新中考• 核心专题5 图形特征与关系-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题5　图形特征与关系 视角一　等腰三角形 类型1　几何背景，动态变化 例1 2021·绍兴如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是(　C　) A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 思考：(1)菱形对角线具有哪些性质？ (2)含60°角的菱形具有哪些特性？ (3)在折线BC－CD 上，且与A，B构成特殊三角形的点有哪些？ 【解析】 方法一：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成， 当AP⊥BC时，△ABP为直角三角形； 当点P到达点C处时，△ABP为等边三角形； 当点P在CD上且位于CD的中点处时，则△ABP为直角三角形； 当点P与点D重合时，△ABP为等腰三角形． 方法二：①分别以A，B为圆心，AB为半径画圆，连结两圆交点即得线段AB的垂直平分线，如图1所示．当P运动到两圆与BC，CD边的交点C时，△ABP为等边三角形，当点P运动到圆A与CD边的交点D时，△ABP为等腰三角形．②以AB为直径画圆，并分别过A，B点作线段AB的垂线，如图2所示．当点P运动到圆与BC边的交点时，△ABP为直角三角形；当点P运动到过点A的垂线与DC边的交点时，△ABP为直角三角形．综上所述，根据四个特殊点的位置顺序选C. 类型2　函数背景，数形结合 例2 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋6分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为直径构造圆，点C在上运动，点D在上，CD交OA于点P，且. (1)CD的长为__8__． (2)过点C作CE∥OA交圆于另一点E，连结DE.若△CDE是以CD为腰的等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为__(，0)或(，0)__． 思考：(1)根据条件“”你能得到什么结论？点A的坐标是什么？ (2)图中有全等三角形吗？请连结CO，DA试试．圆中常用的辅助线是什么？ 【解析】 (1)对于y＝－x＋6， 令y＝0，得－x＋6＝0， 解得x＝8，∴A(8，0)， ∴OA＝8. ∵， ∴CD＝OA＝8. (2)连结CO，DA，如图1， ∵∠OAD，∠C都是所对的圆周角， ∴∠OAD＝∠C. ∵， ∴， ∴CO＝AD. 在△COP和△ADP中， ∴△COP≌△ADP(AAS). ∴OP＝PD. ①连结AE，当CE＝CD时，如图2， 则CE＝CD＝OA＝8. ∵CE∥OA， ∴四边形COAE为矩形． 又∵∠AOB＝90°， ∴点B，C重合． 设PD＝OP＝m，则BP＝CP＝8－m， 对于y＝－x＋6， 令x＝0，得y＝6， ∴B(0，6)， ∴OB＝6. 在Rt△BOP中，由勾股定理得 62＋m2＝(8－m)2， 解得m＝. ∴P(，0). ②当DC＝DE时，如图3， 设圆心为F，DF交OA于点M，延长DF交CE于点H， ∵DC＝DE， ∴， ∴DH⊥CE. ∵CE∥OA， ∴DH⊥OA， ∴OM＝AM， ∴FM是△ABO的中位线， ∴FM＝＝3. ∵AB＝＝10， ∴FD＝AB＝5， ∴MD＝FD－FM＝5－3＝2，OM＝＝4. 设OP＝PD＝n，则PM＝4－n， 在Rt△PMD中，由勾股定理得 22＋(4－n)2＝n2， 解得n＝，∴P(，0). 综上，满足条件的点P的坐标为(，0)或(，0). 视角二　直角三角形 类型1　根据直角的情况分类 例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E是AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P，直线PE交BD于点Q，当△DEQ是直角三角形时，DF的长为__1或3或3－__． 思考：(1)当△DEQ是直角三角形时，分几类情况研究？ (2)如何综合利用矩形、对称、含30°角的直角三角形的性质，完成作图与解三角形？ 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°. ∵AB＝2，∠ADB＝30°， ∴AD＝2. ∵E是边AD的中点， ∴DE＝. ①当∠DQE＝90°时点F靠近点D，如图1， ∵E是AD的中点， 且PE⊥BD，∠ADB＝30°，DE＝， ∴∠PED＝60°，QE＝. 由对称可得，EF平分∠PED， ∴∠DEF＝∠PEF＝30°，∴EF＝1. 又∵∠ADB＝30°，∴△DEF是等腰三角形， ∴DF＝EF＝1. ②当∠DQE＝90°，点F靠近点B时，如图2， ∵PQ⊥BD，∠ADB＝30°，DE＝， ∴∠PED＝120°，QD＝. 由对称可得，PF＝DF，EP＝ED. 又EF＝EF， ∴△PEF≌△DEF(SSS)， ∴∠DEF＝∠PEF＝120°， ∴∠EFD＝30°， ∴△DEF是等腰三角形． ∵PQ⊥BD， ∴DF＝2QD＝3. ∴当∠DQE＝90°时，DF的长为1或3. ③当∠DEQ＝90°时，如图3， ∵EF平分∠PED， ∴∠DEF＝45°， 过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a，则FM＝a，DM＝a， ∴a＋a＝， ∴a＝－，∴DF＝2FM＝3－. 综上所述，当△DEQ是直角三角形时，DF的长为1或3或3－. 类型2　利用“两线一圆”相关性质求解 例4 2021·湖州已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值是__2或－8__． 思考：(1)由题意可知，O，A两个点显然是定点，点M的位置具体分布在哪儿？ (2)题目所要求的 的值与抛物线的什么有关？要存在三个不同点M，则对抛物线对称轴的位置有何要求？ 【解析】 由题意，得O(0，0)，A(3，4). 由题意，△AOM为直角三角形，如图． ①当∠AOM＝90°时，OA⊥OM. ∴点M在与OA垂直的直线l1上运动(不含点O)； ②当∠OAM＝90°时，OA⊥AM， ∴点M在与OA垂直的直线l2上运动(不含点A)； ③当∠OMA＝90°时，OM⊥AM， ∴点M在以OA为直径的圆上运动(不含点A，O). 设圆心为点P， ∴P为OA的中点， ∴P. ∴半径r＝AO＝＝. ∵抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的对称轴与x轴垂直， ∴抛物线的对称轴与l1，l2，⊙P共有三个不同的交点， ∴抛物线的对称轴为⊙P的两条切线l3，l4. 又点P到切线l3，l4的距离d＝r＝， ∴直线l3的解析式为x＝－＝－1，直线l4的解析式为x＝＋＝4， ∴－ ＝－1或－＝4，∴ ＝2或＝－8. 视角三　特殊平行四边形 视角三　特殊平行四边形 例5 2023·绍兴如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点分别为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点分别为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是(　A　) A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 思考：我们已经学过的特殊四边形有哪些？它们对应的相关边、角、对角线的性质分别是什么？ 【解析】 如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°. ∵OE＝OF，OB＝OD， ∴DF＝EB. ∵点E关于AD，AB的对称点分别为E1，E2，点F关于BC，CD的对称点分别为F1，F2， ∴DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1， ∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°， ∴E1F2＝E2F1，∠E1DB＝60°. 同理∠F1BD＝60°， ∴DE1∥BF1， ∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形． 如图2所示，连结OA，当E，F，O三点重合时， DO＝OA， ∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2， 即E1E2＝E1F2， ∴四边形E1E2F1F2 是菱形． 如图3所示，当E，F分别为OB，OD的中点时，设DB＝4，则 DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3， 在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝2，连结AE，AO， ∵∠ABO＝60°，BO＝2＝AB， ∴△ABO是等边三角形． ∵E为OB的中点， ∴AE⊥OB，BE＝1， ∴AE＝＝. 根据对称性可得AE1＝AE＝. ∴AD2＝12，DE＝9，AE＝3， ∴AD2＝AE＋DE， ∴△DE1A 是直角三角形，且∠E1＝90°， ∴四边形E1E2F1F2是矩形． 当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形 E1E2F1F2 是菱形． ∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形． 视角四　全等三角形 例6 在平面直角坐标系中，已知A(6，0)，F(3，0)，C(0，2)，在△AOC的边上取两点P，Q(点Q是不同于点F的点)，若以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为__(3，)或(0，)或(3－3，3－3)或(6－3，3)__． 思考：(1)该全等三角形有何位置特征，如何根据位置关系画出示意图？ (2)按几种情况分类讨论？ 【解析】 ①如图1，过点F作FP⊥OA，交AC于点P， 过点P作PQ⊥OC，垂足为Q，连结OP， 此时△OFP≌△PQO. ∵A(6，0)，F(3，0)， ∴PF，PQ是△OAC的中位线， ∴PQ＝OA＝3，PF＝OC＝， ∴P(3，). 　　 ②如图2，由①可知，点P，Q位置互换，亦满足题意， 此时，P(0，). ③如图3，作∠AOC的平分线交AC于点P，在OC上 截取OQ＝OF＝3，连结PF，PQ， 此时△OFP≌△OQP. 过点P作PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N， 则PM＝PN， 由三角形面积公式得， OA·PM＋OC·PN＝AO·OC， 即6PM＋2PM＝6×2， ∴PM＝PN＝3－3， ∴点P(3－3，3－3). 　　 ④如图4，在AC上截取AP＝6＝OA，取AP的中点Q， 则PQ＝OF＝3. 过点P作PB⊥OA，垂足为B. 在Rt△ABP中， PB＝AP＝3，AB＝×AP＝3， ∴OB＝OA－AB＝6－3， ∴点P(6－3，3). 综上，点P的坐标为(3，)或(0，)或(3－3，3－3)或(6－3，3). 视角五　相似三角形 例7 在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上(不与点C重合)的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E，F，连结PE.当AD＝2时， (1)若△DPE与△BPE相似，求DP的长． (2)若△PEF是等腰三角形，求DE的长． 思考：(1)根据△DPE与△BPE相似，∠PDE＝∠PBE＝90°，这两个三角形的对应点情况如何？ (2)结合“点P是直线CD上的动点”和“△PEF是等腰三角形”这两个条件，该如何进行分类讨论？ 解：(1)∵△DPE与△BPE相似，∠PDE＝∠PBE＝90°， ∴△DPE∽△BPE或△DPE∽△BEP. 当△DPE∽△BPE时，如图1， ∴＝＝， ∴PD＝PB，BE＝DE. 设PD＝x，则PB＝x，PC＝4－x， 在Rt△BPC中，BC2＋PC2＝PB2， ∴22＋(4－x)2＝x2， 解得x＝， ∴PD＝. 当△DPE∽△BEP时，如图2， ∴＝＝， ∴DP＝BE，DE＝BP. ∵DP＝BE＞AB， ∴点P在DC的延长线上． 在△DEF和△BPF中， ∴△DEF≌△BPF(AAS)， ∴DF＝BF. 设DF＝BF＝m，则CF＝4－m， 在Rt△BFC中，BC2＋CF2＝FB2， ∴22＋(4－m)2＝m2， 解得m＝， ∴DF＝BF＝，CF＝. ∵∠FBC＋∠PBC＝90°，∠PBC＋∠BPC＝90°， ∴∠FBC＝∠BPC， ∵∠BCF＝∠BCP， ∴△FBC∽△BPC， ∴＝，即＝，∴CP＝， ∴DP＝DC＋CP＝4＋＝. 综上所述，PD＝或. (2)∵△PEF是等腰三角形， ∴PE＝PF或PE＝EF或PF＝EF. 当PE＝PF时，如图3， ∵BP⊥EF， ∴EB＝BF， ∴EF＝2FB. ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴＝＝， ∴DE＝2BC＝2×2＝4. 当PE＝EF，点P在CD的延长线上时，如图4， 设CF＝m，则DF＝m＋4， ∵PE＝EF，ED⊥PF， ∴DP＝DF＝m＋4， ∴CP＝DP＋DC＝m＋8. ∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°， ∴∠PBC＋∠BPC＝90°， ∠PBC＋∠FBC＝90°， ∴∠BPC＝∠FBC， ∴△PBC∽△BFC， ∴＝，即＝， ∵m＞0，∴m＝2－4， ∴CF＝2－4，DF＝2. ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴＝，即＝， ∴DE＝＝10＋4. 当PE＝EF，点P在DC的延长线上时，如图5， 设CP＝t，则DP＝t＋4， ∵PE＝EF，ED⊥PF， ∴DF＝DP＝t＋4， ∴CF＝DF＋DC＝t＋8. ∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°， ∴∠PBC＋∠BPC＝90°，∠PBC＋∠FBC＝90°， ∴∠BPC＝∠FBC， ∴△PBC∽△BFC， ∴＝，即＝， ∵t＞0， ∴t＝2－4， ∴CP＝2－4，DF＝2，CF＝2＋4. ∵BC∥AD， ∴△FBC∽△FED， ∴＝，即＝， ∴DE＝＝10－4. 当PF＝EF时，如图6， ∵PF＝EF， ∴∠BEP＝∠DPE， ∵∠EBP＝∠PDE＝90°， ∴△BEP≌△DPE(AAS)， ∴BP＝DE. 设CP＝n，则DP＝4＋n， ∴DE2＝BP2＝BC2＋CP2＝4＋n2， ∵∠FBP＝∠BCF＝∠BCP＝90°， ∴∠BFC＋∠FBC＝90°，∠FBC＋∠PBC＝90°， ∴∠BFC＝∠PBC， ∴△BFC∽△PBC， ∴＝，即＝， ∴CF＝. ∴DF＝4－，EF＝PF＝n＋. ∵DE2＋DF2＝EF2， ∴4＋n2＋(4－)2＝(n＋)2， 解得n＝， ∴DE＝＝＝. 综上所述，DE的长为4或10＋4或10－4或. 学科网（北京）股份有限公司 $$