； （2）按照题目给出的方法先把等式左边因式分解，得出三边的关系，再判断三角形形状即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 是三角的三边， ， ， 得， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了分组分解法进行因式分解，解题关键是读懂题目给出的方法，熟练运用这种方法进行因式分解． 25. 已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接， （1）在图1中，当点D在边上时，求证：； （2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，由（1）同理可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）； 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）如图1中，证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）如图2，由（1）同理证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （3）先补全图形如下：由（1）同理可得，，再利用全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，结论：．理由如下： 补全图形如下： 由（1）同理可得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $