新中考• 核心专题8 相似基本图形的综合-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题8　相似基本图形的综合 视角一　“A形”“反A形”“子母形”相似 类型1　“A形”相似 例1 2022·杭州如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝. (1)若AB＝8，求线段AD的长． (2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 思考：(1)由平行四边形的性质可证得DE∥BC，利用相似三角形的对应边成比例，可以将AD放置于哪一组相似三角形中求解？ (2)求平行四边形BFED的面积，直接求还是间接求？ 解：(1)由题意，得DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2. (2)设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2. ∵＝，∴＝＝.∵S1＝1，∴S＝16. 由题意，得EF∥BD，∴△CEF∽△CAB，∴＝()2. ∵＝，∴S2＝×16＝9，∴平行四边形BFED的面积为S－S1－S2＝6. 类型2　“反A形”相似 例2 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F.若∠AED＝∠B，且AG∶GF＝3∶2，则DE∶BC＝__3∶5__． 思考：(1)由∠AED＝∠B可以推出哪两个三角形相似？依据是什么？ (2)这两个三角形的相似比为多少？可以由对应角平分线之比得到吗？ 【解析】 ∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB. ∵AG，AF分别是△ADE，△ABC的角平分线， ∴＝(相似三角形的对应角平分线的比等于相似比). ∵AG∶FG＝3∶2，∴AG∶AF＝3∶5，∴DE∶BC＝3∶5. 类型3　“子母形”相似 例3 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则＝____． 思考：(1)△ABC是顶角为108°的等腰三角形，过顶角顶点可以作出一条直线将三角形分割为两个等腰三角形吗？ (2)要求比值，应使BC与AB为一组对应边，这个三角形应如何分割？ 【解析】 如图，在AB右侧作AD使∠BAD＝∠B，AD交BC于点D，∴BD＝AD. ∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝36°， ∴∠BAD＝∠B＝36°. ∵∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝72°，∠ADC＝∠BAD＋∠B＝72°， ∴∠DAC＝∠ADC＝72°，∴AC＝CD. 设AB＝AC＝1，AD＝x(x＞0)，则CD＝1，BD＝x，BC＝1＋x， ∵∠ABC＝∠DBA，∠ACB＝∠DAB，∴△ABC∽△DBA， ∴＝，即＝， ∴x2＋x－1＝0，解得x＝或， ∵x＞0，∴x＝，∴＝＝. 视角二　“X形”“反X形”相似 类型1　“X形”相似 例4 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为(　D　) A．11 B．10 C．9 D．8 思考：(1)图中有与△EFC相似的三角形吗？相似比为多少？ (2)要求相似比，只要求什么量？ 【解析】 ∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAF＝∠DAF. ∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF＝∠F＝∠DAF，∠BAE＝∠DAE＝∠AEB， ∴AD＝DF＝9，AB＝BE＝6，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形． ∵AD∥BC，∴△FCE∽△FDA，∴△EFC是等腰三角形， ∴EC＝FC＝9－6＝3. 在△ABG中，BG⊥AG，AB＝6，BG＝4，∴AG＝＝2， ∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周长等于16. 又∵∠CEF＝∠AEB，∠F＝∠BAF，∴△CEF∽△BEA，相似比为1∶2， ∴△CEF的周长为8. 类型2　“反X形”相似 例5 右图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处(不与点A重合)，连结CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.若AD＝ED，则∠DAE＝__72°__；的值等于____． 思考：(1)由折叠性质知∠BCO＝∠DCO，设∠BCO＝∠DCO＝α，△ADE中，三个内角可以用α表示吗？ (2)根据圆周角定理，可以得到哪些相等的角？AD，BC所在的三角形相似吗？ 【解析】 由折叠性质知∠BCO＝∠DCO， 设∠BCO＝∠DCO＝α，则∠BCD＝∠A＝2α. ∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO＝∠D＝α. ∵AD＝ED，∴∠DEA＝∠A＝2α. 在△ADE中，α＋2α＋2α＝180°，解得α＝36°，∴∠DAE＝2×36°＝72°. 设圆的半径为r，∵∠BEC＝∠DEA＝72°＝∠BCE，∠DCO＝∠B＝36°，∴△BCE∽△CEO， 即＝. ∵∠COE＝2∠B＝72°＝∠CEO＝∠BCD， ∴CE＝OC＝r，BC＝BE＝OB＋OE＝r＋OE. ∴由＝，得OE2＋r·OE－r2＝0， 解得OE＝r(负值舍去). ∵∠AED＝∠CEB，∠B＝∠D，∴△DAE∽△BCE，∴＝， 而＝＝1－＝，即＝. 视角三　“K形”（一线三等角） 相似 类型1　“一线三等角” 例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，点D，F分别在边AB和AC上，且满足∠DEF＝∠B. (1)求证：△BDE∽△CEF. (2)若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值． 思考：(1)找一找图中相等的角，是否符合“一线三等角”条件？根据两个角对应相等可以得出两个三角形相似吗？ (2)DE与EF的比值可以转化为哪两条线段之比？ 解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠CED＝∠CEF＋∠DEF＝∠B＋∠BDE，∠DEF＝∠B， ∴∠CEF＝∠BDE， ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF， ∴＝＝， ∴BE·CE＝BD·CF. ∵BE＝CE，且BD＝6，CF＝4， ∴BE2＝BD·CF＝24， ∴BE＝＝2， ∴＝＝＝. 类型2　“一线三直角”——“K形”相似 例7 如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点(点E与点B不重合)，AB＝5，AD＝8，将△ABE沿AE对折得到△AFE，其中点F落在矩形内部．若点F到边AB和CD的距离相等，则tan ∠BAE＝____． 思考：(1)折叠的本质是轴对称变换，画出图形，矩形中的直角∠B的对应角是哪个？ (2)过直角顶点作平行线，可以得到一线三等角(K形相似)吗？ 【解析】 如图，过点F作AB的平行线，分别交AD，BC于点G，H， 在矩形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AGF＝∠FHE＝90°. ∵点F到边AB，CD的距离相等， ∴AG＝BH＝AD＝4. 由折叠知，AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°， ∴FG＝＝＝3， ∴FH＝GH－FG＝AB－FG＝2. ∵∠EFH＋∠AFG＝90°，∠EFH＋∠FEH＝90°， ∴∠AFG＝∠FEH. ∵∠AGF＝∠FHE， ∴△AGF∽△FHE， ∴＝，∴＝， ∴EF＝， ∴tan ∠BAE＝tan ∠EAF＝＝＝. 视角四　共顶点旋转相似 例8 如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F. (1)求证：△ABC∽△ADE. (2)如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE.求证：四边形ADCE是菱形． 思考：由等角加同角相等可得∠BAC＝∠DAE，由△ABC和△ADE的顶角相等，且都是等腰三角形，以此即可证明△ABC∽△ADE吗？依据是什么？ 证明：(1)∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋CAD，即∠BAC＝∠DAE. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠ACB＝(180°－∠BAC)，∠ADE＝∠E＝(180°－∠DAE). ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E， ∴△ABC∽△ADE. (2)如图，∵AE∥BC， ∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF， 由(1)可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF， ∴∠ADF＝∠CDF， ∵DA＝DC，∴AF＝CF. 在△AEF和△CDF中， ∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴AE＝CD. ∵AE∥CD，AE＝CD， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∵DA＝DC，∴平行四边形ADCE为菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $$