精品解析：江苏省南京市联合体2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期期末测试卷 七年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 计算（a2）3，正确结果是（　　） A. a5 B. a6 C. a8 D. a9 2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子不正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如果三角形的两边﹑长分别为和，则其第三边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中：，，，，能判断的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 关于命题“如果，那么”，下列判断正确是（ ） A. 该命题及其逆命题都是真命题 B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题 C. 该命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 该命题及其逆命题都是假命题 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，的边在直线上，与的平分线交于点，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 计算：_______；_______． 10. 某种花粉颗粒的直径约为，将用科学记数法表示为______． 11. 已知满足方程组则值为______． 12. 已知 ，若，则的取值范围是______． 13. 已知，，则的值为____________． 14. 年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有__________种. 15. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 16. 如图，在线段上取一点，分别以、为直角边作等腰直角三角形、等腰直角三角形．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，则的长为______． 17. 如图，，的平分线与的平分线交于点．若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．） 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程组． 21. 解不等式组并写出它的整数解． 22. 已知，如图，∠1=∠2，∠B=∠D，求证：AD∥BC 23. 当时，试说明：． 24. 一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米． （1）求、两地之间的距离； （2）该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 25. 定义：只有一组对角相等四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （3）如图，已知，点分别在边上．在内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度第二学期期末测试卷 七年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 计算（a2）3，正确结果是（　　） A. a5 B. a6 C. a8 D. a9 【答案】B 【解析】 【详解】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6． 故选B． 2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能熟记公式是解题的关键，；根据平方差公式判断即可． 【详解】A、不能用平方差公式进行计算，故本选项错误； B、不能用平方差公式进行计算，故本选项错误； C、能用平方差公式进行计算，故本选项正确； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项错误； 故选：C 3. 若，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； B、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； C、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； D、∵，∴，故原选项不正确，符合题意； 故选：D． 4. 如果三角形的两边﹑长分别为和，则其第三边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键；根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围． 详解】， 故选：C 5. 如图，下列条件中：，，，，能判断的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：如图， ①∵，∴，故①符合题意； ②∵，∴，故②不符合题意； ③∵，∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 6. 关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（ ） A. 该命题及其逆命题都是真命题 B. 该命题是真命题，其逆命题是假命题 C. 该命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，写命题的逆命题，写出逆命题并判断真假即可． 【详解】解：关于命题“如果，那么”，是真命题， 逆命题为：如果，那么，是假命题， 故选：B． 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 8. 如图，的边在直线上，与的平分线交于点，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， 的平分线交于点 , 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 计算：_______；_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，直接根据零指数幂和负整数指数幂的计算方法求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：1；． 10. 某种花粉颗粒的直径约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．将一个数表示为的形式，其中, 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 已知满足方程组则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题加减消元法解二元一次方程组，由得，由此即可得出答案，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：， 由得：， ∴， 故答案为：． 12. 已知 ，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，正确解不等式是解决本题的关键；根据题意构造不等式，解不等式即可． 【详解】 ， ， 解得： 故答案为： 13. 已知，，则的值为____________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂乘法的逆运算求解即可．熟知相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 14. 年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求解． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有种购买方案． 故答案为：． 15. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式x-a≤2得：x≤2+a， 解不等式x+3＞4得：x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x≤2+a， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴4≤2+a＜5， ∴2≤a＜3， 故答案为2≤a＜3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 16. 如图，在线段上取一点，分别以、为直角边作等腰直角三角形、等腰直角三角形．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．由等腰直角三角形、等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，设，，得，，得，即可得． 【详解】解：由等腰直角三角形、等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5， 设，， 得，， 得， 得． 故答案为：6． 17. 如图，，的平分线与的平分线交于点．若，则______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，再由平行线的性质结合三角形外角的定义及性质得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴ ， 如图，令、交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．） 18 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了综合提取公因式法和公式分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可得出答案； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了化简求值，根据完全平方公式，平方差公式化简后代入字母的值，即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式 20. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由①可得：， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为． 21. 解不等式组并写出它的整数解． 【答案】；整数解有：，0，1 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴它的整数解为，0，1． 22. 已知，如图，∠1=∠2，∠B=∠D，求证：AD∥BC 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：∵ ∴△ABC≌△CDA ∴∠DAC=∠BCA ∴AD∥BC 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键． 23. 当时，试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了不等式的证明，熟练掌握作差法是解题的关键，根据已知条件，结合作差法，即可求证． 【详解】证明： ，， ， ， ， 24. 一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米． （1）求、两地之间的距离； （2）该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 【答案】（1）千米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，分式方程等知识点，解题的关键是根据题意列出方程，解方程；（1）设货车速度为，、两地之间的距离为，根据题意列方程，解方程即可；（2）根据路程与时间和速度的关系，列出分式方程，解分式方程即可， 【小问1详解】 解：设货车速度为，、两地之间的距离为，由题意得：， 解得 答：、两地之间的距离为千米 【小问2详解】 根据题意可知，两车在距离地千米相遇时，有最大值， 则， 解得： 两车在距离地千米相遇时，有最小值， 则， 解得：， 故的取值范围为： 25. 定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （3）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）135；（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】 分析】（1）由题意得出，再由计算即可得出答案； （2）设，由角平分线的定义得出，，求出，在计算出，得出，即可得证； （3）根据等角四边形的定义作图即可． 【详解】（1）解：∵四边形是等角四边形，，， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是等角四边形， ∴， 设， ∵在四边形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，作，作射线，作，，、交于点，点即为所求， ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是等角四边形， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、作图—设计与应用作图、三角形内角和定理、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $