新中考·核心专题集训2(2) 抛物线的对称性-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训2(2) (见学生用书P57) [范围：抛物线的对称性] 一、选择题 1．已知点(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2－2ax＋b(a＞0)的图象上，若y1＞y2，则必有(　D　) A．x1＞x2＞1 B．x1＜x2＜1 C．|x1－1|＜|x2－1| D．|x1－1|＞|x2－1| 【解析】 易知二次函数y＝ax2－2ax＋b(a＞0)的图象 开口向上，对称轴为直线x＝－＝1， ∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2－2ax＋b(a＞0)的图象上，且y1＞y2， ∴点A(x1，y1)到对称轴的距离大于点B(x2，y2)到对称轴的距离，∴|x1－1|＞|x2－1|. 2．二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是(　C　) A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0 【解析】 如图，由题意，得对称轴为直线x＝1， ∵|－3－1|>|4－1|>|－1－1|>|2－1|， ∴y1＞y4＞y2＞y3， 若y1y2＞0，如图1，则y3y4＜0，选项A不符合题意； 若y1y4＞0，如图2，则y2y3＜0，选项B不符合题意； 若y2y4＜0，如图3，则y1y3＜0，选项C符合题意； 若y3y4＜0，如图4，则y1y2＞0，选项D不符合题意． 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a≠0)的图象的对称轴是直线x＝2，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)为其图象上的两点，且y1＜y2，(　D　) A．若x1－x2＜0，则x1＋x2－4＜0 B．若x1－x2＜0，则x1＋x2－4＞0 C．若x1－x2＞0，则a(x1＋x2－4)＞0 D．若x1－x2＞0，则a(x1＋x2－4)＜0 【解析】 ∵直线x＝2是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a≠0)的图象的对称轴， ∴x＝－＝2，∴b＝－4a，∴y＝ax2－4ax＋c. ∵点A(x1，y1)和点B(x2，y2)为其图象上的两点， ∴y1＝ax－4ax1＋c，y2＝ax－4ax2＋c， y1＜y2即y1－y2＜0， ∴ax－4ax1＋c－(ax－4ax2＋c)＜0， 整理得a(x1－x2)(x1＋x2－4)＜0. 若x1－x2＜0，则a(x1＋x2－4)＞0，故A，B不符合题意． 若x1－x2＞0，则a(x1＋x2－4)＜0，故C不符合题意，D符合题意． 二、填空题 4．已知二次函数y＝(x＋m－3)(x－m)＋5，点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)是其图象上的两点，若x1＋x2＜3，则y1和y2的大小关系为y1__＞__y2. 【解析】 ∵y＝(x＋m－3)(x－m)＋5， ∴函数图象的对称轴为直线x＝＝，且图象开口向上． ∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)是其图象上的两点，且x1＋x2＜3， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离， ∴y1＞y2. 5．已知二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)的图象与x轴的交点是(1，0)和(3，0)，关于x的方程a(x－x1)(x－x2)＝m(其中m＞0)的两个解分别是－1和5，关于x的方程a(x－x1)(x－x2)＝n(其中0＜n＜m)也有两个整数解，则这两个整数解分别是__0和4__． 【解析】 由题意可知抛物线y＝a(x－x1)(x－x2)与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，与直线y＝m的交点分别为(－1，m)和(5，m)， 设函数图象与直线y＝n的交点分别为(p，n)和(q，n)， ∵0＜n＜m，∴直线y＝n在x轴和直线y＝m之间， 如图所示： 由图可知，－1＜p＜1，3＜q＜5.又∵p，q都为整数， ∴p＝0，q＝4. 6．已知二次函数y＝ax2－2ax＋a＋2(a≠0)，若－1≤x≤2 时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为__±1__ . 【解析】 易知函数图象的对称轴为直线x＝－＝1. 若a>0，当x＝1时，y取得最小值2；当x＝－1时，y取得最大值4a＋2. ∴4a＋2－2＝4，∴a＝1. 若a＜0，则同理可得y的最大值为2，最小值为4a＋2， ∴2－(4a＋2)＝4，∴a＝－1. 综上，a的值为±1. 三、解答题 7．已知点A(m－2，y1)，B(m，y2)，C(x0，y0)在二次函数y＝ax2＋6ax＋c(a≠0)的图象上，且C为抛物线的顶点． (1)若y1＝y2，求m的值． (2)若y0≤y1＜y2，求m的取值范围． 解：(1)易知抛物线的对称轴为直线x＝－＝－3， ∵y1＝y2，∴＝－3，∴m－1＝－3，∴m＝－2. (2)∵点C为抛物线的顶点，且y0≤y1＜y2， ∴抛物线开口向上，顶点为最低点． ∵y0≤y1＜y2，∴>－3，∴m＞－2. 8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝(x－a－1)(x＋a－1)＋a. (1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标． (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值． (3)抛物线上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，当m＜x1＜m＋1，m＋2＜x2＜m＋3时，若存在y1＝y2，直接写出m的取值范围． 解：(1)当a＝1时，y＝x(x－2)＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(1，0). (2)∵y＝(x－a－1)(x＋a－1)＋a， ∴抛物线经过点(a＋1，a)，(1－a，a)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1. 将x＝1代入y＝(x－a－1)(x＋a－1)＋a，得y＝(1－a－1)·(1＋a－1)＋a＝－a2＋a＝－(a－)2＋，∴抛物线顶点的纵坐标为－(a－)2＋，其最大值为. (3)当y1＝y2时，点A与点B关于对称轴对称，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， ∴m＋1＜1，即m＜0.设点A(x1，y1)关于对称轴的对称点A′的坐标为(x0，y1)， ∵m＜x1＜m＋1，x0＝2－x1，∴1－m＜x0＜2－m. ∵m＋2＜x2＜m＋3，∴ 解得－1≤m≤0. 9．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝－(x－2m)2＋1－m(m是实数). (1)当m＝2时，若点A(6，n)在该函数图象上，求n的值． (2)小明说二次函数图象的顶点可以是(2，－1)，你认为他的说法对吗？为什么？ (3)已知点P(a＋1，c)，Q(4m－7＋a，c)都在该二次函数图象上，求证：c≤－. 解：(1)当m＝2时，y＝－(x－4)2－1， ∵点A(6，n)在该函数图象上， ∴n＝－×(6－4)2－1＝－3. (2)若顶点是(2，－1)，则2m＝2①，1－m＝－1②， 由①得m＝1，由②得m＝2， 故小明的说法错误． (3)证明：∵点P(a＋1，c)，Q(4m－7＋a，c)都在该二次函数图象上， ∴对称轴为直线x＝＝a＋2m－3， ∴a＋2m－3＝2m，∴a＝3，∴P(4，c)， ∴c＝－(4－2m)2＋1－m＝－2(m－)2－， ∴c≤－. 10．设二次函数y＝(x＋1)(ax＋2a＋2)(a是常数，a≠0). (1)若a＝1，求该函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象经过(－1，1)，(－2，3)，(0，－2)三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． (3)若二次函数图象经过(x1，y1)，(x2，y2)两点，当x1＋x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜－. 解：(1)当a＝1时，二次函数y＝(x＋1)(x＋4)＝x2＋5x＋4＝(x＋)2－， ∴顶点坐标为(－，－). (2)当x＝－1时，y＝0≠1，因此不过点(－1，1)； 当x＝－2时，y＝(－2＋1)(－2a＋2a＋2)＝－2≠3，因此不过点(－2，3). 故抛物线过点(0，－2)，代入得，2a＋2＝－2， ∴a＝－2，∴二次函数的表达式为y＝－2(x＋1)2. (3)证明：∵二次函数y＝(x＋1)(ax＋2a＋2)(a是常数，a≠0)的图象与x轴交于点(－1，0)，(－2－，0)， ∴函数图象的对称轴为直线x＝－. 当a＞0时，函数图象开口向上， ∵当x1＋x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2， ∴x2＋<－－x1， ∴2＋<0，解得a<－，舍去； 当a＜0时，函数图象开口向下，∵当x1＋x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2， ∴－<1，∴a<－.故a<－. 11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－(a＋2)x＋2经过点A(－2，t)，B(m，p). (1)若t＝0， ①求此抛物线的对称轴． ②当p＜t时，直接写出m的取值范围． (2)若t＜0，点C(n，q)在该抛物线上，m＜n且3m＋3n≤－4，请比较p，q的大小，并说明理由． 解：(1)当t＝0时，点A的坐标为(－2，0)， ∵抛物线y＝ax2－(a＋2)x＋2经过点A(－2，0)， ∴4a＋2(a＋2)＋2＝0，∴a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－. ②令y＝0，则－x2－x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝－2， ∴抛物线与x轴交于点(－2，0)和(1，0). ∵点A(－2，0)，B(m，p)，且p＜0， ∴点B(m，p)在x轴的下方，∴m＜－2或m＞1. (2)p＜q.理由如下： 将(－2，t)代入y＝ax2－(a＋2)x＋2得t＝4a＋2(a＋2)＋2＝6a＋6， ∵t＜0，∴6a＋6＜0，∴a＜－1，∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴为直线 x＝－＝＋， ∵a＜－1，∴－1＜＜0， ∴－<＋＜， ∵m＜n且3m＋3n≤－4， ∴≤－＜－， ∴点B(m，p)到对称轴的距离大于点C(n，q)到对称轴的距离，∴p＜q. 12．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0). (1)已知a＝1. ①若函数的图象经过(0，3)和(－1，0)两点，求函数的表达式． ②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b＋c的最小值． (2)若函数图象经过(－2，m)，(－3，n)和(x0，c)，且c＜n＜m，求x0的取值范围． 解：(1)∵a＝1，∴y＝x2＋bx＋c. ①将(0，3)和(－1，0)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴y＝x2＋4x＋3. ②将函数图象向下平移两个单位，得y＝x2＋bx＋c－2，此时该函数图象与x轴恰好有一个交点， ∴Δ＝0，即b2－4(c－2)＝0，即b2－4c＋8＝0， ∴c＝＋2， ∴b＋c＝b＋＋2＝(b＋2)2＋1， ∴当b＝－2时，b＋c的最小值为1. (2)当x＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝c，即抛物线和y轴的交点为(0，c). 又(x0，c)在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线x＝x0. 当a＞0时，抛物线开口向上， ∵函数图象经过(－2，m)，(－3，n)，且n＜m， ∴直线x＝－3比直线x＝－2离抛物线对称轴更近， ∴抛物线的对称轴在x＝－的左侧，则c＞m，和题设矛盾，故a＜0.∵c＜n＜m， ∴＞＞， 解得－5＜x0＜－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$