新中考• 核心专题4 常见特殊点、线的关联-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题4　常见特殊点、线的关联 视角一　中点的联想 类型1　多个中点关联中位线 例1 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4，E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为(　A　) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 思考：(1)在不添加辅助线的情况下，由已知条件，你能求出哪些边的长度？ (2)由题中“E，F分别是BD，AC的中点”条件，你联想到三角形中什么重要线段？如何添加辅助线？ 【解析】 ∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°. ∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝5. 如图，连结BF并延长交AD于G， ∵AD∥BC，∴∠GAC＝∠BCA. ∵F是AC的中点，∴AF＝CF. ∵∠AFG＝∠CFB，∴△AFG≌△CFB(ASA)， ∴BF＝FG，AG＝BC＝3，∴DG＝5－3＝2. ∵E是BD的中点，∴EF＝DG＝1. 类型2　“中点＋直角”关联斜中线 例2 2022·杭州如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°. (1)求证：CE＝CM. (2)若AB＝4，求线段FC的长． 思考：(1)根据题中所给条件“直角＋中点”，你联想到直角三角形什么结论？因此可求出哪些角的度数？从而能否证明CE＝CM? (2)要求线段FC的长度，只需求哪条线段的长度？能否利用上题的结论求出？ 解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，点M为AB的中点， ∴MA＝MC， ∴∠MCA＝∠A＝50°，∴∠CMA＝180°－∠A－∠MCA＝80°. ∵∠CEM＝∠A＋∠ACE＝50°＋30°＝80°， ∴∠CME＝∠CEM，∴CE＝CM. (2)由题意，得CE＝CM＝AB＝2. ∵EF⊥AC，∠ACE＝30°， ∴FC＝CE·cos 30°＝. 类型3　“中点＋垂足”关联垂直平分线 例3 2023·丽水改编如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝2∠C.若AB＝4，则DC的长是__4__． 思考：(1)根据DE垂直平分AC可得哪些结论？因此要求DC的长度，只需求哪条线段的长度？ (2)由已知条件可以推出线段AB与AD有何数量关系？为什么？ 【解析】 ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DC＝AD，∠C＝∠DAC， ∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C. ∵∠B＝2∠C，∴∠ADB＝∠B，∴AD＝AB＝DC＝4. 变式 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分AC分别交BC，AC，AD于点E，O，F. (1)判断四边形AECF是何种特殊四边形并说明理由． (2)求四边形AECF的面积． 思考：(1)根据已知条件，请你先大胆猜想四边形AECF的形状．要证明四边形AECF的形状，可以运用什么判定方法？需要具备哪些条件？ (2)计算菱形的面积除了常规方法，有没有其他特殊的方法？需要求出哪些线段的长度？ 解：(1)四边形AECF是菱形． 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，∠CEO＝∠AFO. ∵EF垂直平分AC，∴AO＝OC，∴△FAO≌△ECO(AAS)，∴AF＝CE. ∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF垂直平分AC，∴四边形AECF是菱形． (2)∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝32＋42＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥AC. ∵EF垂直平分AC，∴EF∥AB. ∵AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形， ∴EF＝AB＝3，∴菱形AECF的面积是AC·EF＝6. 类型4　“中点＋平行”关联 “8字”全等 例4 2023·丽水某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片(如图)进行如下操作，并进行猜想和证明． (1)用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F. (2)用(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠)，并用三角板画出示意图． (3)请判断(2)中所拼的四边形的形状，并说明理由． 思考：(1)根据第(1)小题所画结果，可知哪些线段相等？能否通过旋转将它们重合？ (2)要证明(2)中四边形的形状，可以运用什么方法？需要具备哪些条件？ 解：(1) (2)如图所示． (3)矩形，理由如下： ∵∠MDB＋∠BDE＝180°，∠DEC＋∠NEC＝180°，∴点M，D，E，N在一条直线上． ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC. ∵MD＋EN＝DE，∴MN＝MD＋DE＋EN＝BC，MN∥BC， ∴四边形MBCN为平行四边形． 由题意可得△MDB≌△FDA，△AFE≌△CNE，∴∠N＝∠AFE. ∵AF⊥DE，∴∠N＝∠AFE＝90°，∴四边形MBCN为矩形． 类型5　多条中线关联重心 例5 2023·嘉兴如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC 交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为(　C　) A．12 B．14 C．18 D．24 思考：(1)根据已知，能否适当添加辅助线，从而得到线段之间的比例关系？ (2)若设△DFP的面积为m，则四边形CDFE的面积如何用含m的代数式表示，进而能否求出m的值及△ABC的面积？ 【解析】 如图，连结BD. ∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点， ∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，BP∶PD＝2∶1. ∵DF∥BC， ∴△DFP∽△BEP，∴＝. ∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD， ∴＝()2＝()2＝. 设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m， ∵四边形CDFE的面积为6， ∴m＋9m－4m＝6， ∴m＝1， ∴△BCD的面积为9， ∴△ABC的面积是18. 变式 如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC＝θ(0°<θ<60°)，BC＝6，点P为△ABC的重心，当点A到BC的距离最大时，线段PO的长为(　B　) A．－ B．－ C．tan θ－2sin θ D．2tan θ－sin θ 思考：(1)当点A处于什么位置时，到BC的距离最大？此时点P具体位于何处？ (2)线段PO的长度可以转化成哪两条线段之差？这两条线段分别该如何求？ 【解析】 如图所示，连结AO，过点O作OH⊥BC于点H，连结OC，BO，设点A到BC的距离为h， ∵h≤OA＋OH， ∴当点A到BC的距离最大时，A，O，H三点共线， ∴AH⊥BC，BH＝BC＝3. ∵∠BAC＝θ(0°<θ<60°)， ∴∠BOC＝2θ，∠BOH＝θ. ∵在Rt△BOH中，tan θ＝，sin θ＝， ∴OH＝，BO＝. ∵AO＝BO， ∴AO＝，AH＝AO＋OH＝＋. ∵点P为△ABC的重心， ∴点P在AH上， ∴AP＝AH＝(AO＋OH)＝×＝＋， ∴OP＝AP－AO＝＋－＝－. 视角二　角平分线的联想 类型1　等角 例6 2022·绍兴如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B，C重合)，连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α. (1)如图，当P与E重合时，求α的度数． (2)当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系． 思考：(1)由条件“△APC沿AP翻折得△APD”可知哪些相等的量？CD与AP有何位置关系？∠ADC与∠ACD如何用含α的代数式表示？ (2)当P与E不重合时，点P的位置有几种情况？如何建立α与β之间的关系？ 解：(1)∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝50°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝25°. ∵P与E重合， ∴D在AB边上，AE⊥CD， ∴∠ACD＝65°， ∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°. (2)①如图1，当点P在线段BE上时， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD， ∴90°－α＋β＝40°＋α， ∴2α－β＝50°. ②如图2，当点P在线段CE上时， 延长AD交BC于点F， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α， ∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD＋α＝40°＋α＋β， ∴90°－α＝40°＋α＋β， ∴2α＋β＝50°. 类型2　等距 例7 角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程： 【知识回顾】 (1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE＝PD. 【深入探究】 (2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，其中AB＋BC＝10，AD＝2，CD＝3，求AB的长． 【应用迁移】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE与AC边上的中线BD交于点F，P为CE的中点，连结PF，若CP＝4，S△BFP＝20，则AB的长度为__10__． 思考：(1)能否通过添加一定的辅助线，建立线段AB，BC，AD，CD之间的比例关系，从而求出AB的长度？ (2)依据题中众多条件，找到图中面积相等的三角形，再通过“设而不求”的方法，得到△ABE的面积，进而求出线段AB的长度． 解：(1)证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△POD和△POE中， ∵ ∴△POD≌△POE(AAS)， ∴PE＝PD. (2)如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC， ∴DM＝DN. ∵S△ABD＝AB·DM， S△CBD＝BC·DN， ∴＝， 同理可证＝， ∴＝. ∵AD＝2，CD＝3， ∴＝＝. 设AB＝2x，则BC＝3x， ∵AB＋BC＝10， ∴2x＋3x＝10，x＝2， ∴AB＝4. (3)过E作EG⊥AB于G，连结CF， ∵P为CE的中点， ∴S△EFP＝S△CFP. 设S△EFP＝S△CFP＝y， ∵BD是AC边上的中线， ∴设S△CDF＝S△AFD＝z， ∵S△BFP＝20， ∴S△BCD＝20＋y＋z， ∴S△ABC＝2S△BCD＝40＋2y＋2z. ∵S△ACE＝S△ACF＋S△CEF＝2y＋2z， ∴S△ABE＝S△ABC－S△ACE＝40＋2y＋2z－(2y＋2z)＝40. ∵AE是∠CAB的平分线，CP＝4， ∴EG＝CE＝2CP＝8， ∴S△ABE＝AB·EG＝40， ∴AB＝10. 故答案为10. 类型3　比例关系 例8 小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，发现＝.小明想通过证明来验证这个结论． 证明：延长BA至E，使得AC＝AE，…… 请你完成上述证明过程． 结论应用： 已知在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝α，BC边上有一动点D，连结AD，点B关于AD的对称点为点B′，连结AB′交BC于点E. (1)如图2，当α＝30°时，AB′⊥BC，求的值． (2)如图3，当α＝45°，AB′与△ABC的边垂直时，求的值． 思考：(1)由角平分线这一条件，你能想到什么性质？能否添加辅助线将线段比例关系转化成对应线段比例问题或者面积问题？ (2)AB′与△ABC的边垂直可分为几种情况讨论？能否尝试画出图形并利用题目结论求解？ 解： 证明：延长BA至E，使得AC＝AE，连结CE，如图1. ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC. 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠BAC＝∠ACE＋∠AEC，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠AEC， ∴AD∥CE， ∴＝. 又∵AC＝AE，∴＝. (1)∵∠B＝α＝30°，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C， 又∵AB′⊥BC， ∴AB∶AE＝2∶1. ∵AD平分∠BAE，由结论(1)可得＝， ∴＝＝2. (2)①当AB′⊥BC时，如图2， ∵∠B＝α＝45°， ∴AB∶AE＝∶1. ∵∠BAD＝∠EAD， ∴＝， ∴＝＝. ②当AB′⊥AB时，如图3， ∵∠B＝α＝45°， ∴点B′恰与点E重合， ∴AB∶AE＝1∶1. ∵∠BAD＝∠EAD， ∴＝， ∴＝＝1. ③当AB′⊥AC时，如图4，∠C＝30°， ∴∠AEC＝60°. 设EF＝a，则AF＝a，AE＝2a. ∵∠B＝α＝45°，∴AB＝a. ∵∠BAD＝∠EAD，∴＝， ∴＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$