新中考·核心专题集训7(2) 图形变换的应用-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训7(2) (见学生用书P70) [范围：图形变换的应用] 一、选择题 1．2022·黔西南州在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连结AE.若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC等于(　B　) A．α　　　　　　　　B．90°－α C．α D．90°－2α 【解析】 ∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点， ∴CD＝BD＝AD， 由折叠的性质得，BD＝ED，∠B＝∠CED， ∴CD＝BD＝AD＝ED， ∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α， ∴∠EDC＝180°－∠DCE－∠CED＝180°－α－α＝180°－2α. ∵AE∥DC， ∴∠AED＝∠EDC＝180°－2α， ∵ED＝AD， ∴∠EAD＝∠AED＝180°－2α. ∵∠B＝α，∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝90°－α， ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α. 2．2023·舟山如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图1，将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图2； 第二步，再将图2中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图3； 第三步，将图3中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图4.则DH的长为(　D　) A. B． C． D． 【解析】 过点M作MG⊥BD交BD于点G(图略)， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4， ∴AB＝CD＝3，∠C＝90°， 在Rt△BCD中， BD＝＝＝5， 根据折叠的性质可得，BE＝CE＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CE＝EH＝2，CM＝HM， ∴BE＝EH＝2， ∴△BEH为等腰三角形，∠EBH＝∠EHB. ∵∠EBH＋∠HDM＝90°， ∠EHB＋∠DHM＝90°， ∴∠HDM＝∠DHM， ∴△DHM为等腰三角形，DM＝HM， ∴DM＝HM＝CM＝CD＝. ∵MG⊥BD， ∴DH＝2DG，∠MGD＝∠BCD＝90°. ∵∠MDG＝∠BDC， ∴△MGD∽△BCD， ∴＝， 即＝， ∴DG＝， ∴DH＝2DG＝. 3．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A′B恰好经过点O，则阴影部分的面积为(　C　) A.π－ B．π－ C．π－ D．π－ 【解析】 如图所示，作点O关于BC的对称点O′，连结CO′，BO′，OO′，BC与OO′交于点D， ∵OD＝O′D＝OO′＝OB， ∴∠OBC＝30°， ∴OC＝OB＝1， ∴阴影部分的面积＝S扇形AOB－2S△COB＝－2×××1＝π－. 二、填空题 4．如图所示，长宽比为3∶2的矩形ABCD，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点C落到宽AD的中点C′，点B落到点B′处，则tan ∠EFC＝__3__． 【解析】 长宽比为3∶2的矩形ABCD， 设AB＝CD＝3a(a＞0)，则AD＝BC＝2a， ∵C′是AD的中点， ∴C′D＝AC′＝a， 连结CC′，交折痕EF于点H(图略)，由EF是CC′的垂直平分线，得∠FHC＝90°＝∠CDC′. ∵∠DCC′＝∠HCF，∴△DCC′∽△HCF， ∴∠EFC＝∠DC′C， ∴tan ∠EFC＝tan ∠DC′C＝＝＝3. 5．如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F.点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H.若EN＝2，AB＝4，当GH＝2HN时，MD的长为 __2－4__． 【解析】 过点G作GP⊥NE交NE的延长线于点P， 由矩形的性质和翻折性质，知MG∥NE， ∴△GFH∽△NEH， ∴＝， ∵GH＝2HN，EN＝2， ∴GF＝2NE＝4. ∵四边形ABCD是矩形，四边形EFMN是由四边形CDMN折叠得到的， ∴∠NEF＝∠C＝90°，∠MFE＝∠D＝90°， ∴∠PEF＝∠GFE＝90°， ∴四边形EFGP是矩形， ∴GP＝EF＝CD＝AB＝4，PE＝GF＝4， ∴PN＝PE＋EN＝4＋2＝6. ∵四边形ABCD是矩形，四边形EFMN是由四边形CDMN折叠得到的， ∴AD∥BC，∠GMN＝∠DMN，MF＝MD， ∴∠DMN＝∠GNM， ∴∠GMN＝∠GNM，∴GN＝GM. 在Rt△GNP中， 由勾股定理，得GN＝＝＝2， ∴MG＝2， ∴MD＝MF＝MG－FG＝2－4. 6．2022·舟山如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为__60°__，折痕CD的长为__4__． 【解析】 如图，设翻折后的弧的圆心为O′， 连结O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H， ∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，O′H＝OH. ∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F. ∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠EO′F＝60°， 则的度数为60°. ∵∠AOB＝120°， ∴∠O′OF＝60°. ∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6， ∴OO′＝＝＝4， ∴O′H＝2， ∴CH＝＝＝2， ∴CD＝2CH＝4. 三、解答题 7．下图是一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝4，在BC上任意取一点E，将△DEC沿DE折叠． (1)若点C恰好落在对角线BD上的点C′处，求CE的长． (2)若点C恰好落在对角线AC上的点C′处，求CE的长． 解：(1)∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝90°. ∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴BD＝＝5， 由折叠，得∠DC′E＝∠DCB＝90°，DC′＝DC＝3，EC′＝EC， ∴∠BC′E＝180°－∠DC′E＝90°. 设EC＝x，则BE＝4－x， 在Rt△BEC′中，由勾股定理得BE2＝EC′2＋BC′2， ∴(4－x)2＝x2＋(5－3)2， 解得x＝1.5，即EC＝1.5. (2)如图，由折叠知，DE⊥CC′， ∴S△ACD＝AD·CD＝AC·DF， ∴DF＝＝＝. ∵∠DCE＝∠DFC＝90°，∠CDF＝∠EDC， ∴△CDF∽△EDC， ∴＝， ∴DE＝＝， ∴CE＝＝. 8．2022·十堰如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使点B的对应点B′落在射线AO上，求图中阴影部分的面积． 解：连结AB， ∵∠AOB＝90°，OA＝2， ∴OB＝OA＝2， ∴AB＝＝2. 设OC＝x，则BC＝B′C＝2－x，OB′＝2－2， 则x2＋(2－2)2＝(2－x)2， 解得x＝2－2， ∴阴影部分的面积是－×2＝π＋4－4. 9．如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD∶DB＝3∶1，求折痕EF的长． 解：设折叠后的圆弧所对圆心为O′，连结O′O，O′D，OE，O′O与EF交于点M， 易知O′O与EF互相垂直平分． ∴OM＝OO′，EF＝2EM. ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OE＝2. ∵AD∶DB＝3∶1， ∴DB＝AB＝1， ∴OD＝1， ∴O′O＝＝＝， ∴OM＝， ∴EM＝＝＝， ∴EF＝2EM＝， 即折痕EF的长为. 10．如图，D是△ABC的边BC上一点，△ADC沿AD翻折，点C落在点E处，AE与BC相交于点F，若EF＝4，CF＝14，AF＝AD，求FD的长． 解：连结CE，延长AD交CE于点G，取CF的中点H，连结GH，取DH的中点M，连结GM，如图， 根据折叠的性质可得，AC＝AE， CD＝DE， ∴AG垂直平分EC， ∴∠DGE＝90°，点G为EC的中点． ∵点H为CF的中点， ∴GH为△CFE的中位线， ∴GH∥EF，GH＝EF，CH＝FH＝CF. ∵EF＝4，CF＝14， ∴GH＝2，CH＝FH＝7. ∵AF＝AD， ∴∠AFD＝∠ADF， ∵GH∥EF， ∴∠DHG＝∠AFD. 又∵∠HDG＝∠ADF， ∴∠HDG＝∠DHG， ∴DG＝GH＝2. ∵点M为DH的中点， ∴∠DMG＝90°，DM＝MH. ∵CD＝DE，DG⊥EC， ∴∠EDG＝∠CDG， 即∠EDG＝∠GDM. ∵∠DGE＝∠DMG＝90°， ∴△EDG∽△GDM， ∴＝. 设FD＝x(x＜14)，则CD＝DE＝14－x，DH＝7－x， DM＝， ∴＝， 解得x＝6或x＝15(舍去)， ∴FD＝6. 11．如图，折叠矩形纸片ABCD，AB＝6，BC＝10，具体操作：①点E为AD边上一点(不与点A，D重合)，把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点． (1)若AE＝4，求DG的长． (2)若点C恰在射线EF上，连结DH，求线段DH的长． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，∠ADC＝∠A＝90°， ∵AE＝4， ∴DE＝AD－AE＝10－4＝6， ∴AB＝DE. 由折叠可知，∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG， ∵∠AEB＋∠FEB＋∠DEG＋∠HEG＝180°， ∴∠AEB＋∠DEG＝90°， ∵∠AEB＋∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠DEG. 在△ABE和△DEG中， ∴△ABE≌△DEG(ASA)， ∴DG＝AE＝4. (2)由折叠可知，∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°. ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠FEB＝∠EBC， ∴CE＝CB＝10. ∵点C在射线EF上， ∴∠BFC＝90°，CF＝10－EF＝10－AE， ∴CF＝＝＝8， ∴AE＝EF＝10－8＝2， ∴DE＝AD－AE＝10－2＝8. 由(1)知∠ABE＝∠DEG， ∵∠A＝∠EDG＝90°， ∴△ABE∽△DEG， ∴＝， ∴＝， ∴DG＝， ∴EG＝＝＝. 由折叠可知EG垂直平分线段DH， ∴S四边形DGHE＝2S△DEG， ∴DH·EG＝2×DE·DG， ∴×DH＝8×， ∴DH＝. 12．正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，将△BCM 沿直线BM 翻折，使得点C 落在同一平面内的点C′ 处，连结DC′ 并延长交正方形ABCD 一边于点N.当BN＝DM 时，求CM 的长． 解：如图1，当BN＝DM时，连结CC′交BM于点J. ∵BN＝DM，BN∥DM， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∴BM∥DN， ∴∠BMC＝∠NDM，∠BMC′＝∠DC′M. 由折叠知，MC′＝MC，∠BMC＝∠BMC′， ∴∠NDM＝∠DC′M， ∴MC′＝MD， ∴CM＝DM＝CD＝2. 如图2，当BN＝DM时，过点C′作C′T⊥CD于点T. ∵CB＝CD，BN＝DM， ∴CN＝CM＝MC′， 在△BCM和△DCN中， ∴△BCM≌△DCN(SAS)， ∴∠CDN＝∠CBM. ∵∠CBM＋∠BCC′＝90°，∠BCC′＋∠C′CD＝90°， ∴∠CBM＝∠C′CD， ∴∠C′CD＝∠CDC′， ∴C′D＝C′C. ∵C′T⊥CD， ∴DT＝TC＝2. ∵C′T∥CN， ∴DC′＝C′N， ∴C′T＝ CN. 设C′T＝x，则CN＝CM＝MC′＝2x，TM＝x， ∴2x＋x＝2，∴x＝4－2， ∴CM＝8－4. 综上所述，CM的长为2或8－4 . 学科网（北京）股份有限公司 $$