新中考·核心专题集训9 动点问题-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训9 (见学生用书P75) [范围：动点问题] 一、选择题 1．如图，在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，若AC＝6，则点M经过的路径长为(　C　) A．6　　　B．2π　　　C．3π　　　D．4π 【解析】 如图，连结CM，CM′， ∵在30°直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点， ∴CM＝AB， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝12， ∴CM＝6. 由题意知，点M的运动路径为以CM为半径，点C为圆心的弧， ∵将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C， ∴∠MCM′＝90°， ∴点M经过的路径长为＝3π. 2．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，M是高CD上的一个动点，以BM为边向上作等边三角形BMN，在点M从点C到点D的运动过程中，点N所经过的路径长是(　D　) A．2 B． C．π D． 【解析】 如图，取BC的中点H，连结NH， 则BH＝BC＝AB， ∵CD⊥AB，BD＝AB， ∴BH＝BD. ∵△ABC和△BMN都是等边三角形， ∴BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°， ∴∠DBM＋∠MBH＝∠HBN＋∠MBH， ∴∠DBM＝∠HBN， ∴△DBM≌△HBN(SAS)， ∴HN＝DM，∠BHN＝∠BDM＝90°， ∴NH⊥BC. 又点M在C处时，HN＝CD＝AB＝×2＝， 点M在D处时，点N与点H重合， ∴点N所经过的路径的长为CD的长度，即. 3．如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为(　B　) A．2 B．2 C．2 D．4 【解析】 ∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF， ∴EF⊥AE， 当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C处时，M点在CD中点H处， ∴点M经过的路径长为GH的长， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴GH＝2. 二、填空题 4．如图，Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，P，Q分别是OB，OA上的动点，满足BP＝OQ，C为PQ的中点，当Q从O点运动到点A时，则C点经过的路径长为__3__． 【解析】 如图，当点Q与O重合，点P与B重合时，点C与OB的中点E重合， 当点Q与A重合时，点P在点M处，BM＝OA＝6，此时点C在AM的中点F处，由此可知点C的运动轨迹是线段FE. 在BO上截取BN＝OM＝2，则ME＝EN，AF＝FM， ∴EF＝AN. 在Rt△AON中，AN＝＝＝6， ∴EF＝AN＝3， ∴点C的运动轨迹的长为3. 5．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则弦AB的长度为__2__；当点E在⊙G上运动的过程中，线段FG的长度的最小值为__－1__． 【解析】 连结AC，作GM⊥AC于点M，连结AG. ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB. 在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1， ∴AG＝2OG，OA＝＝， ∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2， ∴∠AGO＝60°. ∵GC＝GA， ∴∠GCA＝∠GAC. ∵∠AGO＝∠GCA＋∠GAC， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1. ∵∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM－GM＝－1. 6．如图1，它是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了机械设备，如图2，磨盘半径OQ＝3 dm，用长为13 dm的连杆将点Q与动力装置P相连(∠OQP大小可变)，点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O转动，OA⊥AB，OA＝8 dm. (1)当PQ与⊙O相切时，则AP＝____dm. (2)若磨盘转动10周，则点P在轨道AB上滑动的路径长是__(160－120)__dm. 【解析】 (1)连结OP，如图1， ∵QP与⊙O相切， ∴∠OQP＝90°. 在Rt△OQP中， OP2＝OQ2＋QP2＝32＋132＝178. 在Rt△OAP中， AP＝＝＝(dm). (2)如图2， 当Q运动到Q1时，P点距离点A最远， 在Rt△OAP1中， OA＝8，OP1＝OQ1＋Q1P1＝3＋13＝16， ∴AP1＝＝＝8. 当Q运动到Q2时，P点距离点A最近， 在Rt△OAP2中，OA＝8，OP2＝13－3＝10， ∴AP2＝＝＝6， P1P2＝AP1－AP2＝8－6. ∴磨盘转动10周，点P在轨道AB上滑动的路径长是20×(8－6)＝(160－120)(dm). 三、解答题 7．如图，点A是直线y＝－x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，求△AOB面积的最大值． 解：如图所示，作△AOB的外接圆⊙C， 连结CB，CA，CO，过点C作CD⊥AB于点D，则CA＝CB. 由题可得∠AOB＝45°，∴∠ACB＝90°， ∴CD＝ AB＝1，CO＝AC＝BC＝， 连结OD，则OD≤OC＋CD， ∴当O，C，D在同一直线上时， OD的最大值为OC＋CD＝ ＋1，此时OD⊥AB， ∴△AOB的面积的最大值为 AB·OD＝ ×2×( ＋1)＝ ＋1. 当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时， 同理可得，△AOB面积的最大值为 ＋1. 当点A在第二象限内，点B在x轴正半轴上时， 同理可得，△AOB面积的最大值为 －1. 当点A在第四象限内，点B在x轴负半轴上时，同理可得，△AOB面积的最大值为－1， 综上，△AOB面积的最大值为 ＋1. 8．如图1，含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12 cm，点P为边BC(EF)的中点，现将三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α(如图2)，设边AB与EF相交于点Q，求当α从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长(结果保留根号). 解：当α从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q， ∵EF＝12 cm，∴BP＝6 cm. ∵∠B＝30°， 当0°≤α≤60°时，Q点从E点开始向F方向运动， 当α＝60°时，Q与E的距离最大，如图1， 此时BA⊥EF. 在Rt△BPQ中，∠B＝30°，BP＝6 cm， ∴QP＝3 cm，∴QE＝3 cm. 当60°＜α≤90°时，Q点开始离开Q向E点方向运动， 当α＝90°时，Q点停止运动，如图2. 在Rt△BPQ中，QP＝2 cm， ∴EQ＝(6－2) cm， ∴Q点返回运动的路径长为3－(6－2)＝(2－3)cm， ∴Q点移动的路径为3＋2－3＝2(cm). 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动．连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P. 求：(1)在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是多少？ (2)点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为多少？ 解：(1)如图1，过点B作BH⊥AC于点H. 在Rt△ABH中，BH＝AB·sin 30°＝1， AH＝BH＝ . 在Rt△BCH中，∠BCH＝45°， ∴CH＝BH＝1， ∴AC＝CA′＝1＋ . 根据题意，点A′的运动轨迹是以C为圆心，AC长为半径的圆弧． 当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大． 设CA′交AB的延长线于点K. 在Rt△ACK中，CK＝AC·sin 30°＝， ∴A在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 . (2)如图2，点P到达点B时，点A的轨迹是以C为圆心，AC为半径的圆弧． 线段A′P扫过的面积为S扇形A′CA－2S△ABC＝－2×××1＝ π－1－ . ∴点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 π－1－ . 10．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P. (1)若AE＝CF. ①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数． ②若AE＝2，试求AP·AF的值． (2)若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 解：(1)①证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°. 又∵AE＝CF， 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF(SAS)， ∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF. 又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP， ∴∠APE＝∠BAP＋∠CAF＝60°. ∴∠APB＝180°－∠APE＝120°. ②∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF， ∴△APE∽△ACF， ∴＝，即＝，∴AP·AF＝12. (2)①如图1所示，当AE＝CF时，点P的路径是一段弧． 由题目不难看出当E为AC的中点时，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°.又∵AB＝6，∴OA＝2， ∴点P的路径l＝＝. ②如图2所示，当AF＝BE时，过点C作CH⊥AB，垂足为H. 点P的路径就是过点C向AB作的垂线段HC的长度． ∵等边三角形ABC的边长为6，CH⊥AB. ∴BH＝3. ∴点P的路径CH＝＝＝3. ③当F从C出发到达BC中点然后返回C，此时点P的运动路径长为＋2. ④当F从B出发到达BC中点后再返回B，此时点P的运动路径长为＋. 综上所述，点P经过的路径长为或3或＋2或＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$