新中考• 核心专题3 函数图象信息-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题3　函数图象信息 视角一　函数图象与实际问题中变量关系的转化 例1 2023·嘉兴下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是(　D　) 　　　　 思考：在水面漫过铁球之前，水面是否匀速上升？上升速度如何变化？ 【解析】 由水槽的轴截面示意图可得，水面上升的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，故选D. 变式2023·湖北如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1(细实线)表示铁桶中水面的高度，y2(粗实线)表示水池中水面的高度(铁桶高度小于水池高度，铁桶的底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为(　C　) 思考：(1)t1，t2，t3，t4所对应的函数图象上的点有何实际含义？ (2)水面高度上升速度的大小与直线的倾斜度有什么关系？ 【解析】 由题意可知，当t＝t1时，铁桶注满了水．∴当0≤t≤t1时，铁桶中水面的高度上升，y1的图象是一条斜线段．当t>t1时，铁桶中水面的高度不变，y1的图象是一条水平线段．当t＝t1时，长方体水池开始注入水；当t＝t2时，长方体水池中水的高度与铁桶的高度相同，当t2<t<t3时，水池中水面上升的速度变慢；当t＝t3时，长方体水池注满水．∴y2随时间t变化的函数图象开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，∴观察函数图象知选项C符合题意． 视角二　函数图象与几何动点问题 类型1　由运动方式获得图象 例2 如图，DE是边长为4的等边三角形ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线AD－DE向点E运动．同时，动点Q以相同的速度，从点B出发，沿BC向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为t s，B，D，P，Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是(　C　) 　　　　 思考：当点P在线段AD上运动时，B，D，P，Q四点围成了什么图形？点P在线段DE上运动时呢？ 【解析】 ∵DE是边长为4的等边三角形ABC的中位线， ∴AD＝DB＝DE＝2，AB＝4，∠B＝60°. 分两种情况： ①当0＜t≤2时，点P在AD上，B，D，P，Q四点围成三角形PBQ. ∵AP＝BQ＝t， ∴BP＝AB－AP＝4－t，BQ边上的高h＝(4－t)， ∴△BPQ的面积S＝BQ·h＝t·(4－t)＝－t2＋t. ②当2＜t≤4时，点P在DE上，B，D，P，Q四点围成梯形． 易知DP＝t－2，BQ＝t，BQ边上的高h＝， ∴梯形BDPQ的面积为(DP＋BQ)·h＝(t－2＋t)×＝t－. 故只有C选项的图象符合． 变式 如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，BC＝6，连结EF，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y.图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为(　D　) A． B． C． D． 思考：(1)图2中的最低点P代表什么含义？此时图1中的点H落在何处？结合中点和矩形的性质，由点P的横坐标为1可求出哪些线段的长？ (2)右端点Q代表什么含义？相应的点H又将落在何处？ 【解析】 连结CG交EF于点H′，当H运动到H′时y最小，由函数图象知，点P的横坐标为1即FH＝1时，y最小． ∵在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点， ∴EF∥AB，EF＝AB，BF＝AE＝BC＝3，AG＝BG， ∴CH′＝GH′，∴BG＝2FH′＝2，则AB＝4. 设点Q(x1，y1)，当H运动到点E时，y最大，此时FH＝EF＝4，即x1＝4， 连结BE，GE， 由勾股定理得BE＝＝5， GE＝＝， ∴GH＋BH＝GE＋BE＝＋5，即y1＝5＋， ∴点Q的坐标为(4，5＋). 类型2　由图象还原运动方式 例3 如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，的弧长l与时间t(秒)的函数关系如图2所示，则当点C运动至5秒时，∠AOC的度数为(　C　) A．15° B．30° C．45° D．60° 思考：当t＝20秒时，点C运动至何处？ 【解析】 设半圆的半径为R，∠AOC＝n°，根据图象可知半圆的弧长为10π，∴πR＝10π，∴R＝10. 设弧长l与时间t的函数关系式为l＝kt(k≠0)， ∵图象经过点(20，10π)，∴k＝，∴弧长l与时间t(秒)的函数关系式为l＝t， ∴当t＝5秒时，l＝，∴根据弧长公式可知＝，∴n＝45，∴∠AOC＝45°. 变式2023·河南如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为(　A　) A．6 B．3 C．4 D．2 思考：当0≤x≤2时，图象为一条水平线段，说明什么？由此能作出点P的运动路径吗？ 【解析】 如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B. 结合图象可知，当点P在AO上运动时，＝1， ∴PB＝PC，AO＝2. 又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△APB≌△APC(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO＝30°. 由图可知点P从点A到达点B时的路程为4， ∴OB＝2，即AO＝OB＝2，∴∠BAO＝∠ABO＝30°. 过点O作OD⊥AB，∴AD＝BD，则AD＝AO·cos 30°＝3， ∴AB＝AD＋BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6. 视角三　函数图象与行程问题 类型1　单个运动主体 例4 2022·台州吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400 m，600 m．他从家出发匀速步行8 min到公园后，停留4 min，然后匀速步行6 min到学校，设吴老师离公园的距离为y(单位：m)，所用时间为x(单位：min)，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是(　C　) 思考：(1)函数图象的横、纵轴分别代表什么含义？ (2)吴老师从家出发匀速步行至公园时，y是如何变化的？从公园到学校呢？ 【解析】 吴老师从家出发匀速步行8 min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)； 在公园，停留4 min，然后匀速步行6 min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600).故选C. 变式2023·温州【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示，在2 100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为(　B　) A．4 200米 B．4 800米 C．5 200米 D．5 400米 思考：(1)小温和小州的行走时间分别为多少？行走速度呢？ (2)题中虽有较多路段，但路段的长度只有三种，有必要分别求出这三种长度吗？ 【解析】 3小时25分钟＝205分钟，由图象可知，小州游玩行走的时间为75＋10－40＝45(分钟)， 小温游玩行走的时间为205－100＝105(分钟). 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得 ＝，解得x＋y＋z＝2 700， ∴小州游玩行走的速度为(2 700－2 100)÷10＝60(米/秒). 由于游玩行走的速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x＋3y＝105×60＝6 300， ∴x＋y＝2 100， ∴①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x＋2y＋z＝x＋y＋z＋x＋y＝2 700＋2 100＝4 800(米). 类型2　多个运动主体 例5 2023·金华兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家．哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间t(分)的函数关系． (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中a的值． ②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，请说明理由． 思考：(1)速度与一次函数s＝kt＋b(k≠0)中的k有何关系？ (2)“追上时”这一情景在函数图象上是如何呈现的？ 解：(1)由题图可得A(8，800)，∴v＝＝100(米/分)，∴哥哥步行的速度为100米/分． (2)①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知DE所对应的一次函数解析式中的k为200， 则设DE所对应一次函数的解析式为s＝200t＋b，将(10，800)代入， 得800＝200×10＋b，解得b＝－1 200.∴DE所对应一次函数的解析式为s＝200t－1 200. 当s＝0时，200t－1 200＝0，解得t＝6.∴a＝6. ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得BC，OA所对应的一次函数解析式中k的值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整． 设BC所对应一次函数的解析式为s＝100t＋b1，将(17，800)代入，得800＝100×17＋b1， 解得b1＝－900，∴s＝100t－900. ∵妺妺的速度是160米/分，8＋2＋10＝20(分)， ∴设FG所对应一次函数的解析式为s＝160t＋b2，F(20，800).将(20，800)代入，得800＝160×20＋b2， 解得b2＝－2 400，∴s＝160t－2 400.由解得 ∴1 900－1 600＝300(米)，即追上时兄妺俩离家300米远． 变式 甲、乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到“三味书屋”参观，小区与“三味书屋”的路程是4 km，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达“三味书屋”，图中折线O→A→B→C和线段OD分别表示两人离小区的路程s(km)与所经过的时间t(min)之间的函数关系，请根据图1回答下列问题： (1)直接写出甲在“三味书屋”参观的时间． (2)求图中点P(OD与BC交点)的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义． (3)若两人之间的距离为y千米，请将图2中y(km)与所经过的时间t(min)之间的函数图象补画完整，并直接写出两人恰好相距 km时所经过的时间． 思考：(1)第(3)问，y与s之间有什么关系？如何将s关于t的函数表达式转化为y关于t的函数表达式？ (2)观察图1，当40≤t≤60时，两人之间的距离是如何变化的？这种变化在图2中如何体现？其中关键点的坐标能否在图1中直接读取？ 解：(1)由图象可知，甲在“三味书屋”参观的时间为40－20＝20(min)， 故答案是20 min. (2)设直线OD的函数表达式为s＝kt， ∵直线OD过点(60，4)，∴60k＝4，即k＝， ∴直线OD的函数表达式为s＝t. 当甲从图书馆返回时，设直线BC的函数表达式为s＝k1t＋b， ∵B(40，4)，C(60，0)， ∴解得 ∴直线BC的函数表达式为s＝－t＋12. 由－t＋12＝t，解得t＝45. 当t＝45时，s＝×45＝3. ∴P. ∴P点坐标的实际意义为当经过的时间为45 min时，甲、乙两人相遇，此时距离小区的路程为3 km. (3)如图，y(km)与所经过的时间t(min)之间的函数图象补充完整．两人恰好相距 km时所经过的时间为10 min，40 min或50 min. 学科网（北京）股份有限公司 $$