2.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积 【考点1 弧长的计算】 【考点2 利用弧长公式求周长】 【考点3 计算扇形的面积】 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 【考点6 圆锥的计算】 知识点1：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【考点1 弧长的计算】 【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（　　） A． B． C． D．π 【变式1-1】（2023•钦州一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E＝22.5°，OB＝2，则的长为（　　） A． B． C．π D．π 【变式1-2】（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023•兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（　　）cm A． B． C． D． 【考点2 利用弧长公式求周长】 【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　） A．2π B． C． D． 【变式2-1】（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022•山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传版面的周长为（　　） A．（π+2）m B．（π+2）m C．（）m D．（）m 【变式2-3】（2023•安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（　　） A．3π B．2π C．π D． 【考点3 计算扇形的面积】 【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3m2 C． D． 【变式3-1】（2023•温州三模）一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 　　 ． 【变式3-2】（2023•嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧BC的长度为20πcm，弧DE的长度为，扇面边缘宽BD的长为20cm，则扇面DBCE的面积为 　　 cm2． 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 　　． 【变式4-3】（2023•叶县模拟）如图，扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则以AB为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 　 　cm2． 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 【典例5】（2023•丰润区二模）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．3π 【变式5-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（　　） A． B． C．6π D．以上答案都不对 【变式5-2】（2023春•诸暨市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　） A．π﹣ B．π+ C．π D． 【变式5-3】（2023•义乌市校级开学）如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面积（即阴影部分面积）为（　　） A． B． C． D． 知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点6 圆锥的计算】 【典例6】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【变式6-1】（2023•武陵区一模）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则该圆锥的侧面积是（　　） A．30cm2 B．30πcm2 C．15πcm2 D．12πcm2 【变式6-2】（2023•仁和区二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　） A． B．144πm2 C． D．216πm2 【变式6-3】（2023•蜀山区二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 1．如图，在中，，与相切于点，点在上，若的半径为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，将绕点O逆时针旋转至，点 在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积是（     ） A． B． C． D． 3．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知圆锥的底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 6．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，将其抽象绘制成右图所示的两个有公共圆心O的扇形，若， 则阴影部分面积为（   ）    A． B． C． D． 9．一个扇形的半径为，面积为，则它的圆心角为 度． 10．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留） 11．如图，如图，为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点，若，则阴影部分的面积为 ． 12．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 13．在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 14．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    16．如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    17．如图，以正方形的顶点A为圆心，长为半径画弧，得到扇形纸片，用这个扇形纸片围成一个无底的圆锥．若正方形的边长为，则圆锥的底面半径为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积 【考点1 弧长的计算】 【考点2 利用弧长公式求周长】 【考点3 计算扇形的面积】 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 【考点6 圆锥的计算】 知识点1：扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【考点1 弧长的计算】 【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（　　） A． B． C． D．π 【答案】C 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵BC＝， ∴OB＝OC＝BC＝1， ∴的长为：＝π， 故选：C． 【变式1-1】（2023•钦州一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E＝22.5°，OB＝2，则的长为（　　） A． B． C．π D．π 【答案】B 【解答】解：∵∠E＝22.5°， ∴∠BOC＝2∠E＝45°， ∵OB＝2， ∴的长为＝， 故选：B． 【变式1-2】（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：图中的管道中心线的长为＝（m）， 故选：B． 【变式1-4】（2023•兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（　　）cm A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD， ∵∠OAD＝∠BAC＝30°， ∴OD＝OA＝4cm， ∴AD＝＝＝4（cm）， ∴AB＝2AD＝8cm， ∴弧BC的长＝， 故选：D． 【考点2 利用弧长公式求周长】 【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　） A．2π B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°， ∴＝＝， ∵的长＝＝π， ∴“莱洛三角形”的周长等于的长×3＝×3＝2π． 故选：A． 【变式2-1】（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝＝＝10， ∵D为BC的中点， ∴AD＝BD＝CD＝BC＝5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形，DE＝AC＝4，DF＝AB＝3， ∴AF＝DE，AE＝DF，∠MDN＝90°， ∵DE+DM＝DF+FN＝AD， ∴阴影部分的面积为2AD+＝10+， 故选：C． 【变式2-2】（2022•山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传版面的周长为（　　） A．（π+2）m B．（π+2）m C．（）m D．（）m 【答案】A 【解答】解：如图，延长AD、交BC的延长线于点E， ∵∠ADC＝∠BCD＝120°， ∴∠CDE＝∠DCE＝60°， ∴∠E＝60°， ∴DE＝DC＝0.8m， ∴AE＝AD+DE＝0.6+0.8＝1.4（m）， ∴＝＝， ∴这块宣传版面的周长为：AD+DC+BC+＝0.6+0.8+0.6+＝＝（m）． 故选：A． 【变式2-3】（2023•安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（　　） A．3π B．2π C．π D． 【答案】C 【解答】解：根据图示可得：在△ABC内的三段弧长度之和为：＝π， 故选：C． 【考点3 计算扇形的面积】 【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3m2 C． D． 【答案】A 【解答】解：如图， S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC ＝﹣＝π（m2）． 故选：A． 【变式3-1】（2023•温州三模）一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为 　　． 【答案】． 【解答】解：扇形的面积＝＝． 故答案为：． 【变式3-2】（2023•嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧BC的长度为20πcm，弧DE的长度为，扇面边缘宽BD的长为20cm，则扇面DBCE的面积为 　　cm2． 【答案】． 【解答】解：设扇形的圆心角为n°， 则＝20π，π， ∴AB＝3AD， ∵BD＝AB﹣AD＝20， ∴AD＝10，BD＝30， ∴n＝120， 则扇面的面积为（cm2）． 故答案为：． 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF ＝×1×+﹣ ＝+， 故选：A． 【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处， ∴AC＝AO，BC＝BO， ∵AO＝BO， ∴四边形AOBC是菱形， 连接OC交AB于D， ∵OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAO＝∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵AC＝6， ∴OC＝3，AD＝AC＝3， ∴AB＝2AD＝6， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC＝﹣6×6＝12π﹣18． 故选：A． 【变式4-2】（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 　6π　． 【答案】6π． 【解答】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD＝OC＝OB； ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝30°，AB＝12， ∴， ∵BC＝CD，为半圆， ∴， ∵OD＝OC＝OB， ∴，△COD为等边三角形， ∴OE⊥BD，BD＝2BE，， ∴，，， ∴， ∴S阴影＝S扇形OCB+S△OCD﹣S△OBD ＝ ＝6π． 故答案为：6π． 【变式4-3】（2023•叶县模拟）如图，扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则以AB为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 　　cm2． 【答案】． 【解答】解：∵扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°， ∴（cm2）， 过点O作OP⊥AB于点P， 则AP＝BP， ∵OA＝OB， ∴∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴∠OAP＝30°， ∴（cm）， 在Rt△AOP中，由勾股定理得：（cm）， ∴AB＝2AP＝（cm）， ∴（cm2）， ∴（cm2） ∴S阴影＝S半圆﹣（S扇形OAB﹣S△AOB） ＝ ＝ ＝（cm2）， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 【典例5】（2023•丰润区二模）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．3π 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3， ∴∠ABC＝30°． ∴AB＝2AC＝6． 根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′． ∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC ＝ ＝． 故选：C． 【变式5-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（　　） A． B． C．6π D．以上答案都不对 【答案】B 【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C， ∴△ABC≌△A′B′C， ∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝60°． ∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C， ∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′， ∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝π． 故选：B． 【变式5-2】（2023春•诸暨市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　） A．π﹣ B．π+ C．π D． 【答案】C 【解答】解：连接BH，BH1， ∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置， ∴△OBH≌△O1BH1， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， ∴AC＝＝＝2． ∵H为边AC的中点， ∴CH＝AC＝， ∴BH＝＝＝， ∴阴影部分面积＝＝＝π． 故选：C． 【变式5-3】（2023•义乌市校级开学）如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面积（即阴影部分面积）为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2， ∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝4， ∴AC＝BC＝2， ∵∠ABE＝30°， ∴∠DBF＝30°， ∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°， ∴DB＝AC＝2， 由旋转变换可知，△BDE≌△BFA， ∴S△BDE＝S△BFA， ∴S阴影＝S扇形ABE+S△BDE﹣S△BFA﹣S扇形BDF ＝S扇形ABE﹣S扇形BDF ＝﹣ ＝π﹣π ＝π． 故选：C． 知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点6 圆锥的计算】 【典例6】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】B 【解答】解：∵圆锥底面圆的半径为1， ∴圆锥底面圆的周长为：2πr＝2π×1＝2π， ∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为：2π． 故选：B． 【变式6-1】（2023•武陵区一模）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则该圆锥的侧面积是（　　） A．30cm2 B．30πcm2 C．15πcm2 D．12πcm2 【答案】C 【解答】解：圆锥的侧面积＝（cm2）． 故选：C． 【变式6-2】（2023•仁和区二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　） A． B．144πm2 C． D．216πm2 【答案】A 【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为rm， 根据题意得πr2＝36π， 解得r＝6， 所以圆锥的母线长为＝2（m）， 所以需要毛毡的面积＝2π×6×4+×2π×6×2＝（48+12）πcm2． 故选：A． 【变式6-3】（2023•蜀山区二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【解答】解：设圆锥的母线长为l， ∴， ∴， ∵π×2×l＝8π， ∴， ∴θ＝180°， 故选：D． 1．如图，在中，，与相切于点，点在上，若的半径为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、三角形内角和定理、等边对等角、弧长公式，连接、，由切线的性质得出，求出，由等边对等角并结合三角形内角和定理得出，最后由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，中，，将绕点O逆时针旋转至，点 在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是考查了旋转，扇形面积．熟练掌握旋转的性质，扇形面积公式，含角的直角三角形性质，是解答本题的关键． 先在中利用角求出、、，接着可以求出，则可以表示出、、，则阴影部分的面积可求． 【详解】在中，，，， ∴，， ∴， ∴，， 由旋转知，，，， ∴，， ∴． ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 3．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、正方形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，和全等， ， 故选：A． 4．如图，已知圆锥的底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可．此题主要考查了圆锥侧面展开图与圆锥各部分对应情况，这个问题在中考中是重点题型． 【详解】解：圆锥底面圆的半径为3， 圆锥底面圆的周长为：， 圆锥侧面展开图扇形的弧长为：． 故选：B． 5．已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：B． 6．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 7．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，关键是熟练记忆圆锥的侧面积公式．利用圆锥的侧面积底面周长母线长求出即可． 【详解】解：底面半径，底面周长， 圆锥的侧面积． 故选：A 8．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，将其抽象绘制成右图所示的两个有公共圆心O的扇形，若， 则阴影部分面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键． 阴影部分面积为扇形的面积与扇形的面积之差． 【详解】解： 故选：B． 9．一个扇形的半径为，面积为，则它的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的圆心角度数，设该扇形的圆心角度数为，根据扇形面积公式建立方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 根据扇形面积公式得：， 解得：， 故答案为：． 10．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．根据题意得到重物上升的距离和滑轮旋转了的弧长相同，再根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：由题知，重物上升的距离和滑轮旋转了的弧长相同， （）， 重物上升了； 故答案为：． 11．如图，如图，为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形的面积． 连接、、，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算扇形面积就可． 【详解】解：连接、、． ∵为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴和等底等高， ， ∵点为半圆的三等分点， ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 12．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算，设此圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键． 【详解】解：设此圆锥的母线长为， 根据题意得，解得， 即此圆锥的母线长为， 故答案为：． 14．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，以及扇形的面积，掌握“旋转前后的两个图形全等，旋转前后的面积相等”，以及扇形的面积公式是解题的关键．根据题意可知边在旋转过程中所扫过的面积是扇形的面积减去扇形的面积，根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图， 由旋转的性质得，， 则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积加上减去扇形的面积再减去， 即边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：扇形的面积减去扇形的面积， ，， ， 故答案为：． 15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 16．如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：由勾股定理得：母线， ． 故答案为：． 17．如图，以正方形的顶点A为圆心，长为半径画弧，得到扇形纸片，用这个扇形纸片围成一个无底的圆锥．若正方形的边长为，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$