新中考·核心专题集训5 图形特征与关系-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训5 (见学生用书P63) [范围：图形特征与关系] 一、选择题 1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB边上，AD＝5，BD＝3，点E是边BC上一动点，作点B关于直线DE的对称点F.若点F在BC边上，且∠AFD＝90°，则AC边的长度为(　A　) A．　　　　　　　　B．4 C．2 D．4 【解析】 如图，当∠AFD＝90°时， 由对称的性质可知DB＝DF＝3，DE⊥CB，BE＝EF， ∴AF＝＝＝4. ∵∠C＝∠DEF＝∠AFD＝90°， ∴∠AFC＋∠EFD＝90°，∠CAF＋∠AFC＝90°， ∴∠CAF＝∠DFE， ∴△ACF∽△FED， ∴＝＝＝， ∴设AC＝4k(k>0)，则EF＝BE＝3k. ∵DE∥AC， ∴＝＝， ∴DE＝k，CF＝2k， ∴BC＝CF＋EF＋BE＝2k＋6k＝8k. ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(4k)2＋(8k)2＝82， ∴k＝(负值舍去)， ∴AC＝4k＝. 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，若A(－3，0)，C(3，0)，tan ∠ACB＝2，∠BAC＝45°，且在y轴正半轴上存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似，则满足条件的点P的个数为(　D　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 过点B作BE⊥x轴，如图1所示． 设BE＝m，则CE＝＝m，AE＝＝m. 　 ∵AE＋CE＝6， ∴m＋m＝6， ∴m＝4， ∴OE＝OC－CE＝3－×4＝1， ∴点B的坐标为(1，4). ∵BD⊥y轴于点D， ∴点D的坐标为(0，4)， ∴BD＝1. ∵点A的坐标为(－3，0)， ∴OA＝3. 当点P在线段OD上时，设点P的坐标为(0，n)(0＜n＜4)，则OP＝n，DP＝4－n. ∵∠AOP＝∠BDP＝90°，以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似，如图2所示， ∴＝或＝，即＝或＝， 解得n＝1或n＝3. 如图3，若点P在点D上方，△PDB∽△POA，则＝， 即＝，得OP＝6. ∴P(0，6). 如图4，若点P在点D上方，△BDP∽△POA，则＝， 即＝，解得OP＝2＋或OP＝2－(舍去)， ∴点P的坐标为(0，1)或(0，3)或(0，6)或(0，2＋). 综上所述，满足条件的点P有4个． 第2题图 　　　第3题图 3．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为7；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形．其中，正确判断的个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 如图1，连结AB. ∵∠ACB＝90°， ∴AB是直径， ∴AB＝＝＝10， ∴⊙O的半径为5.故①正确． 连结AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N. ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴＝， ∴AD＝BD. ∵∠M＝∠DNC＝90°，CD＝CD， ∴△CDM≌△CDN(AAS)， ∴CM＝CN，DM＝DN. ∵∠M＝∠DNB＝90°，DA＝DB， ∴Rt△DMA≌Rt△DNB(HL)， ∴AM＝BN. ∵∠M＝∠MCN＝∠DNC＝90°， ∴四边形CMDN是矩形， ∵DM＝DN， ∴四边形CMDN是正方形， ∴CD＝CM， ∵AC＋CB＝CM－AM＋CN＋BN＝2CM＝14， ∴CM＝7， ∴CD＝7，故②正确． 如图2，满足条件的点E有4个，故③错误． 如图3，满足条件的点F有2个，故④正确． 二、填空题 4．如图，在正方形ABCD中，边AD绕点A顺时针旋转角度m(0°＜m＜360°)，得到线段AP，连结PC，PD.当△DPC是等腰三角形时，m的值为__30°或60°或90°或150°或300°__． 【解析】 如图1，当m＝30°时， DP＝PC，△DPC是等腰三角形； 　　 如图2，当m＝60°时， PD＝DC，△DPC是等腰三角形； 如图3，当m＝90°时，点P与点B重合， PC＝DC，△DPC是等腰三角形； 　　 如图4，当m＝150°时， PD＝PC，△DPC是等腰三角形； 如图5，当m＝300°时， PD＝DC，△DPC是等腰三角形． 综上所述，m的值为30°或60°或90°或150°或300°. 5．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，E是BC的中点，点D，F分别在边AC，AB上(均包括端点)，若使△DEF为直角三角形的点F恰好有两个，则CD的长应满足的条件是__CD＝4或0≤CD＜2__． 【解析】 如图，当D，E分别为直角顶点时，一定存在两个点F1，F2满足条件． 以DE为直径作圆，当圆与直线AB相切时，存在一个点F3，使得∠DF3E＝90°，此时CD＝AD＝2， 观察图形可知，满足条件的CD的值为0≤CD＜2. 另外当点D与A重合时，也满足条件，此时CD＝4， 综上所述，CD＝4或0≤CD＜2. 6．2023·绍兴在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝(x－2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y＝x2＋bx＋c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝__或－__． 【解析】 由题意易得点A(3，0)， 将x＝0代入y＝(x－2)2得y＝4， ∴点C(0，4). ∵四边形OABC是矩形， ∴点B(3，4)， 函数y＝x2＋bx＋c(0≤x≤3)的对称轴直线为x＝－＝－＝－2b. 分类讨论：①如图1，当对称轴在y轴的左侧，且图象经过点O(0，0)及B(3，4)时， 由图象可得解得b＝. ②如图2，当对称轴在AB右侧，且图象经过点A(3，0)及C(0，4)时， 由图象可得解得b＝－. ③如图3，当对称轴在y轴右侧，且在AB左侧时， 由图象可得 解得此种情况不符合题意，舍去． 综上，b的值为或－. 三、解答题 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P从A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P不与点A，C重合时，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，以PC，PQ为边作矩形PQHC，点H恰好落在直线BC上．设矩形PQHC与△ABC重叠部分的图形面积为S(平方单位)，点P的运动时间为t(秒). (1)当矩形PQHC为正方形时，求t的值． (2)在整个运动过程中，存在全等三角形时，求S的值． 解：(1)当矩形PQHC为正方形时有PQ＝PC. ∵PQ＝AP， ∴AP＝PC， ∴AP＝AC＝2， ∵点P从A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动． ∴t＝2. (2)设PQ与AB的交点为D，HQ与AB的交点为E. ∵线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴tan A＝＝. ∵AP＝t， ∴PD＝tan A·AP＝t，PC＝AC－AP＝4－t. ∵四边形PQHC为矩形， ∴PQ＝CH＝AP＝t，∠CPQ＝∠Q＝90°， ∴DQ＝PQ－PD＝t－t＝t，∠APD＝90°＝∠Q. ∵∠ADP＝∠EDQ， ∴△APD∽△EQD， ∴＝＝＝3， ∴EQ＝AP＝t， ∴S＝S矩形PQHC－S△DQE＝PC·PQ－DQ·QE＝(4－t)·t－×t·t＝4t－t2(0<t<4). ①当△APD≌△EHB时， ∵△APD≌△EHB， ∴HB＝PD＝t， ∴CH＝CB－HB＝3－t， ∴3－t＝t，解得t＝. 把t＝代入S＝4t－t2中，得S＝. ②当△APD≌△EQD时， ∵△APD∽△EQD，＝3， ∴该种情况舍去． ③当△DQE≌△BHE时， ∵△DQE≌△BHE， ∴BH＝DQ＝t， ∴CH＝CB－BH＝3－t＝t， 解得t＝.把t＝代入S＝4t－t2中得S＝. 综上，当存在全等三角形时，S＝或S＝. 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC在x轴上，OA在y轴上，BC＝2，D是OC上一点，且OD，DC的长是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根(OD＞DC). (1)求线段OD，OC，AD的长． (2)在线段AB上有一动点P(不与A，B重合)，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向匀速运动，到终点B停止，设运动的时间为t秒，过点P作PE∥BD交AD于E，PF∥AD交BD于F，在点P运动的过程中，x轴上是否存在点Q，使以A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵OD，DC的长是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根(OD＞DC)， ∴OD＝4，CD＝1， ∴OC＝5，AD＝＝＝2. (2)存在点Q，使以A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形，设P(t，2)， ∴PD2＝(4－t)2＋22. 当PD，AP为边时， ∵四边形APDQ是菱形， ∴AP＝PD， 则t2＝(4－t)2＋22，解得t＝， ∴AP＝， ∴DQ＝AP＝， ∴QO＝OD－DQ＝4－＝， ∴点Q(，0). 当AD，AP为边时， ∵四边形APQD是菱形， ∴AD＝AP， ∴2＝t， ∴AP＝2， ∴DQ＝AP＝2， ∴OQ＝OD＋DQ＝2＋4， ∴点Q(4＋2，0). 综上所述，点Q的坐标为(4＋2，0)或(，0). 9．2022·金华如图，在菱形ABCD中，AB＝10，sin B＝，点E从点B出发沿折线B－C－D向终点D运动．过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其他的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH. (1)如图1，点G在AC上．求证：FA＝FG. (2)若EF＝FG，当EF过AC的中点时，求AG的长． (3)已知FG＝8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)? 解：(1)证明：如图1， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA. ∵FG∥BC， ∴∠AGF＝∠ACB， ∴∠AGF＝∠FAG， ∴FA＝FG. (2)设AC的中点为O. ①如图2，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M. 在Rt△ABM中， AM＝AB·sin B＝10×＝6， ∴BM＝＝＝8， ∴FG＝EF＝AM＝6，CM＝BC－BM＝2. ∵OA＝OC，OE∥AM， ∴CE＝EM＝CM＝1， ∴AF＝EM＝1， ∴AG＝AF＋FG＝7. ②如图3，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N. 同理FG＝EF＝AN＝6，CN＝2，AF＝EN＝CN＝1， ∴AG＝FG－AF＝6－1＝5. 综上所述，满足条件的AG的长为5或7. (3)过点A作AM⊥BC于点M. ①当点E在线段BM上时，0＜s≤8，设EF＝3x，则BE＝4x，GH＝EF＝3x. i)若点H在点C的左侧，s＋8≤10，即0＜s≤2，如图4， CH＝BC－BH＝10－(4x＋8)＝2－4x， 由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝， ∴＝，解得x＝， 经检验x＝是分式方程的解， ∴s＝4x＝1. 由△GHC∽△BEF，可得＝，即＝， ∴＝，解得x＝， ∴s＝4x＝. ii)若点H在点C的右侧，s＋8＞10，即2＜s≤8，如图5， CH＝BH－BC＝(4x＋8)－10＝4x－2， 由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝， ∴＝，方程无解． 由△GHC∽△BEF，可得＝，即＝， ∴＝，解得x＝， ∴s＝4x＝. ②当点E在线段MC上时，8＜s≤10，如图6， EF＝6，EH＝8，BE＝s， ∴BH＝BE＋EH＝s＋8，CH＝BH－BC＝s－2. 由△GHC∽△FEB，可得＝，即＝， ∴＝，方程无解． 由△GHC∽△BEF，可得＝，即＝， ∴＝，解得s＝1±(舍去). ③当点E在线段CN上时，10＜s≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J， 在Rt△BJC中，BC＝10，CJ＝6，BJ＝8， ∵EH＝BJ＝8，JF＝CE， ∴BJ＋JF＝EH＋CE，即CH＝BF. 又∵GH＝EF，∠GHC＝∠EFB＝90°， ∴△GHC≌△EFB，符合题意，此时10＜s≤12. ④当点E在线段DN上时，12＜s＜20， ∵∠EFB＞90°， ∴△GHC与△BEF不相似． 综上所述，当s的值为1或或或10≤s≤12时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等). 学科网（北京）股份有限公司 $$