新中考·核心专题集训8 相似基本图形的综合-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训8 (见学生用书P73) [范围：相似基本图形的综合] 一、选择题 1．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为(　B　) A．2　　　　　　　　B． C．3 D． 2．右图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交CD于点P.若AE＝3EF＝3，则DP的长为(　A　) A．　　 　B．　　 　C．3　　 　D． 【解析】 依题意，可得AF＝4，即ED＝4， 在Rt△ADE中，可得AD＝＝5， 则正方形ABCD的边长为5. 过点P作PM⊥CG于点M， ∵△EGH为等腰直角三角形， ∠EGH＝45°， ∴△GMP为等腰直角三角形， ∠MGP＝45°. 设GM＝x，PM＝x，CM＝3－x， 又∠DHC＝∠PMC＝90°，∠HCD＝∠MCP， ∴△HCD∽△MCP， ∴＝， 即＝， ∴x＝， 故CM＝3－＝. 在Rt△PCM中，PC＝＝， ∴DP＝5－＝. 3．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．作ME∥GN∥AD.若GF＝2FM，则MN∶FD的值为(　B　) A. B． C． D．1 【解析】 连结CF， 设AF＝a，DF＝b， ∵ME∥AD， ∴△FME∽△FAD， ∴＝，即＝＝＝2， ∴DF＝2AF，　 ∴b＝2a. ∵AF＝DE＝HC＝BG＝a， ∴FE＝GF＝GH＝EH＝AG－AF＝2a－a＝a， ∴点E为DF的中点． ∵CE⊥DF，∴CF＝CD. ∵四边形FGHE为正方形， ∴GF∥EH，即MG∥NE， 又∵ME∥GN， ∴四边形MGNE为平行四边形， ∴GM＝EN. ∵GF＝EH， ∴MF＝HN＝FG＝a， ∴NC＝CH－HN＝a－a＝a， ∴MF＝CN，且MF∥CN， ∴四边形MFCN为平行四边形， ∴MN＝FC＝DC. 在Rt△AFD中， AD＝＝＝a， ∴MN＝CD＝AD＝a， ∴MN∶DF＝a∶2a＝∶2＝. 二、填空题 4．如图，点A，B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点E，交反比例函数y＝(k<0)的图象于点D，连结AD交y轴于点F，若AC＝2BE，△ACF和△DEF的面积比是9∶4，则k的值是__－4__． 【解析】 ∵AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点E，交函数y＝(k<0)的图象于点D， ∴AC∥BD，△ACF∽△DEF. ∵点A，B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，且AC＝2BE， ∴设A，B. ∵△ACF∽△DEF且面积比是9∶4， ∴＝， ∴D， ∴k＝－m×＝－4. 5．2022·宁波如图，直线L：y＝－x＋1与坐标轴交于A，B两点，点C是反比例函数y＝(x＞0)图象上任意一点，过C分别作横纵轴的垂线CG，CD，交线段AB于F，E两点．设OE＝a，EF＝b，FA＝c，请写出在点C移动过程中，a，b，c保持不变的数量关系：__a2＝b(b＋c)__． 【解析】 由直线L：y＝－x＋1可得点A(1，0)，B(0，1)， ∴OA＝OB＝1. ∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°. ∵CD⊥y轴，CG⊥x轴， ∴∠BDE＝∠AGF＝90°， ∴△BDE和△AGF都是等腰直角三角形． 设C(m，)，则有OG＝m，OD＝， ∴AF＝AG＝(1－m)， BE＝BD＝(1－)， ∴BF＝AB－AF＝m，AE＝AB－EB＝， ∴＝＝. 又∵∠OBA＝∠OAB＝45°， ∴△AOE∽△BFO， ∴∠OFE＝∠AOE， ∵∠AEO＝∠OEF， ∴△AEO∽△OEF， ∴＝，即OE2＝AE·EF， ∵OE＝a，EF＝b，FA＝c， ∴a2＝b(b＋c). 6．2023·杭州如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连结DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝____(结果用含k的代数式表示). 【解析】 ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB， ∵AD＝DF， ∴∠A＝∠DFA. ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠BDE＝∠FDE. ∵∠BDE＋∠FDE＝∠BDF＝∠A＋∠DFA， ∴∠FDE＝∠DFA， ∴DE∥AC， ∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC. ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠DEB＝∠DEF， ∴∠C＝∠EFC. 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴△ABC∽△ECF， ∴＝. ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝＝， ∴EC＝BC， ∵＝k， ∴BC＝k·AB， ∴EC＝k·AB， ∴＝， ∴CF＝k2·AB， ∴＝＝＝＝. 三、解答题 7．2023·杭州在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F. (1)若ED＝，求DF的长． (2)求证：AE·CF＝1. (3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG＝ED，求ED的长． 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1， ∴△DEF∽△CBF， ∴＝， ∴＝， ∴DF＝. (2)证明：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F， 又∵∠A＝∠BCD＝90°， ∴△ABE∽△CFB， ∴＝， ∴AE·CF＝AB·BC＝1. (3)设EG＝ED＝x，则AE＝AD－DE＝1－x， BE＝BG＋GE＝BC＋GE＝1＋x. 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴1＋(1－x)2＝(1＋x)2， ∴x＝，∴DE＝. 8．在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD边相交于点E，若∠D＝60°. (1)如图1，求的值． (2)如图2，连结CE并延长，与BA的延长线相交于点F，求证：AF·DE＝CD2. (3)在(2)条件下，连结DF，若AB＝4，求△DEF的面积． 解：(1)如图1，过点A作AH⊥BE于点H. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB＝30°， ∴AB＝AE. ∵AH⊥BE， ∴BH＝EH. ∵cos ∠ABH＝＝， ∴＝. (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BF∥CD，AB＝CD， ∵AB＝AE， ∴AE＝CD. ∵AF∥CD， ∴△AFE∽△DCE， ∴＝， ∴CD2＝AF·DE. (3)如图2，过点F作FH⊥AE于点H. ∵AD∥BC， ∴∠FAH＝∠ABC＝60°， ∴FH＝AF·sin 60°＝AF. ∵CD＝4， ∴AF·DE＝CD2＝16. ∵S△DEF＝·DE·FH＝·AF·DE＝4. 9．已知E是正方形ABCD边CD上任意一点， (1)将△ADE沿AE翻折至△AEF， ①如图1，若F点恰好在对角线AC上，CE＝，求AB的长． ②如图2，若点E是CD中点，S△ADE＝2，射线AF与BC边交于点G，求四边形EFGC的面积． (2)如图3，点Q是边BC上任意一点，记DQ与AE交于点H，射线AE与射线BC交于点P，求证：BP·HE＝AH·QC. 解：(1)①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°，∠ACD＝45°，AB＝CD， 设AB＝x＝CD， ∵CE＝， ∴DE＝x－. ∵将△ADE沿AE翻折至△AEF， ∴△ADE≌△AFE， ∴EF＝DE＝x－，∠AFE＝∠D＝90°， ∴sin ∠ECF＝， 即sin 45°＝＝， 解得x＝＋1， 即AB＝＋1. ②分别延长AE，BC交于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝BC， ∴∠M＝∠DAE，∠D＝∠ECM. ∵点E是CD中点， ∴DE＝CE＝CD＝AD， ∴S△ADE＝AD·DE＝AD·AD＝2， △ADE≌△MCE(AAS)， ∴AD＝2， ∴AD＝CM＝2. ∵将△ADE沿AE翻折至△AEF， ∴△ADE≌△AFE， ∴∠DAE＝∠FAE， ∴∠M＝∠FAE， ∴AG＝MG. 设CG＝t，则AG＝MG＝2＋t，BG＝2－t， 在Rt△ABG中，由勾股定理得AB2＋BG2＝AG2， 即(2)2＋(2－t)2＝(2＋t)2， 解得t＝， ∴BG＝， ∴四边形EFGC的面积为 S正方形ABCD－S△ABG－2S△ADE＝(2)2－×2×－2××2×＝1. (2)证明：设AD＝x，CQ＝m，CP＝y，则BP＝x＋y， ∴＝. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DAH＝∠QPH，∠ADH＝∠PQH， ∴△ADH∽△PQH， ∴＝＝， ∴xPH＝(m＋y)AH. 又∵∠AED＝∠PEC， ∴△ADE∽△PCE， ∴＝， ∴＝， ∴yAH＋yHE＝xPH－xHE， 即yAH＋(x＋y)HE＝xPH， ∴yAH＋(x＋y)HE＝(m＋y)AH， ∴(x＋y)HE＝mAH， ∴＝， ∴＝， 即BP·HE＝AH·QC. 学科网（北京）股份有限公司 $$