新中考·核心专题集训1 代数推理-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

[]  新中考·核心专题集训1 (见学生用书P53) [范围：代数推理] 一、选择题 1．若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，k－n2－2)，则k的取值范围为(　D　) A．k≤－2　　　　　　　B．k≤－4 C．k≥2 D．k≥4 【解析】 ∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，k－n2－2)，∴2(k－n2－2)＝k，则k＝2n2＋4.∵n2≥0，∴由不等式的基本性质得2n2≥0，2n2＋4≥4，即k≥4. 2．2022·杭州已知二次函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数).命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数图象的对称轴为直线x＝1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是(　A　) A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 【解析】 假设抛物线的对称轴为直线x＝1， 则－＝1， 解得a＝－2， ∵函数的图象经过点(3，0)， ∴3a＋b＋9＝0， 解得b＝－3， 故抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 当y＝0时，得x2－2x－3＝0， 解得x＝3或x＝－1， 故抛物线与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)， 函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧． 故命题①为假命题． 3．2023·山东烟台如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为(－，m)，与x轴的一个交点位于0和1之间，给出以下结论： ①abc＞0； ②2b＋c＞0； ③若图象经过点(－3，y1)，(3，y2)，则y1＞y2； ④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0无实数根，则m＜3. 其中，正确结论的个数是(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ①∵抛物线开口向下，与y轴正半轴相交，且对称轴在y轴左侧，∴a＜0，c＞0，b＜0，则abc＞0，结论①正确．②∵顶点A的坐标为(－，m)，∴＝－，∴b＝a，∴2b＋c＝b＋b＋c＝a＋b＋c.由图象得，当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，∴2b＋c＜0，结论②错．③∵对称轴为直线x＝－，∴点(－3，y1)到对称轴的距离小于点(3，y2)到对称轴的距离．根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴y1＞y2，结论③正确．④∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0无实数根，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝3无交点．∵抛物线开口向下且顶点坐标为(－，m)，∴m＜3，结论④正确．故正确的结论有3个． 二、填空题 4．若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，且(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，则m＝__2或6__． 【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，∴判别式Δ＝(－2m)2－4(m2－4m－1)≥0，解得m≥－，且x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－4m－1.∵(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，∴2(x1＋x2)－x1x2－13＝0，∴4m－(m2－4m－1)－13＝0，解得m＝2或m＝6.∵m≥－，∴m＝2或6. 5．已知点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上． (1)若＝2，则＝____． (2)若x1＝x2＋2，y1＝3y2，则当自变量x＞x1＋x2时，函数y的取值范围是 __y＜－1.5或y＞0__． 【解析】 (1)∵点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上， ∴x1y1＝x2y2＝6. 又＝2， ∴＝＝. (2)由(1)得x1y1＝x2y2＝6. ∵y1＝3y2， ∴x2＝3x1， 又∵x1＝x2＋2， ∴x1＝－1，x2＝－3， ∴x1＋x2＝－4. ∵当x＝x1＋x2＝－4时，y＝－1.5， ∴由反比例函数y＝的图象得，当自变量x＞x1＋x2时，函数y的取值范围为y＜－1.5或y＞0. 6．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有__②③④__(填序号). ①方程x2－x－2＝0是倍根方程； ②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程； ④若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac. 【解析】 ①解方程x2－x－2＝0得，x1＝2，x2＝－1，得x1≠2x2， ∴方程x2－x－2＝0不是倍根方程， 故①不正确． ②由(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，x1＝2， 得x2＝1或x2＝4. 当x2＝1时，m＋n＝0， 当x2＝4时，4m＋n＝0， ∴4m2＋5mn＋n2＝(m＋n)(4m＋n)＝0， 故②正确． ③∵pq＝2， ∴px2＋3x＋q＝(px＋1)(x＋q)＝0， ∴x1＝－，x2＝－q， ∴x2＝－q＝－＝2x1， 因此该方程是倍根方程， 故③正确． ④方程ax2＋bx＋c＝0的根为 x1＝， x2＝， 若x1＝2x2，则＝×2， 即－×2＝0， ∴＝0， ∴b＋3＝0， ∴3＝－b， ∴9(b2－4ac)＝b2， ∴2b2＝9ac. 若2x1＝x2， 则×2＝， 即×2－＝0， ∴＝0， ∴－b＋3＝0， ∴b＝3， ∴b2＝9(b2－4ac)， ∴2b2＝9ac. 故④正确． 三、解答题 7．513的含义是5×102＋1×10＋3，4 251的含义是 4×103＋2×102＋5×10＋1.设 是一个三位数． (1)342可写成__3×102＋4×10＋2__；可写成__a×102＋b×10＋c__． (2)若a＋b＋c能被3整除，试说明 能被3整除． 解：(1)依题意，342＝3×102＋4×10＋2，＝a×102＋b×10＋c， 故答案为3×102＋4×10＋2，a×102＋b×10＋c. (2)证明：∵＝a×102＋b×10＋c＝100a＋10b＋c＝(a＋b＋c)＋(99a＋9b)， 其中，a＋b＋c能被3整除，99a＋9b＝9(11a＋b)也能被3整除． 令a＋b＋c＝3m，99a＋9b＝3n， ∴＝(a＋b＋c)＋(99a＋9b)＝3m＋3n＝3(m＋n)，能被3整除． 8．2023·丽水改编如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4. (1)若a＝3，b＝4，求图1阴影部分的面积． (2)若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，求图2阴影部分的面积． 解：(1)由题意可得题图1阴影部分的面积为a2＋b2，∵a＝3，b＝4， ∴a2＋b2＝32＋42＝25，即题图1阴影部分的面积为25. (2)由题意可得a2＋b2＝3，题图2中四边形ABCD是直角梯形， ∵AB＝m，CD＝n，BC＝m＋n， ∴S梯形ABCD＝(m＋n)(m＋n)＝5，则(m＋n)2＝10. ∵am－bn＝2，an＋bm＝4， ∴等式两边分别平方得，a2m2－2abmn＋b2n2＝4①，a2n2＋2abmn＋b2m2＝16②， 则①＋②得，(a2＋b2)(m2＋n2)＝20. ∵a2＋b2＝3，∴m2＋n2＝. ∵(m＋n)2＝10， ∴(m＋n)2－(m2＋n2)＝10－，则2mn＝，得mn＝. ∵题图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线， 且这两边构成的角为45°＋45°＝90°， ∴阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为＝m，＝n，故题图2阴影部分的面积为×m×n＝mn＝. 9．2023·丽水已知点(－m，0)和(3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上． (1)当m＝－1时，求a和b的值． (2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2＜m＜－1时，求n的取值范围． (3)求证：b2＋4a＝0. 解：(1)当m＝－1时，函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点(1，0)和(－3，0)， 则 解得a＝－1，b＝－2. (2)∵函数y＝ax2＋bx＋3的图象过点(－m，0)和(3m，0)， ∴对称轴为直线x＝＝m. 又该图象过点(n，3)，(0，3)， ∴点A(n，3)和点(0，3)关于直线x＝m对称， ∴＝m，即n＝2m. ∵－2＜m＜－1， ∴－4＜n＜－2. (3)证明：∵函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点(－m，0)和(3m，0)， ∴y＝ax2－2amx－3am2. ∴b＝－2am，－3am2＝3， 即am2＝－1. ∴b2＋4a＝4a2m2＋4a＝4a·am2＋4a＝4a×(－1)＋4a＝0. 10．已知二次函数y＝x2－(a＋2)x＋2a＋1， (1)若a＝4，求函数图象的对称轴和顶点坐标． (2)若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值． (3)若抛物线过点(－1，y0)，且对于抛物线上任意一点(x1，y1)都有y1≥y0，若点A(m，n)，B(2－m，p)是这条抛物线上不同的两点，求证：n＋p＞－8. 解：(1)∵当a＝4时，y＝x2－6x＋9＝(x－3)2， ∴对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0). (2)当函数图象向下平移一个单位时，y＝x2－(a＋2)x＋2a＋1－1＝x2－(a＋2)x＋2a. ∵平移以后的函数图象与x轴只有一个交点， ∴ Δ＝[－(a＋2)]2－4×2a＝0，解得，a＝2. (3)证明：∵抛物线过点(－1，y0)，且对于抛物线上任意一点(x1，y1)都有y1≥y0， ∴顶点坐标为(－1，y0)，对称轴为直线x＝－1. ∴＝－1，解得a＝－4，则y＝x2＋2x－7. ∵＝1，且当x＝1时，y＝－4. ∴由二次函数图象得，对任意m的值，都有以点A(m，n)和B(2－m，p)为端点的线段的中点(1，)在点(1，－4)的上方． ∴>－4，∴n＋p>－8. 学科网（北京）股份有限公司 $$