新中考·核心专题集训7(1) 图形变换的应用--【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训7(1) (见学生用书P67) [范围：图形变换的应用] 一、选择题 1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为(　C　) A．3　　　　　　　　　B． C． D． 【解析】 ∵正方形ABCD的边BC＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°. ∵BE⊥CF于点G， ∴∠CBG＋∠BCG＝∠BCG＋∠DCF＝90°， ∴∠CBE＝∠DCF. 在△BCE和△CDF中， ∴△BCE≌△CDF(ASA)，∴CE＝DF，BE＝CF. ∵DF＝AD－AF＝4－1＝3，∴CE＝3， ∴CF＝＝＝5，∴BE＝5. ∵S△BCE＝BC·CE＝BE·CG， ∴CG＝＝＝， ∴FG＝CF－CG＝5－＝. 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF，AF与BE交于点G，取BF的中点H，连结GH，给出下列结论：①AF＝BE；②BF＝2GH；③△ABG与四边形EGFD的面积相等．正确结论的序号是(　D　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF， 在△BAE和△ADF中， ∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF，故①正确． ∵△BAE≌△ADF，∴∠ABE＝∠DAF. ∵∠ABE＋∠AEB＝90°， ∴∠DAF＋∠AEB＝90°， ∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°. ∵点H是BF的中点，∴BF＝2GH，故②正确． ∵△BAE≌△ADF， ∴S△ABG＋S△AGE＝S△AGE＋S四边形EGFD， ∴△ABG与四边形EGFD的面积相等，故③正确． 3．2023·苏州模拟如图，已知边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过点M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD交BD于点P，连结NQ，给出下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值．其中正确的结论个数是(　D　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 如图1，连结AC，AN，AC交BD于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC＝BD，AH＝CH， ∠DBC＝∠ABD＝45°. ∵∠AMN＝∠ABC＝90°， ∴A，B，N，M四点共圆， ∴画以AN为直径的圆， 则∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°， ∴∠ANM＝∠NAM＝45°， ∴AM＝MN，故①正确； ∵∠MAH＋∠AMH＝90°，∠PMN＋∠AMH＝90°， ∴∠HAM＝∠PMN. ∵∠AHM＝∠MPN＝90°，AM＝MN， ∴Rt△AHM≌Rt△MPN(AAS)， ∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确； 如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连结AN， 则AR＝AQ，∠BAR＝∠DAQ，∠ABR＝∠ADQ＝90°， ∴R，B，N三点在同一直线上． ∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°， ∴∠RAN＝∠QAN＝45°， 又∵AN＝AN，∴△RAN≌△QAN(SAS)， ∴RN＝QN，即BN＋DQ＝RN＝NQ，故③正确； 如图3，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W， ∵点M是对角线BD上的点， ∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW. ∵∠AMN＝∠SMW＝90°， ∴∠AMS＝∠NMW. 又∵∠ASM＝∠NWM＝90°， ∴△AMS≌△NMW(ASA)，∴AS＝NW， ∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW， ∵BW∶BM＝1∶， ∴＝＝，故④正确． 二、填空题 4．如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.若AB＝1，则CE＋CG的值为____． 【解析】 过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝1， ∴AD＝CD，CA平分∠BCD，∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝， ∴EM＝EN，四边形EMCN是矩形， ∴∠MEN＝90°. 又EF⊥DE，∴∠MEN＝∠FED＝90°， ∴∠MEF＝∠NED. 又∠EMF＝∠END＝90°，EM＝EN， ∴△EMF≌△END(ASA)，∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形，∴ED＝DG. 又四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝DC， ∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)， ∴AE＝CG，∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝. 5．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连结OE，DE＝6，OE＝8，则另一直角边AE的长为__10__． 【解析】 过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N， ∵∠AED＝90°， ∴四边形EMON是矩形， ∴∠MON＝90°， 即∠MOD＋∠DON＝90°， ∵正方形ABCD的对角线交于点O， ∴∠AOD＝90°，即∠AOM＋∠MOD＝90°，OA＝OD， ∴∠AOM＝∠DON. 在△AOM和△DON中， ∴△AOM≌△DON(AAS)， ∴OM＝ON，AM＝DN， 则四边形MONE是正方形． ∵OE＝8，∴EN＝8， ∴EM＝EN＝8，∴AM＝DN＝EN－ED＝8－6＝2， ∴AE＝AM＋EM＝2＋8＝10. 6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连结AC交BF于点H.若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为__3－4__． 【解析】 如图，过点H作HM⊥CD，垂足为M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°， ∴AC＝AB＝2. ∵CE＝DF， ∴BC－CE＝CD－DF， ∴BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∴∠1＝∠2. ∵∠ABC＝∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AGB＝180°－(∠1＋∠3)＝90°. ∵BG＝GH， ∴AG是BH的垂直平分线， ∴AH＝AB＝2， ∴∠3＝∠AHB，CH＝AC－AH＝2－2. ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠CFH. ∵∠AHB＝∠CHF， ∴∠CFH＝∠CHF， ∴CF＝CH＝2－2. 在Rt△HMC中，HM＝＝＝2－， ∴△CFH的面积＝CF·HM＝×(2－2)×(2－)＝3－4. 三、解答题 7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q. 求证：(1)△ADC≌△BEA. (2)BP＝2PQ. 证明：(1)∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°. ∵AB＝AC，AE＝CD， ∴△ADC≌△BEA(SAS). (2)∵△ADC≌△BEA， ∴∠ABE＝∠CAD. ∵∠CAD＋∠BAD＝60°， ∴∠ABE＋∠BAD＝60°. ∴∠BPQ＝60°. ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°， ∴BP＝2PQ. 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于点E，连结BE. (1)求证：四边形DEBC是菱形． (2)若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长． 解：(1)证明：连结BD交AC于点F，如图1所示． ∵AB＝AD，∠DAB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°. ∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴BF＝AF＝DF. 在△AED和△AEB中， ∴△AED≌△AEB(SAS)，∴DE＝BE. ∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠EDF， 在△BCF和△DEF中， ∴△BCF≌△DEF(ASA)，∴BC＝DE. ∵BC∥DE，∴四边形DEBC是平行四边形． ∵BE＝DE，∴平行四边形DEBC是菱形． (2)过点E作EH⊥AD于点H，如图2所示． ∵四边形DEBC是菱形， ∴∠CDB＝∠EDB＝∠CDE. ∵∠CDE＝2∠EDA， ∴∠BDE＝∠ADE. ∵BD⊥CE，EH⊥AD， ∴EF＝EH＝CE＝1， ∴AH＝EH＝1， ∴AE＝＝＝， ∴AF＝AE＋EF＝＋1， ∴DF＝AF＝＋1， ∴AD＝×AF＝×( ＋1)＝2＋ . 9．2023·绍兴如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连结EF，AG，并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG＝∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由． 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°， ∴AD∥GE， ∴∠DAG＝∠EGH. (2)AH⊥EF，理由如下： 连结GC交EF于点O，如图． ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG(SAS)， ∴∠DAG＝∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°， 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形， ∴OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠DAG＝∠OEC. 由(1)得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC， ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴AH⊥EF. 10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线分别交CD，AB于点F，G，＝. (1)若正方形边长为4，求BG的长． (2)求DF∶CF的值． 解：(1)如图，连结EG， ∵＝， ∴设BG＝3x，BE＝4x， ∴GE＝＝5x. ∵GF垂直平分AE， ∴AG＝GE＝5x， ∴AB＝AG＋BG＝8x＝4， ∴x＝，∴BG＝. (2)过点G作GH⊥CD于点H，则∠GHF＝90°， 即四边形AGHD为矩形，四边形BCHG为矩形， ∴CH＝BG＝3x，AG＝DH＝5x，GH＝BC＝AB，∠AGH＝∠ABE＝∠GHF＝90°. ∵∠BAE＋∠AGF＝90°，∠AGF＋∠FGH＝90°， ∴∠BAE＝∠FGH， ∴△ABE≌△GHF(ASA)， ∴HF＝BE＝4x， ∴DF＝CD－CH－FH＝x，CF＝CH＋FH＝7x， ∴＝. 11．(1)[探索发现] 在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(与点A，C不重合)，过点P作PE⊥PB交线段DC于点E.求证：PB＝PE. 小玲想到的思路是：过点P作PG⊥BC于点G，PH⊥DC于点H，通过证明△PGB≌△PHE得到PB＝PE.请按小玲的思路写出证明过程． (2)[应用拓展] 如图2，在(1)的条件下，设正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC交AC于点F.求PF的长． 解：(1)证明：过点P作PG⊥BC于点G，PH⊥DC于点H，如图1所示： ∵∠BCD＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴∠GPH＝90°. ∵PE⊥PB， ∴∠BPE＝90°. ∵∠GPE＋∠BPG＝∠BPE＝90°，∠GPE＋∠EPH＝∠GPH＝90°， ∴∠BPG＝∠EPH. ∵P是对角线AC上的点， ∴PG＝PH. 在△PGB和△PHE中， ∴△PGB≌△PHE(ASA)， ∴PB＝PE. (2)取AC中点O，连结BO，如图2所示， ∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点， ∴OB⊥AC， ∴∠AOB＝90°， ∴∠POB＝∠EFP＝90°， ∴∠OBP＋∠BPO＝90°. ∵∠BPE＝90°， ∴∠BPO＋∠FPE＝90°， ∴∠OBP＝∠FPE. 由(1)得PB＝PE， 在△OBP和△FPE中， ∴△OBP≌△FPE(AAS)， ∴PF＝OB. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAO＝45°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OB＝OA＝AB＝×2＝， ∴PF＝. 12．如图，在正方形ABCD中，点F为边BC上的动点(点F与点B，C不重合)，过点A，B，F作圆，交BD于点E. (1)求证：AE＝EF. (2)延长AE，交CD于点G，连结FG. ①若AB＝6，tan ∠GFE＝，求FG的长． ②若AB＝BE，求∠EFG的度数． 解：(1)证明：连结CE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠CBE＝45°，AB＝BC， 在△ABE与△CBE中， ∴△ABE≌△CBE(SAS)， ∴AE＝CE，∠EAB＝∠ECB. 易知∠EFC＝∠EAB， ∴∠EFC＝∠ECF， ∴EF＝EC，∴AE＝EF. (2)①连结AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴AF是圆的直径， ∴∠AEF＝90°， ∴∠FEG＝90°. ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°. 延长CD到点H使DH＝BF，连结AH. ∵∠ADH＝∠ABF＝90°，AD＝AB， ∴△ABF≌△ADH(SAS)， ∴AF＝AH，∠BAF＝∠DAH. ∵∠FAG＝45°， ∴∠BAF＋∠DAG＝∠DAG＋∠HAD＝45°， ∴∠FAG＝∠HAG. ∵AG＝AG， ∴△AFG≌△AHG(SAS)， ∴∠AGD＝∠AGF， ∴∠DAG＝∠GFE. ∵tan ∠GFE＝tan ∠DAG＝＝，AB＝AD＝6， ∴DG＝3， ∴AG＝＝3. ∵tan ∠GFE＝＝， 设EG＝x，EF＝2x， ∴AE＋EG＝EF＋EG＝3x＝3， ∴x＝， ∴EF＝2，EG＝， ∴FG＝＝5. ②由①知∠AGD＝∠AGF， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AGD. ∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠AEB. ∵∠ABE＝45°， ∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°. ∵∠AEB＝∠DEG， ∴∠DEG＝∠EGF， ∴BE∥FG， ∴∠CFG＝∠CBD＝45°. ∵∠CFE＝∠BAE＝67.5°， ∴∠EFG＝∠EFC－∠CFG＝22.5°. 学科网（北京）股份有限公司 $$