新中考·核心专题集训11 项目化学习-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训11 (见学生用书P79) [范围：项目化学习] 一、填空题 1．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米(b＞a)，则旗杆AB的高度为____米(用含a，b的代数式表示). 【解析】 设旗杆的高为x米．在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2，∴(x＋a)2＝b2＋x2，∴x＝. 2．2023·嘉兴、舟山小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下： (1)数据分析： ①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数是__4__667辆__． ②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据按2∶3∶3∶2的比例统计，则A款新能源汽车四项评分数据的平均数是__68.3分__． (2)合理建议： 请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买__B__款(A，B，C中选择)汽车？ 你的理由是__给出1∶2∶1∶2的权重时，A，B，C三款汽车评分的加权平均数分别约为67.8分，69.7分，65.7分，结合2023年3月的销售量，可选B款．(答案不唯一)__． 【解析】 (1)①由中位数的概念，得B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为4 667辆． ②A款新能源汽车四项评分数据的平均数为＝68.3(分). (2)比如给出1∶2∶1∶2的权重时，A，B，C三款汽车评分的加权平均数分别约为67.8分，69.7分，65.7分，结合2023年3月的销售量，可选B款． 二、解答题 3．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意 图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN. 测量 数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1 cm) (参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40) 解：过点A作AF⊥MN，垂足为F， 设BF＝x cm，∵BC＝9 cm， ∴CF＝BC＋BF＝(x＋9) cm， 在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°， ∴AF＝BF·tan 35°≈0.7x(cm)， 在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°， ∴AF＝CF·tan 22°≈0.4(x＋9)cm， ∴0.7x＝0.4(x＋9)，解得x＝12， ∴AF＝0.7x＝8.4(cm)， ∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4 cm. 4．2023·温州根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN(如图1)，他们通过自制的测倾仪(如图2)在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度 问题解决 任 务 1 分析规划 选择两个观测位置：点________和点________． 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN. 任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 解：任务1：【分析规划】选择点A和点B(答案不唯一). 【获取数据】tan ∠1＝，tan ∠2＝，tan ∠3＝，测得图上AB＝4 mm. 任务2：如图，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4 mm，设MF＝x mm， ∵tan ∠MAF＝＝， tan ∠MBG＝＝，∴AF＝4x，BG＝3x＋12， ∵AF＝BG，即4x＝3x＋12，∴x＝12，即MF＝12 mm， ∴AF＝BG＝4x＝48(mm)， ∵tan ∠FAN＝＝，∴FN＝6 mm， ∴MN＝MF＋FN＝12＋6＝18(mm)， 任务3：测得图上DE＝5 mm，设发射塔的实际高度为h m，由题意得，＝， 解得h＝43.2(m)，∴发射塔的实际高度为43.2 m. 5．2023·四川遂宁某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容　　　测量湖边A，B两处的距离 成员　组长：××　组员：××× ××× ××× ××× 工具　　　　　测角仪，皮尺等 测量 示意 图 说明：因为湖边A，B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A，B两处的距离，通过测角仪可测得∠A，∠B，∠C的度数． 测量 数据 角的度数 ∠A＝30° ∠B＝45° ∠C＝105° 边的长度 BC＝40.0米 AC＝56.4米 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A，B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容． 已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，______________．(从记录表中再选一个条件填入横线) 求：线段AB的长(为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数). 解：若选择的条件是：BC＝40.0米．过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△BCD中， ∠B＝45°，BC＝40米， ∴BD＝BC·cos 45°＝40 ×＝20(米)， CD＝BC·sin 45°＝40 ×＝20(米). 在Rt△ADC中，∠A＝30°， ∴AD＝CD＝20(米)， ∴AB＝AD＋BD＝20＋20≈77(米)， ∴线段AB的长约为77米． 若选择的条件是AC＝56.4米．过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米， ∴CD＝AC＝28.2(米)，AD＝CD＝28.2(米). 在Rt△BCD中，∠B＝45°， ∴BD＝＝28.2(米)， ∴AB＝AD＋BD＝28.2＋28.2≈77(米)， ∴线段AB的长约为77米． 6．2023·山西2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022－2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，≈1.41). 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查 方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 调查 内容 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 驳岸 剖面 图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6 m，AE＝1.5 m，CD＝3.5 m． 计算 结果 … 交流 展示 … 解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H， 则∠EFD＝90°，由题意得， 在Rt△EFD中，∠EDF＝60°，ED＝6， sin ∠EDF＝， cos ∠EDF＝， ∴EF＝ED·sin ∠EDF＝6×sin 60°＝6×＝3(m)， ∴FD＝ED·cos ∠EDF＝6×cos 60°＝6×＝3(m). 由题意得，∠H＝90°，四边形AEFH是矩形， ∴AH＝EF＝3，HF＝AE＝1.5 m， ∵CF＝CD－FD＝3.5－3＝0.5(m)， ∴CH＝HF－CF＝1.5－0.5＝1(m)， 在Rt△BCH中，∠H＝90°， ∠BCH＝180°－∠BCD＝180°－135°＝45°， ∴cos ∠BCH＝，tan ∠BCH＝， ∴BC＝＝＝＝≈1.4(m)， ∴BH＝CH·tan ∠BCH＝1×tan 45°＝1(m)， ∴AB＝AH－BH＝3－1≈4.2(m). 答：BC的长度约为1.4 m，AB的长度约为4.2 m． 7．根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思． 素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离(即最小楼间距)，最小楼间距d＝(h1表示南面房屋顶部至地面高度，h2表示北面房屋最底层窗台至地面高度，α表示某地冬至日正午时的太阳高度角，h1, h2的单位为m). 素材2：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢最底层窗台到地面高度均为1.2 m．其中有南北两幢大厦，位于南侧的大厦共有15层，每层高为2.8 m，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为51 m. 素材3：小明住在一期某大厦，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她在自家离地面32 m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为 30°(如图所示). (参考数据：tan 15.75°≈0.282, ≈1.73) 【任务探究】 任务 1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为α，求tan α的值． 任务 2：该小区二期新建的大厦高度约为多少米？(结果精确到 0.1 m) 【成果与反思】二期新建的大厦共有 17 层，每层高都相等，每幢最底层窗台到地面高度均为1.2 m．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于 1 小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计． 解：【任务探究】任务1：由公式得 51＝，∴tan α＝0.8. 任务2：由题意得AF＝BC＝32 m，在Rt△AFC中，AB＝FC＝＝32≈55.36(m)， 在Rt△EFC中， EF＝FC·tan 15.75°≈15.6(m)，∴大厦高度AE＝AF＋EF≈15.6＋32＝47.6(m)，即该小区二期新建的大厦高度约为47.6米． 【成果与反思】∵最小楼间距d＝＝58>55.36， ∴二期房屋存在违规建设．设应拆除x个楼层，而每个楼层高为47.6÷17＝2.8(m)，则≤55.36，化简得2.8x≥2.112， ∵x为正整数，∴x至少为1， ∴至少要拆除一个楼层． 8．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素 材 1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20 m，拱顶离水面5 m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高． 素 材 2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任 务 1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任 务 2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任 务 3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系， 则顶点为(0，0)，且经过点(10，－5).设该抛物线的函数表达式为y＝ax2(a≠0)， 则－5＝100a，∴a＝－， ∴该抛物线的函数表达式是y＝－x2. 任务2：∵水位再上涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面至少1 m，灯笼长0.4 m，∴悬挂点的纵坐标y≥－5＋1.8＋1＋0.4＝－1.8，∴悬挂点的纵坐标的最小值是－1.8. 当y＝－1.8时，－1.8＝－x2，解得x1＝6或x2＝－6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是－6≤x≤6. 任务3：有两种设计方案： 方案一：如图2(坐标系的横轴，图3同)，从顶点处开始悬挂灯笼． ∵－6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4＝6.4>6，若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3＝4.8<6， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是－4.8. 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8 m. 若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8＋1.6×(5－1)＝7.2>6， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8＋1.6×(4－1)＝5.6<6， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是－5.6. 9．2023·甘肃白银为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下： (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米、50米、40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3)，量得KT≈5 cm，TS≈2 cm.求山高DF.(≈1.41，结果精确到1米) (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法． 如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF.(结果用不含β1，β2的字母表示) 解：(1)∵铅垂线与水平线垂直，∴α＋β＝90°，故α，β之间的数量关系为α＋β＝90°. (2)在Rt△TKS中，∵KT≈5 cm，TS≈2 cm，∠TKS＝24°，∴sin 24°＝＝. 在Rt△ABH中，∵AB＝40米，∠BAH＝24°， sin ∠BAH＝，∴sin 24°＝＝， 得BH＝16米， 在Rt△CBQ中，∵BC＝50米，∠CBQ＝30°， ∴CQ＝BC·sin 30°＝50×＝25(米).在Rt△DCR中， ∵CD＝40米，∠DCR＝45°，sin ∠DCR＝， ∴DR＝CD·sin ∠DCR＝40·sin 45°＝20(米)， ∴DF＝BH＋CQ＋DR＝16＋25＋20≈69(米). 答：山高DF约为69米． (3)由题意，得tan β1＝，tan β2＝.在Rt△DNL中， ∵tan β1＝，∴＝，∴NL＝ DL. 在Rt△N′DL中，∠DN′L＝β2， ∴tan β2＝，∴＝，∴N′L＝ DL. ∵NL－N′L＝NN′＝40(米)，∴ DL－ DL＝40， 解得DL＝， ∴山高DF＝DL＋LF＝(＋1.6)(米). 答：山高DF为(＋1.6)米． 学科网（北京）股份有限公司 $$