第27章·二次函数·期中复习·基础巩固讲义 ·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第27章·二次函数·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的定义，能准确判断一个函数是否为二次函数并求参数值 · 理解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等基本性质，能由解析式直接说出图象特征 · 掌握二次函数图象与 x 轴、y 轴交点坐标的求法，理解图象与一元二次方程根的关系 · 掌握二次函数图象的平移、旋转规律，能由变换后的顶点写出新解析式 · 能运用待定系数法由三点、顶点或交点确定二次函数解析式，并解决简单的实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，x 是自变量，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项 判断二次函数的三要素：自变量的最高次数是2、二次项系数 a≠0、解析式为整式 二次函数中自变量的取值范围是全体实数，实际问题中还需结合实际背景限制 概念辨析例题：下列函数中，y 关于 x 的二次函数的是（　　）A．y=2x+1　B．y=　C．y=x2-3　D．y=ax2+bx+c 答案：C 解析：A是一次函数；B是分式形式，不是整式，故不是二次函数；C符合 y=ax2+bx+c 形式且 a=1≠0，是二次函数；D中未说明 a≠0，不能确定是二次函数。故选 C。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条抛物线，y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=-，顶点坐标是 (-, ) a>0 时开口向上，有最小值；a<0 时开口向下，有最大值；a 的绝对值越大，开口越小 开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧 y 随 x 增大而增大；开口向下时增减性相反 |a| 相同、顶点相同的抛物线可以互相平移得到，形状相同 概念辨析例题：抛物线 y=2x2-4x+1 的对称轴是（　　）A．直线 x=1　B．直线 x=-1　C．直线 x=2　D．直线 x= 答案：A 解析：a=2，b=-4，对称轴 x=-=-=1，即直线 x=1。故选 A。 ☆ 3.二次函数的解析式 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），适用于已知图象上三个点的坐标 顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），顶点为 (h,k)，适用于已知顶点或对称轴 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），适用于已知与 x 轴的两个交点 (x1,0)、(x2,0) 求解析式的基本方法是待定系数法：设出适当形式，代入已知条件列方程（组）求解 概念辨析例题：已知二次函数的图象经过点 (-1,0)、(1,-2)、(0,-)，求该二次函数的解析式。 答案：y=x2-x- 解析：设 y=ax2+bx+c，代入三点得 a-b+c=0，a+b+c=-2，c=-，解得 a=，b=-1，c=-。故解析式为 y=x2-x-。 ☆ 4.二次函数的实际应用 抛物线型实际问题：喷泉、铅球、拱桥、隧道等，先建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数解析式 利润最大问题：总利润=(售价-进价)×销量，写成关于售价（或涨价）的二次函数，求顶点 已知 y 求 x：转化为解一元二次方程，根据实际意义取舍不符合条件的解 应用问题要注意自变量取值范围，顶点不一定在取值范围内，需比较边界值 概念辨析例题：某商品进价每件30元，售价每件50元时每月可售100件，若每涨价1元，月销量减少2件，问售价定为多少元时，月利润最大？ 答案：售价定为65元时，月利润最大为2450元 解析：设涨价 x 元，利润 y=(50+x-30)(100-2x)=-2x2+60x+2000=-2(x-15)2+2450。当 x=15 时 y 最大为2450，此时售价 50+15=65 元。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0，次数最高为2，整式 对称轴 x=- 与 a、b 有关，与 c 无关 顶点坐标 (-, ) 也可用顶点式直接读出 开口方向 a>0 向上，a<0 向下 |a| 越大开口越小 与x轴交点 方程 ax2+bx+c=0 的根 由 Δ=b2-4ac 判断个数 平移规律 上加下减、左加右减 a 不变，顶点随之移动 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，且最高次项指数为2 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，含根号、含的分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式，且 x2 的系数满足条件 1．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 6．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24七年级上·浙江丽水·阶段检测）抛物线的二次项系数是_________；一次项系数是_________． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）若是关于x的二次函数，则______． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由 a 决定：a>0 开口向上，a<0 开口向下 · 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) · 增减性：开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大而增大；开口向下相反 · 判断图象结论类问题，可结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入综合判断 9．（26-27九年级上·北京·课后作业）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级·浙江·暑假作业）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 12．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 13．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 15．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（     ） A．上述抛物线可由抛物线平移得到 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 16．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 17．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 18．（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 · 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c)，与 x 轴两交点间距离可利用根与系数的关系计算 · 由图象解不等式 ax2+bx+c>0（或<0），转化为看抛物线在 x 轴上方（或下方）的部分 19．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 20．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 21．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）设抛物线与轴的交点为、，那么线段的长是__________． 22．（23-24九年级上·浙江·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量），抛物线形状（a）不变 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中，h 决定左右平移方向，k 决定上下平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号；关于坐标轴对称，按对称性逐一确定顶点 · 平移、旋转后抛物线的解析式先确定新顶点坐标，再利用顶点式写出新解析式 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 24．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 26．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 27．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 28．（24-25九年级上·上海青浦·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 29．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的表达式是______． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k，再代一个点求 a · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，再代第三个点求 a · 选择解析式形式时，以条件中信息最直接的形式入手，减少计算量 30．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知一个二次函数可以由平移得到，且顶点坐标为，那么这个二次函数的表达式是___________． 31．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 32．（专题10特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-2024年中考数学高频易错重难点通关讲解练（上海专用））在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 33．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知：如图，二次函数的图像交轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数的图像交x轴于点B，交y轴于点C，． (1)求二次函数顶点P坐标； (2)将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值． 34．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 35．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 36．（2024·云南文山·二模）已知抛物线 （a，c为常数，）经过点，顶点为D． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)将点向左平移4个单位得到点 H，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题（喷泉、铅球、隧道、拱桥）：先建坐标系，把实际问题转化为二次函数解析式 · 最大高度、最大利润问题：转化为求二次函数顶点坐标，注意自变量的实际取值范围 · 已知函数值求自变量，转化为解一元二次方程，并根据实际意义取舍 · 解决实际问题时注意单位统一，结果需符合实际背景的合理性 37．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 38．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 39．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 40．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    41．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义：按定义给出的运算规则、特征数、开口大小等转化为已知模型 · 规律探究题（正方形边长、交点规律）先求前几个值，归纳通项，再用通项求第n个 · 新定义中的特殊点（倍值点等）按要求列方程求解，注意讨论存在性 · 探究题一般用特殊到一般的方法：先代入前几项，找出递推关系再推广 42．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 43．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 44．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）在画二次函数的图象时，列表如下： (1)直接写出b、c、m、n的值：_______；_______；_______；_______； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势，说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记二次函数的一般式、顶点式、交点式三种形式及各自适用条件，遇到求解析式先选对形式 · 画图象草图时先确定开口方向、对称轴、顶点，再补与坐标轴交点，做到看图说话 · 把图象与方程、不等式联系起来：交点横坐标就是方程根，图象上下位置对应不等式解集 · 平移、旋转问题抓住顶点坐标的变化，用顶点式写出变换后的解析式最方便 · 做综合题时把条件逐条翻译成坐标或方程，数形结合，分步拿分不跳步 【作业1】．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【作业2】．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【作业3】．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级下·福建莆田·期末）抛物线的顶点坐标为_____． 【作业5】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 【作业6】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线经过点，那么的值为______． 【作业7】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 【作业8】．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【作业9】．（2024年广东省广州市天河区新昌学校中考一模数学试题）二次函数的图象开口向_____． 【作业10】．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______． 【作业11】．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【作业12】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 【作业13】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【作业14】．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章·二次函数·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的定义，能准确判断一个函数是否为二次函数并求参数值 · 理解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等基本性质，能由解析式直接说出图象特征 · 掌握二次函数图象与 x 轴、y 轴交点坐标的求法，理解图象与一元二次方程根的关系 · 掌握二次函数图象的平移、旋转规律，能由变换后的顶点写出新解析式 · 能运用待定系数法由三点、顶点或交点确定二次函数解析式，并解决简单的实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，x 是自变量，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项 判断二次函数的三要素：自变量的最高次数是2、二次项系数 a≠0、解析式为整式 二次函数中自变量的取值范围是全体实数，实际问题中还需结合实际背景限制 概念辨析例题：下列函数中，y 关于 x 的二次函数的是（　　）A．y=2x+1　B．y=　C．y=x2-3　D．y=ax2+bx+c 答案：C 解析：A是一次函数；B是分式形式，不是整式，故不是二次函数；C符合 y=ax2+bx+c 形式且 a=1≠0，是二次函数；D中未说明 a≠0，不能确定是二次函数。故选 C。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 二次函数的图象是一条抛物线，y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=-，顶点坐标是 (-, ) a>0 时开口向上，有最小值；a<0 时开口向下，有最大值；a 的绝对值越大，开口越小 开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧 y 随 x 增大而增大；开口向下时增减性相反 |a| 相同、顶点相同的抛物线可以互相平移得到，形状相同 概念辨析例题：抛物线 y=2x2-4x+1 的对称轴是（　　）A．直线 x=1　B．直线 x=-1　C．直线 x=2　D．直线 x= 答案：A 解析：a=2，b=-4，对称轴 x=-=-=1，即直线 x=1。故选 A。 ☆ 3.二次函数的解析式 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），适用于已知图象上三个点的坐标 顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），顶点为 (h,k)，适用于已知顶点或对称轴 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），适用于已知与 x 轴的两个交点 (x1,0)、(x2,0) 求解析式的基本方法是待定系数法：设出适当形式，代入已知条件列方程（组）求解 概念辨析例题：已知二次函数的图象经过点 (-1,0)、(1,-2)、(0,-)，求该二次函数的解析式。 答案：y=x2-x- 解析：设 y=ax2+bx+c，代入三点得 a-b+c=0，a+b+c=-2，c=-，解得 a=，b=-1，c=-。故解析式为 y=x2-x-。 ☆ 4.二次函数的实际应用 抛物线型实际问题：喷泉、铅球、拱桥、隧道等，先建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数解析式 利润最大问题：总利润=(售价-进价)×销量，写成关于售价（或涨价）的二次函数，求顶点 已知 y 求 x：转化为解一元二次方程，根据实际意义取舍不符合条件的解 应用问题要注意自变量取值范围，顶点不一定在取值范围内，需比较边界值 概念辨析例题：某商品进价每件30元，售价每件50元时每月可售100件，若每涨价1元，月销量减少2件，问售价定为多少元时，月利润最大？ 答案：售价定为65元时，月利润最大为2450元 解析：设涨价 x 元，利润 y=(50+x-30)(100-2x)=-2x2+60x+2000=-2(x-15)2+2450。当 x=15 时 y 最大为2450，此时售价 50+15=65 元。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0，次数最高为2，整式 对称轴 x=- 与 a、b 有关，与 c 无关 顶点坐标 (-, ) 也可用顶点式直接读出 开口方向 a>0 向上，a<0 向下 |a| 越大开口越小 与x轴交点 方程 ax2+bx+c=0 的根 由 Δ=b2-4ac 判断个数 平移规律 上加下减、左加右减 a 不变，顶点随之移动 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与判定 · 判断一个函数是否为二次函数，关键是看能否化为 y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，且最高次项指数为2 · 二次项系数 a 必不为0，若含参数则先令二次项系数不为0再求取值范围 · 注意区分二次函数与一次函数、反比例函数，含根号、含的分式形式一般不是二次函数 · 由二次函数定义求参数时，还需保证函数是整式，且 x2 的系数满足条件 1．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 5．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 7．（23-24七年级上·浙江丽水·阶段检测）抛物线的二次项系数是_________；一次项系数是_________． 【答案】 1 4 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】形如：（，，是常数且）的函数是二次函数，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．其中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：二次函数的二次项系数是1，一次项系数是4， 故答案为：1；4． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）若是关于x的二次函数，则______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点2】二次函数的图象与性质 · 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向由 a 决定：a>0 开口向上，a<0 开口向下 · 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) · 增减性：开口向上时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大而增大；开口向下相反 · 判断图象结论类问题，可结合对称轴、顶点、与坐标轴交点及特殊点代入综合判断 9．（26-27九年级上·北京·课后作业）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 10．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 11．（26-27九年级·浙江·暑假作业）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点；当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，由此即可作出判断． 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 12．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，图象法解不等式，正确求出抛物线与x轴的一个交点坐标为是解题的关键．根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再利用图象法求解即可． 【详解】解：由题意得抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 故选：C． 13．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 14．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 15．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（     ） A．上述抛物线可由抛物线平移得到 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、二次函数图象的平移、根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】由二次函数的图像开口向下，且图像经过原点，可得二次函数的解析式为，再根据二次函数的图象与性质，即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，且图像经过原点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， A、∵抛物线可由抛物线平移得到，故选项正确，不符合题意； B、令，， ∴，， ∴抛物线与轴的交点为，， ∵抛物线开口向下， ∴当时，，故选项正确，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项正确，不符合题意； D、∵抛物线与轴的交点为，，开口向下， ∴当时，或，故选项错误，符合题意． 16．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 17．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是__________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性，得到m与n的大小关系即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴． 故答案为． 18．（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【考点3】二次函数与方程、交点 · 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 · 二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 · 与 y 轴交点坐标为 (0,c)，与 x 轴两交点间距离可利用根与系数的关系计算 · 由图象解不等式 ax2+bx+c>0（或<0），转化为看抛物线在 x 轴上方（或下方）的部分 19．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求抛物线与x轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 20．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 21．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）设抛物线与轴的交点为、，那么线段的长是__________． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【详解】解：当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 22．（23-24九年级上·浙江·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【考点4】二次函数图象的平移与变换 · 平移规律：上加下减（常数项）、左加右减（自变量），抛物线形状（a）不变 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 中，h 决定左右平移方向，k 决定上下平移方向 · 绕原点旋转180°，a 变号、顶点坐标变号；关于坐标轴对称，按对称性逐一确定顶点 · 平移、旋转后抛物线的解析式先确定新顶点坐标，再利用顶点式写出新解析式 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 24．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、坐标与图形变化——轴对称、待定系数法求二次函数解析式 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 26．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上，顶点坐标为， ∵绕它的原点旋转得抛物线， ∴开口向下，顶点坐标为， ∴. 故答案为：． 27．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解： ， 原二次函数的顶点坐标为， 将图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 新二次函数的解析式为， 平移后二次函数的顶点坐标为． 28．（24-25九年级上·上海青浦·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，按照“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 29．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的表达式是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】抛物线平移只改变顶点位置、二次项系数不变，依据“左加右减，上加下减”的平移规律，向左平移个单位在上，向上平移个单位在式子末尾即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度为， 再向上平移3个单位长度为． 【考点5】二次函数解析式的确定 · 已知三点坐标，设一般式 y=ax2+bx+c，代入三点用待定系数法求解 · 已知顶点坐标或对称轴，设顶点式 y=a(x-h)2+k，再代一个点求 a · 已知与 x 轴两个交点，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，再代第三个点求 a · 选择解析式形式时，以条件中信息最直接的形式入手，减少计算量 30．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知一个二次函数可以由平移得到，且顶点坐标为，那么这个二次函数的表达式是___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】平移不改变二次函数的二次项系数，已知顶点坐标，可利用顶点式直接写出函数表达式． 【详解】解：∵二次函数由平移得到， ∴平移后二次项系数不变，得． ∵已知二次函数顶点坐标为， ∴将，顶点横纵坐标代入二次函数顶点式，其中，，得该二次函数表达式为． 31．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 32．（专题10特殊三角形的存在性（含2024年崇明、闵行一模）-2024年中考数学高频易错重难点通关讲解练（上海专用））在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①1；② 【知识点】求一次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为； （2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或（与重合，舍去），即可求出． 【详解】（1）解：、代入得：， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：①过作于，交轴于，如图：    当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，如图：    设直线解析式为，将、代入得： ，解得， 直线为， 设，则， ， 当，时，， 将代入得： ， 解得或（与重合，舍去）， ，，， 当，时，， ，由可知， 此时、、重合，舍去， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标． 33．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知：如图，二次函数的图像交轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数的图像交x轴于点B，交y轴于点C，． (1)求二次函数顶点P坐标； (2)将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质等知识点． （1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）由平移知点P坐标为，设抛物线对称轴与x轴交于点H，与交于点M，知，先得出S，，根据列出方程求解可得. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴， 则抛物线的顶点P的坐标为； （2）解：如图， 由平移知，点的坐标为， 设抛物线对称轴与轴交于点，与交于点，则， ∵， ， ∵， ∴， 解得，或． 34．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 35．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 36．（2024·云南文山·二模）已知抛物线 （a，c为常数，）经过点，顶点为D． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)将点向左平移4个单位得到点 H，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质，利用数形结合、分类讨论的思想分析问题是解题关键． （1）将、 代入，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，函数经过点H时，，解得，可知当时，抛物线与线段恰好有一个公共点；当时，若，可有，再由，解得，此时抛物线与线段恰好有一个公共点． 【详解】（1）解：当时，有， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴该抛物线的顶点D坐标为； （2）∵点向左平移4个单位长度， ∴点， 如图，当时， 函数经过点H时，， 解得 ， ∴当 时，抛物线与线段恰好有一个公共点； 如图，当时， 若，则 ， ， 令 ， 解得，此时抛物线与线段 恰好有一个公共点． 综上所述，当 或时，抛物线与线段 恰好有一个公共点． 【考点6】二次函数的实际应用 · 抛物线型实际问题（喷泉、铅球、隧道、拱桥）：先建坐标系，把实际问题转化为二次函数解析式 · 最大高度、最大利润问题：转化为求二次函数顶点坐标，注意自变量的实际取值范围 · 已知函数值求自变量，转化为解一元二次方程，并根据实际意义取舍 · 解决实际问题时注意单位统一，结果需符合实际背景的合理性 37．（2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义、二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数、识别一次函数 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 38．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 39．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 【答案】50 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出时的自变量的值即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，解得（负值舍去）； 故该车车速不超过50千米/小时． 故答案为：50 40．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 41．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动 ，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 【考点7】新定义与规律探究 · 新定义题先理解定义：按定义给出的运算规则、特征数、开口大小等转化为已知模型 · 规律探究题（正方形边长、交点规律）先求前几个值，归纳通项，再用通项求第n个 · 新定义中的特殊点（倍值点等）按要求列方程求解，注意讨论存在性 · 探究题一般用特殊到一般的方法：先代入前几项，找出递推关系再推广 42．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 43．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正比例函数的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解 【分析】首先求出抛物线与轴的交点的坐标，设点，然后由旋转的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到直线， 设抛物线与轴的交点为， 时，， ， 设点，由题意得，， ， （负值舍去）， ∴点的坐标为． 44．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）在画二次函数的图象时，列表如下： (1)直接写出b、c、m、n的值：_______；_______；_______；_______； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势，说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)2，，， (2)解：描点，连线，画出函数图象如下： 由图象可知：在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升，当时，有最小值为． 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可； （2）描点，连线画出函数图象，根据图象描述增减性即可． 【详解】（1）解：由表格可知，函数图象与轴的两个交点坐标为和， ∴二次函数的解析式为， ∴， 当时，； 当时，； （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记二次函数的一般式、顶点式、交点式三种形式及各自适用条件，遇到求解析式先选对形式 · 画图象草图时先确定开口方向、对称轴、顶点，再补与坐标轴交点，做到看图说话 · 把图象与方程、不等式联系起来：交点横坐标就是方程根，图象上下位置对应不等式解集 · 平移、旋转问题抓住顶点坐标的变化，用顶点式写出变换后的解析式最方便 · 做综合题时把条件逐条翻译成坐标或方程，数形结合，分步拿分不跳步 【作业1】．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 【作业2】．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】图象法解一元二次不等式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【作业3】．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【作业4】．（25-26八年级下·福建莆田·期末）抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 【作业5】．（26-27九年级上·上海·阶段检测）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 【答案】直线 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先使用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出对称轴即可． 【详解】解：将，；，；，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线． 【作业6】．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果抛物线经过点，那么的值为______． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式． 将点代入抛物线解析式，建立关于的方程并求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为：． 【作业7】．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着轴的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为： 【作业8】．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【作业9】．（2024年广东省广州市天河区新昌学校中考一模数学试题）二次函数的图象开口向_____． 【答案】下 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 【作业10】．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______． 【答案】或 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 【作业11】．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 【作业12】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，根据绕原点旋转的性质，得到旋转后新抛物线的顶点坐标和二次项系数，进而写出新抛物线的表达式． 【详解】解：∵原抛物线表达式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点对称，开口方向相反， ∴关于原点的对称点为，二次项系数变为， ∴旋转后得到的抛物线表达式为． 【作业13】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、利用不等式求自变量或函数值的范围、根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质和对应的方程，以及不等式的求解， （1）根据二次函数与x的交点即可求得方程的解： （2）结合二次函数的开口和x轴的交点即可求得不等式的解集； （3）结合二次函数的顶点和开口方向即可判定方程有实数根对应的取值范围； （4）结合二次函数的图象和与x轴的交点即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴的根为，； （2）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，且二次函数的图象的顶点 C 的坐标为， ∴方程有实数根， 则； （4）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴当 时，则 【作业14】．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $