新中考·核心专题集训2(1) 函数图象和性质-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训2(1) (见学生用书P55) [范围：函数图象和性质] 一、选择题 1．已知二次函数y＝x2－2x－3，若y＞－3，则自变量x的取值范围是(　A　) A．x＜0或x＞2　　　　　B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3 【解析】 ∵二次函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1. 令x＝0，则y＝－3，∴抛物线与y轴的交点是(0，－3). ∵点(0，－3)关于对称轴的对称点为(2，－3)， ∴由图象可得，当y＞－3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2. 2．2022·绍兴已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断中正确的是(　D　) A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【解析】 ∵直线y＝－2x＋3，∴y随x增大而减小，当y＝0时，x＝1.5. ∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x1<x2<x3，∴由图象得， 若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意； 若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意； 若x2x3<0，则x2，x3异号，∴x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意． 3．2023·宁波已知二次函数y＝ax2－(3a＋1)x＋3(a≠0)，下列说法正确的是(　C　) A．点(1，2)在该函数的图象上 B．当a＝1且－1≤x≤3时，0≤y≤8 C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧 【解析】 对于y＝ax2－(3a＋1)x＋3，当x＝1时，y＝a×12－(3a＋1)×1＋3＝2－2a， ∵a≠0，∴y＝2－2a≠2， ∴点A(1，2)不在该函数的图象上， 故选项A不正确； 当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)， 即当x＝2时，y＝－1＜0， 故选项B不正确； 令y＝0，则ax2－(3a＋1)x＋3＝0， ∵Δ＝[－(3a＋1)]2－4a×3＝(3a－1)2≥0， ∴该函数的图象与x轴一定有交点， 故选项C正确； ∵该抛物线的对称轴为直线x＝＝＋， 又∵a＞0，∴＋>， ∴该抛物线的对称轴一定在直线x＝的右侧， 故选项D不正确． 二、填空题 4．2023·金华改编如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b>的解集是__－3＜x＜0或x＞2__． 第4题图 　　第4题答图 【解析】 ∵点A(2，3)在反比例函数的图象上， ∴k＝6. 又B(m，－2)在反比例函数的图象上， ∴m＝－3.∴B(－3，－2). 由图象可知，当ax＋b＞时，－3＜x＜0或x＞2. 5．已知函数y＝kx＋1，当－2≤x≤4时，y有最大值6，则k＝__或－__． 【解析】 当k＞0时，函数y＝kx＋1中y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y有最大值6.把x＝4，y＝6代入y＝kx＋1中得4k＋1＝6，∴k＝. 当k＜0时，函数y＝kx＋1中y随x的增大而减小， ∴当x＝－2时，y有最大值6.把x＝－2，y＝6代入y＝kx＋1中得－2k＋1＝6，∴k＝－. 综上，k的值为或－. 6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数y＝(k＜0，x＜0)的图象经过点A，与AF交于点E，且AE＝EF，△ADF的面积为6，则k的值为__－4__． 【解析】 如图， 过点E作EG⊥x轴，AH⊥x轴，垂足分别为点G，H， ∵点E为AF的中点，∴EG为△FAH的中位线， 则EG＝AH，FG＝HG. 设EG＝a，FG＝HG＝b，则AH＝2a， ∵点A，E在反比例函数y＝(k＜0，x＜0)的图象上，∴OH·2a＝(OH＋b)·a＝|k|， ∴OH＝b，∴S四边形AEGO－S△AHO＝S四边形AEGO－S△EGO， 即S梯形EGHA＝S△OAE. 连结OE，BD， ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC. ∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴AF∥BD. 又∵△ADF的面积为6，∴S△OAF＝S△DAF＝6. ∵AE＝EF，∴S△OAE＝S△OAF＝3. ∵S梯形EGHA＝S△OAE，∴·(a＋2a)·b＝ab＝3， 即ab＝2，∴|k|＝2ab＝2×2＝4. ∵反比例函数的一支图象在第二象限，∴k＝－4. 三、解答题 7．已知反比例函数y＝的图象经过第二、四象限． (1)点P(－k，k)在第__四__象限． (2)若点A(a－b，3)，B(a－c，5)是反比例函数y＝图象上的两点，求a，b，c的大小关系． 解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴－k＞0， ∴点P(－k，k)在第四象限，故答案为四． (2)∵k＜0，y＝的图象在第二、四象限． 又点A(a－b，3)，B(a－c，5)是反比例函数y＝图象上的两点，∴点A(a－b，3)，B(a－c，5)在第二象限． 易知对于反比例函数y＝，当x<0时，y随x的增大而增大， ∴a－b＜0，a－c＜0，a－b＜a－c， ∴a＜b，a＜c，b＞c，∴b＞c＞a. 8．2023·绍兴已知二次函数y＝－x2＋bx＋c. (1)当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当－1≤x≤3时，求y的取值范围． (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 解：(1)①当b＝4，c＝3时， y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7， ∴顶点坐标为(2，7). ②∵当－1≤x≤2时y随x的增大而增大，当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， ∴当 x＝2 时，y有最大值7. ∵2－(－1)＞3－2，∴当x＝－1 时，y有最小值－2， ∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7. (2)∵当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴x＝在y轴的右侧， ∴b＞0. ∵抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2， ∴c＝2. 又∵＝3，∴b＝±2. ∵b＞0，∴b＝2. ∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2. 9．二次函数y＝x2－bx＋c的图象经过(－2，y1)，(1，y2)两点． (1)当b＝1时，判断y1与y2的大小． (2)当y1＜y2时，求b的取值范围． (3)若此函数图象还经过点(m，y1)，且1＜b＜2，求证：3＜m＜4. 解：(1)当b＝1时， y1＝(－2)2－(－2)＋c＝6＋c，y2＝12－1＋c＝c. ∵6＋c＞c，∴y1＞y2. (2)∵y1＝4＋2b＋c，y2＝1－b＋c， 又∵y1＜y2，∴4＋2b＋c＜1－b＋c，∴b＜－1. (3)证明：易知二次函数y＝x2－bx＋c的图象的对称轴为直线x＝＝， ∵二次函数的图象经过(－2，y1)，(m，y1)两点， ∴－(－2)＝m－，得m＝2＋b， ∵1＜b＜2，∴3＜m＜4. 10．已知y关于x的二次函数y＝x2－2mx＋2m＋4，点P为抛物线的顶点． (1)若抛物线与y轴的交点坐标为(0，2)，求该二次函数的表达式． (2)当点P的纵坐标取最大值时，m＝__1__，此时点P的坐标为__(1，5)__． (3)在(2)的条件下，当n－3≤x≤n时，函数有最小值9，求n的值． 解：(1)∵二次函数y＝x2－2mx＋2m＋4的图象与y轴的交点坐标为(0，2)， ∴2m＋4＝2，∴m＝－1， ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x＋2. (2)y＝x2－2mx＋2m＋4＝(x－m)2＋(－m2＋2m＋4)，∴顶点P的坐标为(m，－m2＋2m＋4)， ∵－m2＋2m＋4＝－(m－1)2＋5，∴当m＝1时， －m2＋2m＋4取得最大值5， ∴当点P的纵坐标取最大值时，m＝1，此时P(1，5). 故答案为1；(1，5). (3)当m＝1时，y＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，∴当x＝1时，函数取得最小值5. ∵当n－3≤x≤n时，函数有最小值9， ∴x的取值范围一定在对称轴的左边或右边， 若n≤1，则当x＝n时，函数有最小值9， ∴(n－1)2＋5＝9，解得n1＝3，n2＝－1， ∵n≤1，∴n＝－1. 若n－3≥1，则当x＝n－3时，函数有最小值9， ∴(n－3－1)2＋5＝9，解得n1＝6，n2＝2， ∵n－3≥1，即n≥4，∴n＝6. 综上所述，n的值为－1或6. 11．在平面直角坐标系中，点(1，m)，(2，n)在函数y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的图象上． (1)若m＝2，n＝3，求该函数的表达式． (2)若n＝3m，求证：该函数的图象经过点(，). (3)已知点(3，0)，(－1，y1)，(4，y2)在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由． 解：(1)把(1，2)，(2，3)分别代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴函数的表达式为y＝x2－2x＋3. (2)证明：把(1，m)，(2，3m)分别代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴函数的表达式为y＝x2＋(2m－3)x＋2－m. ∵当x＝时，y＝＋×(2m－3)＋2－m＝， ∴函数的图象经过点(，). (3)y1＞y2. 理由如下：如图， ∵m＞0，n＜0，∴当x＝1时，y＞0；当x＝2时，y＜0. ∵函数的图象经过点(3，0)， ∴函数图象的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧， ∴点(－1，y1)到对称轴的距离大于点(4，y2)到对称轴的距离． 又∵抛物线的开口向上，∴y1＞y2. 12．已知二次函数y＝mx2－4mx＋3m. (1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标． (2)若m＜0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值． (3)已知P(2，)，Q(4，)为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，求出m的取值范围． 解：(1)令y＝0，则mx2－4mx＋3m＝0， ∵m≠0，∴x2－4x＋3＝0， 解得x1＝3，x2＝1，∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0). (2)∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2， ∴若1≤x≤4，则当x＝2时，y取得最大值2， ∴4m－8m＋3m＝2， ∴m＝－2，∴y＝－2x2＋8x－6. ∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y取到最小值0. ∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小， ∴当x＝4时，y取到最小值－6. ∴当1≤x≤4时，y的最小值为－6. (3)当x＝2时，y＝4m－8m＋3m，得y＝－m； 当x＝4时，y＝16m－16m＋3m，得y＝3m. 当m＞0时，解得m≥； 当m＜0时，解得m≤－. ∴当m≤－或m≥时，抛物线y＝mx2－4mx＋3m与线段PQ有公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $$