新中考• 核心专题7 图形变换的应用-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题7　图形变换的应用 视角一　从旋转视角看多边形 类型1　把正三角形旋转起来试试 例1 如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF. (1)证明：△DEF是等边三角形． (2)连结AE，BF，CD，两两相交于点P，Q，R，则△PQR为何种三角形？试说明理由． 思考：(1)把正三角形绕中心旋转多少度能与自身重合？用这样的视角观察，能直观发现△ADF，△BED，△CFE有怎样的位置关系？ (2)以同样的旋转视角，发现哪几个三角形通过旋转也能重合？这样找全等是否更直观？ 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC. ∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD. 在△ADF和△BED中， ∴△ADF≌△BED(SAS)，∴DF＝DE. 同理可得DE＝EF，∴DE＝DF＝EF. ∴△DEF是等边三角形． (2)△PQR是等边三角形． 理由：由(1)知BD＝AF， 在△ABF与△CBD中， ∴△ABF≌△BCD，∴∠ABF＝∠BCD. ∵∠ABF＋∠CBF＝60°，∴∠CBF＋∠BCD＝60°， ∴∠RPQ＝∠FBC＋∠BCD＝60°. 同理可得∠PQR＝∠PRQ＝60°， ∴△PQR是等边三角形． 类型2　把正方形旋转起来试试 例2 (1)证明推断：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.求证：GF＝AE. (2)类比探究：如图2，在矩形ABCD中，＝.将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连结AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：在(2)的条件下，连结CP，若＝，GF＝2，求CP的长． 思考：(1)把正方形绕对角线交点旋转多少度能与自身重合？我们可以称之为旋转对称性．此时△ADQ和△BAE有怎样的关系？GF可以看成DQ经过哪种图形变换得到的？ (2)由折叠可得对应点所连线段AE与折痕FG有怎样的位置关系？正方形中“十字架”的线段相等关系源于正方形的哪种对称性？移到矩形中，会发生怎样的变化？ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，∴∠QAO＋∠OAD＝90°. ∵AE⊥DQ，∴∠ADO＋∠OAD＝90°，∴∠QAO＝∠ADO，∴△ABE≌△DAQ(ASA)，∴AE＝DQ. ∵DQ⊥AE，GF⊥AE，∴DQ∥GF. 又∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴GF＝DQ.∵AE＝DQ，∴GF＝AE. (2)结论：＝. 理由：如图1，过点G作GM⊥AB于点M. 由题易知AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE＋∠AFO＝90°，∠AFO＋∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM. 又∵∠B＝∠FMG＝90°，∴△ABE∽△GMF，∴＝. ∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD， ∴＝＝＝. (3)如图2，过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N. 由＝，假设BE＝3k(k>0)，则BF＝4k，EF＝AF＝5k. ∵＝，GF＝2， ∴AE＝3，∴(3k)2＋(9k)2＝(3)2， ∴k＝1或－1(舍)， ∴BE＝3，AB＝9.∵BC∶AB＝2∶3，∴BC＝6， ∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6. ∵∠EBF＝∠FEP＝∠PNE＝90°， ∴∠FEB＋∠PEN＝90°，∠PEN＋∠EPN＝90°， ∴∠FEB＝∠EPN，∴△FBE∽△ENP， ∴＝＝，∴＝＝， ∴EN＝，PN＝，∴CN＝EN－EC＝－3＝， ∴PC＝＝. 变式 已知点E，F分别为正方形ABCD的边CD，AD上一点，满足AF＝CE，连结BF和BE. (1)求证：△AFB≌△CEB. (2)过点E作EM⊥BF交AB于点M，垂足为点N. ①判断△MBE的形状，并说明理由． ②当M在AB边上时，设∠ABF＝α，△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，求证：＝(2sin α)2. 思考：(1)由正方形关于对角线轴对称，可得正方形的边、角、对角线的哪些性质？ (2)由正方形绕中心旋转90°与自身重合，EM⊥BF，可得EM与BF有怎样的数量关系？ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠A＝∠C＝90°. 在△AFB和△CEB中，∴△AFB≌△CEB(SAS). (2)①△MBE是等腰三角形．理由如下：∵△AFB≌△CEB，∴∠AFB＝∠CEB. ∵EM⊥BF，∴∠BNM＝∠A＝90°，∴∠BMN＝∠AFB，∴∠BMN＝∠CEB. ∵AB∥CD，∴∠EBM＝∠CEB，∴∠BMN＝∠EBM，∴EB＝EM，∴△MBE是等腰三角形． ②证明：∵△AFB≌△CEB，∴∠ABF＝∠CBE＝α. ∵∠BNM＝∠A＝90°，∠MBN＝∠FBA，∴△BMN∽△BFA. ∵△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，∴＝()2. 如图，过点E作EG⊥AB于点G， ∵EB＝EM，∴∠BEG＝∠MEG，BG＝MG＝BM， ∵∠EGB＝∠CBG＝∠C＝90°，∴四边形EGBC是矩形， ∴EG∥BC，∴∠BEG＝∠CBE＝α，∴sin ∠BEG＝sin α＝＝， ∴＝2sin α，∴＝(2sin α)2. 视角二　从轴对称视角看特殊多边形 类型1　把菱形沿对角线翻折一下 例3 如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论： ①四边形ABCD的面积等于EF·DB； ②四边形BFDE也是菱形； ③∠ABE＝∠CBF； ④∠ADE＝∠EDO； ⑤S△ADE＝S△BOF. 其中正确的结论有(　C　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 思考：菱形相对于一般平行四边形，具备怎样的对称性？能从图形整体的对称性来看菱形的边、角、对角线、周长、面积等特殊性质吗？这样应用性质或判定菱形是否更直观？ 【解析】 ①∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD的面积为AC·BD. ∵E，F分别是OA，OC的中点，∴EF＝AC，∴四边形ABCD的面积等于EF·DB，故①正确． ②∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD. ∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝AO，OF＝OC，∴OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形BFDE是菱形，故②正确． ③∵四边形ABCD是菱形，四边形BFDE也是菱形，∴∠ABO＝∠CBO，∠EBO＝∠FBO， ∴∠ABE＝∠CBF，故③正确． ④无法证明∠ADE＝∠EDO，故④错误． ⑤∵四边形ABCD是菱形，四边形BFDE也是菱形，∴OE＝OF，OB＝OD. ∵E为AO的中点，∴AE＝OE，∴AE＝OF.∴S△ADE＝S△BOF，故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤，共4个． 类型2　把正方形沿对角线翻折一下 例4 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F. (1)求证：AG＝FG. (2)若AB＝10，BF＝4，求BG的长． (3)连结AF，EF，若AF＝AE，则＝____． 思考：(1)由正方形关于BD轴对称，你会作怎样的辅助线转化线段GA? (2)由正方形的轴对称性，可得正方形的边、角、对角线的哪些性质？由此还能想到哪些方法？ 解：(1)证明：如图1，连结GC， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°. 又∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG(SAS)， ∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG. ∵∠ABC＋∠BAG＋∠AGF＋∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°， ∴∠BAG＋∠BFG＝180°，∴∠BCG＋∠BFG＝180°. ∵∠BFG＋∠GFC＝180°，∴∠BCG＝∠GFC，∴GC＝GF，∴AG＝FG. (2)过点G作GH⊥BC于H，如图2， ∵AB＝10，BF＝4，∴FC＝6，∴FH＝HC＝3，∴BH＝7. ∵∠DBC＝45°，∴GH＝BH＝7，∴BG＝7. (3)如图3，在AB上截取BN＝BF，连结NF， ∵AG＝GF，AG⊥GF，∴∠EAF＝45°. ∵AE＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADE(HL)， ∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，∴CF＝CE.∵BF＝BN，∠ABC＝90°， ∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°， ∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，∴AN＝NF＝BF. ∵AB＝BC，∴BN＋AN＝BF＋FC，∴FC＝BF，∴＝. 故答案为. 变式 如图，正方形ABCD的边长为a，P是对角线AC上的点，连结PB，过点P作PQ⊥BP交线段CD于点Q.当DQ＝2CQ时，BP的长为(　C　) A．a B．a C．a D．a 【解析】 如图，过点P作PE⊥AB于点E，交CD于点F， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠PAE＝∠PCF＝45°，AB∥CF，∴PF⊥CF， ∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝CF，而CF＝BE，∴PF＝BE. ∵PB⊥PQ，∴∠1＋∠BPE＝90°，而∠2＋∠BPE＝90°，∴∠1＝∠2. 在△BEP和△PQF中，∴△BEP≌△PFQ(ASA)，∴EP＝FQ. ∵正方形ABCD的边长为a，DQ＝2CQ，∴CQ＝a， 设EP＝FQ＝x，则AE＝x，CF＝x＋a，∴AB＝x＋a＋x＝a， ∴x＝a，∴BP＝＝a. 视角三　从轴对称视角看图形之间的关系 类型1　三角形背景下的折叠 例5 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在边AC上，AD＝BD，将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，连结AC′.若AP＝4，AC＝9，则AC′的长为__3__． 思考：(1)折叠前后的两个图形有什么关系？由此可得哪些边、角条件？ (2)由条件∠BAC＝60°，AD＝BD可得△ABD是哪种特殊三角形？可得哪些边角条件？ 【解析】 过点A作AM⊥DC′于点M， ∵将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P， ∴∠PBD＝∠DBC，∠BDC＝∠BDC′. ∵∠BAC＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°. ∵∠ADB＝∠DBC＋∠C，∴∠ABP＋∠PBD＝∠C＋∠DBC，∴∠C＝∠ABP. ∵∠PAB＝∠BAC，∴△APB∽△ABC，∴＝， ∴AB2＝AP·AC＝4×9＝36，∴AB＝AD＝6，PD＝2，CD＝C′D＝AC－AD＝3. ∵∠BDC＝∠BDC′，∠ADB＝60°，∠BDC＋∠ADB＝180°，∴∠BDC′＝120°， ∴∠ADC′＝60°.∵AM⊥DC′，∴cos ∠ADC′＝cos 60°＝＝，∴DM＝3. ∵C′D＝3，∴点C′与点M重合，∴AC′＝＝3. 变式 如图，点D是等边三角形ABC的边BC上一点，将等边三角形ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF(点E在边AB上). (1)当FD⊥BC时，AE∶EB＝__∶1__． (2)当BD＝2DC时，AE∶EB＝__7∶5__． 【解析】 (1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠C＝∠B＝60°. ∵FD⊥BC，∴∠FDC＝90°.由题意得∠EDF＝∠A＝60°，AE＝ED，AF＝FD， ∴∠BDE＝180°－∠EDF－∠FDC＝30°，∴∠BED＝180°－∠B－∠BDE＝90°， ∴＝tan B＝tan 60°＝，∴AE∶BE＝∶1. (2)∵∠BDE＋∠EDF＝∠DFC＋∠C，∴∠BDE＝∠DFC，∵∠B＝∠C＝60°， ∴△BED∽△CDF，∴＝. 令DC＝x，∵BD＝2DC，∴BD＝2x，∴AB＝AC＝BC＝BD＋CD＝3x. ∵△BED的周长为BD＋BE＋ED＝BD＋BE＋AE＝BD＋AB＝2x＋3x＝5x，△CDF的周长为CD＋CF＋DF＝CD＋AC＝4x，∴＝＝，∴BE＝x，∴AE＝AB－BE＝x，∴AE∶BE＝7∶5. 类型2　四边形背景下的折叠 例6 如图，矩形ABCD中，BC＝9，点E为BC上一点，将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，连结CF.若∠FEC＝2∠FCE，且CF＝6，则BE的长为__4__，AB的长为____． 思考：(1)折叠前后的△ABE和△AFE有什么关系？由此可得哪些边、角条件？ (2)如果连结折叠前后的对应点B，F，则BF与折痕AE有怎样的位置关系？ 【解析】 连结BF，过点F作FG⊥BC于点G， ∵将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB， ∴∠FEC＝2∠FBC. ∵∠FEC＝2∠FCE，∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF＝6.∵FG⊥BC，∴BG＝. 在Rt△BGF中，由勾股定理得，FG＝＝. 设BE＝EF＝x，则EG＝－x，在Rt△EFG中，由勾股定理得，x2＝(－x)2＋()2， 解得x＝4，∴BE＝4.易知BF⊥AE，∴∠EBF＋∠ABF＝∠ABF＋∠BAE＝90°，∴∠EBF＝∠BAE， ∴tan ∠BAE＝tan ∠GBF，∴＝，解得AB＝. 变式 如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处． (1)如图1，若AB＝8，AD＝6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长． (2)如图2，连结BF，若△BEF为等边三角形，求的值． (3)如图3，已知E为AB的中点，tan ∠ADE＝，连结BF，FC，若△ADE的面积为S，求△BFC的面积．(结果用关于S的代数式表示) 解：(1)在题干图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°， ∴BD＝＝＝10. 由翻折的性质可知，DA＝DF＝6， ∴BF＝BD－DF＝10－6＝4. (2)在题干图2中，∵△EBF是等边三角形，∴EB＝EF，∠BEF＝60°. 由翻折的性质可知，EA＝EF，∠AED＝∠FED，∴∠AED＝∠FED＝60°. 设AE＝EF＝BE＝m，则AD＝AE＝m，AB＝2m，∴＝＝. (3)方法一：过点F作FT⊥AB于点T，连结AF，如图．设BT＝a.由翻折的性质可知，DE⊥AF，AE＝EF. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠EAD＝90°， ∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE.同法可证∠BAF＝∠BFT， ∴tan ∠BFT＝tan ∠BAF＝tan ∠ADE＝，∴FT＝3a，AT＝9a，∴AB＝10a， ∴AE＝BE＝5a，AD＝3AE＝15a. ∵S△ADE＝×15a×5a＝S，∴a2＝S，∴S△BCF＝×15a×a＝a2＝S. 方法二：连结AF，交DE于点G，则AF⊥ED， 设∠ADE＝α，则∠EAG＝∠ADE＝α， ∵tan ∠ADE＝＝tan α，∴＝. 设AE＝a，则AD＝3a，∴sin α＝，cos α＝，则GE＝a sin α，GD＝3a cos α， ∴＝＝，∴S△AGD＝S△AED＝S，∴S△AFD＝2S△AGD＝S. ∵E是AB的中点，∴S矩形ABCD＝4S△AED＝4S，则S△AFD＋S△BFC＝S矩形ABCD＝2S， ∴S△BFC＝2S－S＝S. 类型3　圆背景下的折叠 例7 如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，沿弦BC折叠交直径AB于点D. (1)当AD＝BD＝5时，则BC的长为__5__． (2)当AD＝4，BD＝6时，则BC的长为__4__． 思考：(1)折叠前后的两个图形有什么关系？由此可得所在的圆有什么关系？ (2)在等圆中，所对的圆周角都是∠CBD，则两弧有什么关系？ 【解析】 (1)连结CA，CD，如图1所示， 根据折叠的性质，所对的圆周角是∠CBD， ∵∠CBA＝∠CBD，∴，∴AC＝CD. ∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AD＝BD＝5，∴AB＝AD＋BD＝10，CD＝AB＝BD＝5，∴AC＝CD＝5， ∴BC＝＝＝5. (2)连结CA，CD，如图2所示． 根据折叠的性质，所对的圆周角是∠CBD， ∵∠CBA＝∠CBD， ∴，∴AC＝CD.过点C作CE⊥AB于点E， 则AE＝ED＝AD＝×4＝2， ∴BE＝BD＋DE＝6＋2＝8. ∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°. ∵CE⊥AB，∴∠ACB＝∠AEC＝90°，∴∠A＋∠ACE＝∠ACE＋∠BCE＝90°，∴∠A＝∠BCE， ∴△ACE∽△CBE，∴＝，即CE2＝AE·BE＝2×8＝16， 在Rt△BCE中，BC＝＝＝4. 变式 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为(　B　) A． B．－3 C． D． 【解析】 如图，过点O作OE⊥DC，交DC的延长线于点E，连结OD， 根据折叠的性质，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC， ∴OB＝BD＝OD，∴△OBD为等边三角形， ∴∠DBO＝60°，∴∠CBO＝∠DBO＝30°. ∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB·tan ∠CBO＝3×＝， ∴S△BOC＝OB·OC＝. ∵△BOC与△BDC的面积相等，∴S阴影＝S扇形AOB－S△BOC－S△BDC＝π×32－－＝－3. 学科网（北京）股份有限公司 $$