新中考• 核心专题2 函数图象和性质-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题2　函数图象和性质 视角一　函数中的等量关系 类型1　从已知图象寻找等量关系 例1 如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y＝2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y＝ x2＋bx＋c的顶点，则方程 x2＋bx＋c＝1的解的个数是(　D　) A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2 思考：方程x2＋bx＋c＝1的解就是抛物线y＝x2＋bx＋c与哪条直线交点的横坐标？ 【解析】 观察方程 x2＋bx＋c＝1与解析式y＝x2＋bx＋c，可得方程的解就是抛物线与直线y＝1的交点的横坐标，所以解的个数就是交点个数．由题意得，当点M的纵坐标小于1，即点M在直线y＝1的下方时，方程x2＋bx＋c＝1的解的个数是2.当点M的纵坐标等于1，即点M在直线y＝1上时，方程x2＋bx＋c＝1的解的个数是1.当点M的纵坐标大于1，即点M在直线y＝1上方时，方程x2＋bx＋c＝1的解的个数是0.故交点个数可以是0，1，2. 类型2　构造函数图象求解方程 例2 若将三个方程x2－x－2＝－0.1，2x2－2x－4＝－0.1，3x2－3x－6＝－0.1的较大根分别记为x1，x2，x3，则下列判断中正确的是(　A　) A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2 思考：(1)观察三个方程的特点，左边能转化为相同的形式吗？由此可关联到哪个函数？ (2)从函数的视角看，x1，x2，x3能分别看成哪些函数值对应的自变量值？ 【解析】 设函数解析式为y＝x2－x－2，当y＝－0.1，－，－时，分别对应的方程为x2－x－2＝－0.1，2x2－2x－4＝－0.1，3x2－3x－6＝－0.1.∵y＝x2－x－2＝(x－)2－，∴函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝，顶点为(，－)，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵－0.1<－<－，∴x1＜x2＜x3. 视角二　函数中的不等关系类型1　一次函数与反比例函数图象的增减性与对称性 例3 若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y＝－3x＋4图象上不同的两点，记w＝(x1－x2)(y1－y2)，则w__<__0.(填“＞”“＝”或“＜”) 思考：w的值与0的大小关系，取决于(x1－x2)和(y1－y2)是否同号，关联到函数的什么性质？ 【解析】 由题意可知，一次函数y＝－3x＋4中k＝－3＜0，∴该一次函数的y随x的增大而减小．故若x1＜x2，则y1＞y2；若x1＞x2，则y1＜y2.∴(x1－x2)(y1－y2)<0. 变式 在平面直角坐标系中，点A(x1，a)和点B(x2，a)分别在一次函数y＝x与反比例函数y＝ 的图象上，当x1＜x2时，实数a的取值范围是__a＜－2或0＜a＜2__． 【解析】 由得或所以一次函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点M(2，2)和N(－2，－2)，如图所示．由题意可知，点A(x1，a)与点B(x2，a)分别是直线y＝a与一次函数y＝x和反比例函数y＝的图象的两个交点，由图可得，当x1<x2时，a＜－2或0＜a＜2. 类型2　二次函数图象的增减性与对称性 (1)函数值大小比较 例4 2022·温州已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　D　) A．若c<0，则a<c<b B．若c<0，则a<b<c C．若c>0，则a<c<b D．若c>0，则a<b<c 思考：(1)抛物线上两点A和B的纵坐标相等，可得A，B有怎样的位置关系？ (2)点C的纵坐标为7，这样的点有几个？能借助图象解决这个问题吗？ 【解析】 当c>0 时，如图1，根据二次函数图象的对称性和增减性可得a<b<c，故选项C错误，选项D正确； 　　　　 当c<0 时，如图2，根据二次函数图象的对称性和增减性可得c＜a<b，故选项A，B都错误． 变式 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y＝(x－1)2＋n上的点，若－3＜x1≤－2，3＜x2≤4，求y1和y2 的大小关系． 思考：(1)根据解析式，可获得抛物线的哪些信息？能画出示意图吗？ (2)当x从值变到范围，反映到抛物线上就是从点变到线，能描出这两段曲线吗？ 解：如图1，当－3<x1<2，3<x2<4时，有y1>y2，如图2，当x1＝－2，x2＝4时，有y1＝y2. 　　 综上，y1，y2的大小关系为y1≥y2. (2)由二次函数的图象和性质确定字母范围 例5 点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝x2－2x＋n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为__m>__． 思考：根据图象，若y1＜y2，点A，B到对称轴的距离哪个大？此时，与x＝1比较，哪个大？ 【解析】 由y＝x2－2x＋n得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当y1＜y2时，点B到对称轴的距离比较远，则 ＞1，∴>1，可得m>. 变式 已知二次函数y＝－(x＋m－3)(x－m)＋3，点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是其图象上两点，若y1＜y2，则x1＋x2 的取值范围是__x1＋x2<3__． 思考：(1)由解析式能找到抛物线上一对对称点吗？由此能得到对称轴，借助图象解题吗？ (2)从 x1＋x2 的结构，能联想到什么方法？ 【解析】 由y＝－(x＋m－3)(x－m)＋3，可得抛物线上的对称点(3－m，3)，(m，3)，则对称轴为直线x＝＝.由抛物线开口向下知，若y1＜y2，则点A离对称轴更远，故<，所以x1＋x2<3. (3)由二次函数图象和性质解决最值问题 例6 2023·嘉兴在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中． (1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？ (2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值． (3)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3.求m的取值范围． 思考：(1)根据解析式，能表示出对称轴方程吗？ (2)t的值是否在范围0≤x≤3内，该如何分类？ (3)A(m－2，a)与C(m，a)的纵坐标相等，这两点存在什么位置关系？能表示出对称轴吗？已知纵坐标的大小关系a＜b＜3，这三点与对称轴的距离有什么关系？ 解：(1)将(2，1)代入y＝x2－2tx＋3，得1＝4－4t＋3，解得t＝. (2)抛物线y＝x2－2tx＋3的对称轴为直线x＝t. 若0＜t≤3，则当x＝t时y取最小值，∴t2－2t2＋3＝－2，解得t＝； 若t＞3，则当x＝3时y取最小值，∴9－6t＋3＝－2，解得t＝(不符合题意，舍去). 综上所述，t的值为. (3)∵A(m－2，a)，C(m，a)都在二次函数的图象上， 且二次函数y＝x2－2tx＋3图象的对称轴为直线x＝t， ∴t＝＝m－1，∴t＝m－1. ∵t＞0，∴m－1＞0，解得m＞1. ∵m－2＜m，∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧． 在y＝x2－2tx＋3中，令x＝0，得y＝3，∴抛物线y＝x2－2tx＋3与y轴的交点为(0，3). ∵(0，3)关于对称轴直线x＝m－1的对称点为(2m－2，3)， 且b＜3，∴4＜2m－2，解得m＞3. ①当A(m－2，a)，B(4，b)都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m－2，解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； ②当A(m－2，a)在对称轴左侧，B(4，b)在对称轴右侧时， ∵a＜b，∴B(4，b)到对称轴直线x＝m－1的距离大于A(m－2，a)到对称轴直线x＝m－1的距离， ∴4－(m－1)＞m－1－(m－2)，解得m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4. 综上所述，3＜m＜4或m＞6. 变式 已知二次函数y＝－(x－h)2 (h为常数)，当2≤x≤5 时，函数y的最大值为－1，则h的值为(　D　) A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 思考：(1)根据解析式，能得到抛物线的开口方向与对称轴吗？能画出草图吗？ (2)y的最大值－1 与哪个x值对应？对称轴的位置相对于自变量x的取值范围2≤x≤5，可能有几种情况？ 【解析】 易知二次函数y＝－(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝h，开口向下． ①当h＞5时， ∵ 二次函数y＝－(x－h)2 (h为常数)，当2≤x≤5 时，函数y的最大值为－1， ∴－1＝－(5－h)2，解得h＝6或h＝4(舍去)； ②当h＜2时， ∵ 二次函数y＝－(x－h)2 (h为常数)，当2≤x≤5 时，函数y的最大值为－1， ∴－1＝－(2－h)2，解得h＝1或h＝3(舍去)； 故选D. 视角三　函数图象的变换及其应用（理解各系数对函数图象的作用 类型1　变换前后的图象关联 例7 2022·嘉兴已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4(a≠0)经过点A(1，0). (1)求抛物线L1的函数表达式． (2)将抛物线L1向上平移m(m＞0)个单位得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． (3)把抛物线L1向右平移n(n＞0)个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 思考：(1)抛物线平移后，顶点位置发生了怎样的变化？能根据已知的平移方式表示平移后的顶点坐标吗？对称轴位置呢？ (2)已知抛物线开口方向，且y1＞y2，可判断哪个点离对称轴更远？可列出怎样的不等式？ 解：(1)∵抛物线y＝a(x＋1)2－4(a≠0)经过点A(1，0)， ∴4a－4＝0，∴a＝1，∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2＋2x－3. (2)∵y＝(x＋1)2－4，∴抛物线L1的顶点坐标为(－1，－4)， 将抛物线L1向上平移m(m＞0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点坐标为(－1，－4＋m). 而(－1，－4＋m)关于原点的对称点为(1，4－m)，把(1，4－m)代入y＝x2＋2x－3得， 1＋2－3＝4－m，∴m＝4. (3)方法一：由题意抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，则L3的解析式为y＝(x－n＋1)2－4，∴抛物线L3的开口向上，对称轴为直线x＝n－1.∵点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1>y2，∴点B离对称轴较远， ∴|1－n＋1|>|3－n＋1|，得4－4n＋n2>16－8n＋n2，解得n>3，∴n的取值范围为n>3. 方法二：由题意抛物线L1向右平移n(n＞0)个单位得到抛物线L3，则L3的解析式为y＝(x－n＋1)2－4. ∵点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，∴y1＝(2－n)2－4，y2＝(4－n)2－4. ∵y1＞y2，∴(2－n)2－4＞(4－n)2－4，解得n＞3，∴n的取值范围为n＞3. 类型2　变换前后的解析式关联 例8 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过A(x1，y1)，B(x1＋t，y2)，C(x1＋2t，y3)(t≠0)三点．记m＝y2－y1，n＝y3－y2，则下列说法正确的是(　C　) A．若n－m＞2，则t＜－1 B．若n－m＜2，则t＞－1 C．若t＞1，则n－m＞2 D．若t＜1，则n－m＜2 思考：(1)m，n是纵坐标的差，若要表示成x的表达式，怎么表示？能否简化？ (2)在二次函数解析式中，b，c只是决定抛物线平移后的位置，我们可以把抛物线回归到哪个最原始的位置？ 【解析】 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图象通过平移得到y＝x2的图象，A(x1，y1)，B(x1＋t，y2)，C(x1＋2t，y3)在抛物线y＝x2上的对应点为A′(x′1，y′1)，B(x′1＋t，y′2)，C(x′1＋2t，y′3)，可得m＝y2－y1＝y′2－y′1＝(x′1＋t)2－x′＝t2＋2x′1t，n＝y3－y2＝y′3－y′2＝(x′1＋2t)2－(x′1＋t)2＝3t2＋2x′1t，得n－m＝(3t2＋2x′1t)－(t2＋2x′1t)＝2t2. 若n－m＞2，则2t2＞2，∴t＞1或t＜－1，故A错误，不符合题意； 若n－m＜2，则2t2＜2，∴－1＜t＜1，故B错误，不符合题意； 若t＞1，则2t2＞2，∴n－m＞2，故C正确，符合题意； 若t＜1，则0<2t2＜2，即0<n－m＜2，故D错误，不符合题意． 视角四　函数图象背景下的面积问题 例9 2023·绍兴如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(k为大于0的常数，x＞0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是__2__． 思考：如果延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，由A，B两点在反比例函数图象上，可得△AOE和△BOF的面积有什么关系？根据x2＝2x1，可得B处于线段CF的什么位置？ 【解析】 延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，∴CE⊥y轴，CF⊥x轴， ∴四边形OECF为矩形．∵x2＝2x1，∴点A为CE的中点． 由k的几何意义得，S△OAE＝S△OBF， ∴点B为CF的中点，∴S△OAE＝S△OBF＝S矩形OECF，S△ABC＝S矩形OECF， ∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16，∴S△ABC＝×16＝2. 变式 2023·宁波如图，点A，B分别在函数y＝(a＞0)图象的两支上(A在第一象限)，连结AB交x轴于点C.点D，E在函数y＝(b＜0，x＜0)的图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE.若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a－b的值为__12__，a的值为__9__． 【解析】 设A(m，)，∵AE∥x轴，且点E在函数y＝的图象上， ∴E(，). ∵AC＝2BC，且点B在函数y＝的图象上，∴B(－2m，－). ∵BD∥y轴，点D在函数y＝的图象上，∴D(－2m，－). ∵△ABE的面积为9， ∴S△ABE＝AE×(＋)＝(m－)(＋)＝m··＝＝9. ∴a－b＝12. ∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14， ∴S△BDE＝DB·(＋2m)＝(－＋)··m＝(a－b)···m＝3·＝5， ∴a＝－3b. 又a－b＝12. ∴a＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$