2.6—2.8 正多边形与圆 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

2.6—2.8 正多边形与圆 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 一、正多边形与圆 1.正多边形的定义及性质 （1）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 （2）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （3）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 （4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 （5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 （6）多边形的性质：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心。 2.正多边形与圆的关系 （1）把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。 （2）经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 （3）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。 3.正多边形有关的计算 （1）正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n。 （2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360°/n。 二、弧长及扇形的面积 弧长公式： l=nπr÷180 （角度制） 其中，l是弧长，n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度，π是圆周率。 扇形面积公式： S=nπr²÷360 （角度制） S=lr÷2 其中，S是扇形面积，n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度，l是弧长。 三、圆锥的侧面积 圆锥的侧面积公式为 S = π R L，其中 R 是圆锥底面半径，L 是圆锥的母线长。这个公式的推导过程涉及将圆锥沿其母线剪开，得到一个扇形，扇形的半径即为圆锥的母线长，扇形的弧长即为圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积就等于这个扇形的面积，即半径与弧长的乘积的一半再乘以 π。 巩固课内例1:求正多边形的周长与面积 1．正六边形的周长是12，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的面积等于 ． 3．综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 巩固课内例2:求弧长 1．如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 3．如图，已知四边形内接于圆． (1)求的度数； (2)若的半径为6，求的长． 巩固课内例3:求扇形面积 1．如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为 ． 3．甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 巩固课内例4:求圆锥侧面积 1．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ． 3．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 类型一、求半径 1．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 3．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 类型二、求圆心角 1．若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 3．如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日星期日 错题积累 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交，于点E，F． … [自勉] 读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确． ——培根 任务： (1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：与相切于点D； (3)若，劣弧的长为，求度数． 类型三、求阴影部分面积 1．如图，矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心， 的长为半径画弧，交于点 F，则阴影部分的面积为（   ） A．12π B． C． D． 2．一张圆心角为的扇形纸板可按如图方式剪下一个边长为1的正方形，则阴影部分图形的面积之和为 ．（结果保留） 3．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 类型一、求圆锥底面半径 1．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（    ） A．2.5 B．5 C． D． 2．一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为 ． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径． 类型二、求圆锥的高 1．如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 3．已知如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求扇形的面积； (2)若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高． 类型三、正多边形与圆结合 1．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 2．如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 3．活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①________ ②________ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③________ ④________ ．．． ．．． ．．． ．．． （1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________． 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．          观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为． （2）如图2，正方形的周长为__________； （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案． 类型一、尺规作正多边形 1．如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程： ①作直径； ②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，； ③连接，，． 结论Ⅰ：是等边三角形； 结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形． 对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 2．尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 ． 3．仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 类型二、求不规则图形的面积 1．如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 2．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，在中，是直径，是圆上一点，连接，过点作交于点，延长交于点是延长线上一点，连接，已知，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 类型三、圆锥侧面积最短问题 1．已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 3．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6—2.8 正多边形与圆 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 一、正多边形与圆 1.正多边形的定义及性质 （1）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 （2）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （3）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 （4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 （5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 （6）多边形的性质：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心。 2.正多边形与圆的关系 （1）把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。 （2）经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 （3）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。 3.正多边形有关的计算 （1）正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n。 （2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360°/n。 二、弧长及扇形的面积 弧长公式： l=nπr÷180 （角度制） 其中，l是弧长，n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度，π是圆周率。 扇形面积公式： S=nπr²÷360 （角度制） S=lr÷2 其中，S是扇形面积，n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度，l是弧长。 三、圆锥的侧面积 圆锥的侧面积公式为 S = π R L，其中 R 是圆锥底面半径，L 是圆锥的母线长。这个公式的推导过程涉及将圆锥沿其母线剪开，得到一个扇形，扇形的半径即为圆锥的母线长，扇形的弧长即为圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积就等于这个扇形的面积，即半径与弧长的乘积的一半再乘以 π。 巩固课内例1:求正多边形的周长与面积 1．正六边形的周长是12，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定．过点O作于点G，证明是等边三角形，求出，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点O作于点G，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，作于，求出得出为等边三角形，即可求解．灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键． 【详解】解： 正六边形的周长是， ， 所以这个多边形的边长为． 如图，作于， ，且， 为等边三角形， 等边三角形的边长是， ， ， 等边三角形的面积是， 正六边形的面积是：． 故答案为：． 3．综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【答案】[探究发现]（1）；（2）或（3）；[应用结论]能，理由见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用； 【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解; （3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解； 【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． （2）解：作于点， 是等边三角形，周长为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ；    （3）∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∵正六边形的周长为，则边长为， ∴正六边形的面积为；    ∵、、、， ∴， 【应用结论】解：能，护栏网围成圆时，面积能达到； 根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大， ∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到． 巩固课内例2:求弧长 1．如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 2．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 3．如图，已知四边形内接于圆． (1)求的度数； (2)若的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的对角互补．在同圆或等圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半以及弧长公式：，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的对角互补，算出，是等腰三角形，即可求出的度数． （2）算出根据圆周角定理求出用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形内接于圆， （2）连接， 故的长为：． 巩固课内例3:求扇形面积 1．如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及菱形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据菱形的面积，扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线，， ，，，， ， ∴圆的半径为：，且四个扇形组成半径为的圆， ． 故选：． 2．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，以及等边三角形的性质，此题的关键是明确曲边三角形的面积三角形的面积三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积三个弓形的面积，根据三角形和扇形面积公式即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∵曲边三角形的周长为， ∴， 解得：， 即， 如下图所示，过点作于点D， 则有， ， ， ， ∴曲边三角形的面积为． 故答案为： 3．甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务： 【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 【任务一】确定弦的长度． （1）如图2，求出弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． （2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积． 【任务三】确定卡纸大小． （3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）． 【答案】[任务一] ；[任务二] ；[任务三] ， 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解； 任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，结合扇形面积公式即可求解； 任务三：由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接， 由题意知，，由上得，可得，则，，由勾股定理得，那么，即，同理：，则，即． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点，   ，， ， ， ，， ； 任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为 ； 任务三：解：如图 由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接，连接交于点N，交于点， 由题意知，， 由上得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 同理：， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，圆的切线的性质，扇形面积的求解，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 巩固课内例4:求圆锥侧面积 1．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 设母线长为，底面圆半径为，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出与的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【详解】设母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积为 ， ∴底面积为， ∴ ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍， 故选∶B． 2．若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 3．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 类型一、求半径 1．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 2．已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 3．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】8.5m 【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可 【详解】解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）． ∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 类型二、求圆心角 1．若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求扇形圆心角度数，设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆心角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：D． 2．折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 3．如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日星期日 错题积累 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交，于点E，F． … [自勉] 读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确． ——培根 任务： (1)仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：与相切于点D； (3)若，劣弧的长为，求度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查尺规作图，圆的切线判定定理，弧长公式． （1）先作的角平分线，再作的垂直平分线交于，最后以为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，由平分，得，又因为，所以，即得，，从而，，即可得出结论； （3）设，根据，劣弧的长为，求出，进而得，再根据得． 【详解】（1）解：根据题目要求补全图形如下： （2）证明：连接，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切于点D； （3）解：设， ∵，劣弧的长为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴． 类型三、求阴影部分面积 1．如图，矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心， 的长为半径画弧，交于点 F，则阴影部分的面积为（   ） A．12π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据是解答本题的关键． 先分别求出， ，再根据即可得解． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 2．一张圆心角为的扇形纸板可按如图方式剪下一个边长为1的正方形，则阴影部分图形的面积之和为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】先证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求得半径的长，然后利用扇形的面积减去正方形面积求出阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：连接. ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中, ， ∴阴影部分图形的面积之和为. 故答案是：. 【点睛】本题考查了利用正方形的性质求线段的长，扇形面积公式，等腰直三角形的性质，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出相关线段的长． 3．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的半径 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案； （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ 类型一、求圆锥底面半径 1．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（    ） A．2.5 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆锥和扇形的相关计算，掌握圆锥的底面圆周长展开后的扇形的弧长是解题的关键． 圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长展开后的扇形的弧长，列方程求解． 【详解】设圆锥的底面圆半径为r， 依题意，得 解得． 故圆锥的底面半径为2.5． 故选A． 2．一圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆锥的展开图、扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键． 根据圆锥的展开图是扇形，母线长为扇形的半径，底面周长是扇形的弧长，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，底面周长为， 由得， 故答案为：2． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，再设该圆锥底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵， ， ∴为等腰直角三角形，， 设该圆锥底面圆的半径为， 根据题意得， 解得：， 即该圆锥底面圆的半径为． 类型二、求圆锥的高 1．如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案． 【详解】解：∵半径为的圆形， ∴底面圆的半径为2，周长为， 扇形弧长为：， ∴，即母线为， ∴圆锥的高为：． 故选：A． 2．如图，将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，算出围成圆锥的扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：∵将半径为的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面， ∴围成圆锥的弧长所对圆心角度数是， 围成圆锥的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为． 故答案为：． 3．已知如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求扇形的面积； (2)若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算，展开图折叠成几何体，扇形面积的计算，勾股定理，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线是解题关键． （1）利用扇形面积计算公式解答即可； （2）设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为，半径为． 扇形的扇形面积； （2）如图，设圆锥底面圆的半径为， ， 解得， 在中，，， ． 类型三、正多边形与圆结合 1．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 2．如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，连接，，连接交于点，得，，求出，故可得． 【详解】解：如图，连接，，连接交于点， 正六边形内接于， 经过点，且，，， ， ， ， 在正六边形中，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①________ ②________ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③________ ④________ ．．． ．．． ．．． ．．． （1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________． 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．          观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为． （2）如图2，正方形的周长为__________； （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案． 【答案】（1）①，②，③，④不能；（2）8；（3）；（4），， 【分析】（1）根据正方形，正八边形内角性质解答； （2）根据正方形内切圆半径为1，得正方形边长为2，即得正方形周长； （3）根据正六边形内切圆半径为1，得正六边形边长为，即得正六边形周长； （4）在周长都是12的情况下，得正三角形的边长为4，边心距为，积为；正方形的边长为3，面积为9；正六边形的边长为2，边心距为，面积为． 【详解】（1）∵正方形每个内角为 ， ∴， ∴能密铺； ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴不能密铺； 故答案为：①；② ；③；④不能； （2）设切于点E，连接， 则交于点O，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的周长为8； 故答案为：8； （3）设切于点G，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正六边形周长为； （4）三角形： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 正方形： ∵， ∴， 正六边： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌．熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 类型一、尺规作正多边形 1．如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程： ①作直径； ②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，； ③连接，，． 结论Ⅰ：是等边三角形； 结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形． 对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解题的关键． 结论Ⅰ：连接，由作图可知是等边三角形，根据同弧（等弧）所对的圆周角相等即可得出结论；结论Ⅱ：在正五边形和中分别求出和所对的中心角的度数，进而可以求出的度数，根据公式即可求出正多边形的边数． 【详解】解：结论Ⅰ：连接， 由作图可知：， ， ， 是等边三角形， ， ， 同理，， ， 是等边三角形； 结论Ⅱ：是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误． 故选：D． 2．尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线，勾股定理的知识，解题的关键是根据题意，尺规作图，得为的直径，，是是垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，，即可． 【详解】解：由题意得，是的直径，作出的垂直平分线，交于点， ∴为的直径， ∴， ∵是是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正十边形的边长为． 故答案为：． 3．仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【答案】(1)理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得证； （2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与互相垂直，即可得到的内接 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，经过的中点， ∴是的直径， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 类型二、求不规则图形的面积 1．如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出，根据两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）计算即可． 【详解】解：中，， ， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积） ， 故选：C． 2．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 3．如图，在中，是直径，是圆上一点，连接，过点作交于点，延长交于点是延长线上一点，连接，已知，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到，从而由求出，进而结合等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质得到相关角度，进而求得，结合切线的判定即可得证； （2）结合等腰三角形性质、等边三角形性质、勾股定理求出相关线段长度，数形结合得到阴影部分的面积，由三角形面积公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：是直径， ， 在中，，则， ， ， ，则， ， 是等边三角形，则， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：， ， 是等边三角形， ， 在中，则由勾股定理可得， ，， 如图所示，阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、扇形面积公式等知识．熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 类型三、圆锥侧面积最短问题 1．已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 3．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$