新中考• 核心专题1 代数推理-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题1　代数推理 视角一　方程的推理应用 类型1　等式的变形 例1 2023·嘉兴观察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4…… (1)写出192－172的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数). (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 思考：(1)等式中哪些数在变化，哪些数不变？变化的数之间有何联系？ (2)等式左边的形式与学过的哪些知识相关？ 解： (1)∵17＝2×9－1，∴192－172＝8×9. (2)(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n. (3)∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)]＝4n×2＝8n， ∴(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n正确． 例2 2023·金华如图，这是一块矩形菜地ABCD，AB＝a(m)，AD＝b(m)，面积为S(m2)，现将边AB增加1 m. (1)如图1，若a＝5，边AD减少1 m，得到的矩形面积不变，则b的值是__6__． (2)如图2，若边AD增加2 m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2S(m2)，则S的值是__4＋6__． 思考：(1)当矩形的面积S不变时，a，b之间存在怎样的等量关系？ (2)当只存在一个a的值符合题意时，问题可转化为解的存在性问题，等式如何变形成以a为未知数的方程？ 【解析】 (1)∵a＝5，且矩形改变前后的面积不变， ∴1×(b－1)＝1×a，∴b＝a＋1＝5＋1＝6. (2)∵矩形的面积改变成2S(m2)， ∴(b＋2)(a＋1)＝2ab，则2a＋b＋2＝ab. ∵满足题意的a的值有且只有一个，要求S的值，需消去b， ∴根据ab＝S，得b＝.∴2a＋＋2＝S，两边同乘a得，2a2＋(2－S)a＋S＝0. ∵满足题意的a的值有且只有一个， ∴关于a的方程2a2＋(2－S)a＋S＝0有两个相等的实数根． ∴判别式Δ＝(2－S)2－4×2S＝0， 解得S＝4＋6或S＝－4＋6. ∵当面积变成2S时，增加的面积S>2，∴S＝4＋6. 变式 在例2的条件下，若边AD增加3 m，有且只有一个b的值，使得到的矩形面积为5S(m2)，则S的值是____． 【解析】 ∵矩形的面积改变成5S(m2)， ∴(b＋3)(a＋1)＝5ab，则3a＋b＋3＝4ab. ∵满足题意的b的值有且只有一个，要求S的值，需消去a， ∴根据ab＝S，得a＝. ∴＋b＋3＝4S，问题转化为关于b的方程的解的存在性问题． 两边同乘b得，b2＋(3－4S)b＋3S＝0. ∵满足题意的b的值有且只有一个， ∴关于b的方程b2＋(3－4S)b＋3S＝0有两个相等的实数根． ∴判别式Δ＝(3－4S)2－4×3S＝0，解得S＝. ∵当面积变成5S m2时，增加的面积4S>3，∴S＝. 类型2　根与系数的关系 例3 2023·台州抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＜0，则直线y＝ax＋k一定经过(　D　) A．第一、二象限　　　B．第二、三象限　　　C．第三、四象限　　　D．第一、四象限 思考：x1，x2的值是哪个方程的解？由x1＋x2＜0可以推导出方程的系数有什么条件？ 【解析】 ∵抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， ∴ax2－a＝kx，即ax2－kx－a＝0，∴x1＋x2＝<0，则a，k异号． 当a>0，k<0时，直线y＝ax＋k经过第一、三、四象限． 当a<0，k>0时，直线y＝ax＋k经过第一、二、四象限． 故直线y＝ax＋k一定经过第一、四象限． 变式 已知2m2－8m－3＝0，＋－2＝0，且m≠n，则＋＝__－__． 【解析】 ∵＋－2＝0，∴2n2－8n－3＝0. ∵2m2－8m－3＝0，∴m，n为一元二次方程2x2－8x－3＝0的两根， ∴m＋n＝＝4，mn＝，∴＋＝＝－. 类型3　借助函数推理等量关系 例4 2023·杭州在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，2)，B(2，3)，C(3，1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3.分别计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，其中最大的值等于__5__． 思考：从函数的角度来看，当自变量x取何值时，k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值是对应的函数值？ 【解析】 方法一：设直线AB的解析式为y1＝k1x＋b1， 将点A(0，2)，B(2，3)代入得， 解得∴k1＋b1＝. 设直线AC的解析式为y2＝k2x＋b2， 将点A(0，2)，C(3，1)代入得， 解得∴k2＋b2＝. 设直线BC的解析式为y3＝k3x＋b3， 将点B(2，3)，C(3，1)代入得，解得 ∴k3＋b3＝5，∴k1＋b1＝，k2＋b2＝，k3＋b3＝5，其中最大的值为5. 方法二：不妨设一次函数y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3的图象分别过点A和点B、点A和点C、点B和点C，在图中画出三个函数的图象，如图所示．由题易知，k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3分别是三个函数的自变量为1时对应的函数值，由图可知，k3＋b3的值最大，则解得∴k3＋b3＝5，即最大值为5. 变式 已知二次函数y＝－x2＋2cx＋c的图象经过点A(a，c)，B(b，c)，且满足0＜a＋b＜2.当－1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是(　D　) A. n＝－3m－4 B. m＝－3n－4 C. n＝m2＋m D. m＝n2＋n 【解析】 ∵二次函数y＝－x2＋2cx＋c的图象经过点A(a，c)，B(b，c)， ∴点A(a，c)，B(b，c)关于直线x＝＝c对称， 则＝c，即a＋b＝2c. ∵0＜a＋b＜2，∴0＜2c＜2，即0＜c＜1， ∴当－1≤x≤1，0＜c＜1时，对称轴x＝c更靠近直线x＝1. ∴当x＝－1时，函数最小值n＝－1－2c＋c＝－c－1 ①； 当x＝c时，函数最大值m＝－c2＋2c2＋c＝c2＋c ②. 由①得，c＝－n－1，代入②得m＝(－n－1)2＋(－n－1)＝n2＋n. 视角二　不等式的推理应用 类型1　不等式的变形 例5 如果a＜ab＜0，那么b的取值范围是__0＜b＜1__． 思考：由题意，结合不等式的基本性质，能得到什么结论？ 【解析】 ∵a＜ab＜0，∴由不等式的传递性得，a＜0. ∵a＜ab且a＜0，∴由不等式的基本性质得，b＜1. ∵ab＜0且a＜0，∴由不等式的基本性质得，b＞0.∴0＜b＜1. 变式 如图，点A，B分别表示数－x＋3，x，则x的取值范围为__1.5＜x＜2__． 【解析】 由题图可得，0＜－x＋3＜x＜2，由不等式的传递性得，0＜x＜2 ① . ∵0＜－x＋3，∴由不等式的基本性质得，x＜3 ②. ∵－x＋3＜x，∴由不等式的基本性质得，x＞1.5 ③. ∴由①②③得，1.5＜x＜2. 类型2　借助函数推理不等关系 例6 已知二次函数y＝x2＋bx＋c(c为常数)的图象经过点(4，c)，一元二次方程x2＋bx＋c＝m的两个解为p，q，当1≤q－p＜6时，实数m的取值范围为(　B　) A. c－4≤m＜c＋5 B. c－≤m＜c＋5 C. c＜m≤c＋5 D. c－3≤m＜c＋24 思考：(1)一元二次方程x2＋bx＋c＝m与二次函数y＝x2＋bx＋c有何联系？ (2)若把x2＋bx＋c＝m看作函数，如何利用函数的性质求m的取值范围？ 【解析】 ∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(0，c)和点(4，c)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝＝2，则b＝－4. ∵方程x2＋bx＋c＝m的两个解为p，q， ∴p＋q＝＝4，则q＝4－p. ∵1≤q－p＜6，∴1≤4－p－p＜6，则－1＜p≤. ∵p为方程x2＋bx＋c＝m的一个解且b＝－4， ∴m＝p2－4p＋c＝(p－2)2＋c－4，则m是关于p的二次函数． 当p＝－1时，m＝c＋5；当p＝时，m＝c－. ∵当－1＜p≤时，m＝(p－2)2＋c－4随p的增大而减小， ∴ c－≤m＜c＋5. 变式 2023·十堰已知点A(x1，y1)在直线y＝3x＋19上，点B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝x2＋4x－1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　A　) A．－12＜x1＋x2＋x3＜－9 B．－8＜x1＋x2＋x3＜－6 C．－9＜x1＋x2＋x3＜0 D．－6＜x1＋x2＋x3＜1 【解析】 ∵点B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝x2＋4x－1上，y2＝y3， ∴x2＋x3＝×2＝－4. ∵当x2＋4x－1＝3x＋19时，x＝－5或x＝4. ∴抛物线y＝x2＋4x－1与直线y＝3x＋19的交点的横坐标分别为－5和4. ∵y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5， ∴抛物线的顶点坐标为(－2，－5). 当y＝3x＋19＝－5时，x＝－8. ∵点A(x1，y1)在直线y＝3x＋19上，且y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3， ∴由图象得，－8＜x1＜－5. ∵x2＋x3＝－4.∴－12＜x1＋x2＋x3＜－9. 例7 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如右，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＞3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1).其中正确的结论有(　B　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 思考：结合二次函数图象的特征与系数的关系以及函数与方程、不等式的联系，上述结论成立吗？ 【解析】 ①∵抛物线开口向下，且对称轴在y轴右侧，图象与y轴的正半轴相交， ∴a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，结论①不正确． ②由图象得，当x＝－1时，y＜0， ∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0. 由不等式的基本性质得，a＋c＜b，即b＞a＋c. ∴结论②正确． ③由图象得，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴自变量x＝2与x＝0对应的函数值相等． 又当x＝0时，y＝c＞0， ∴当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，∴结论③正确． ④由图象得，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴＝1，则a＝. 由图象得，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0， ∴－－b＋c＜0， ∴由不等式的基本性质得，2c＜3b，∴结论④不正确． ⑤设(m，n)为抛物线上任意一点，且m≠1，则n＝am2＋bm＋c， 由图象得，当x＝1时，函数最大值为y＝a＋b＋c， ∴n＝am2＋bm＋c＜a＋b＋c.由不等式的基本性质得， am2＋bm＜a＋b，即a＋b＞m(am＋b)(m≠1)，故⑤正确． 变式 2023·武汉抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，c＜0)经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n≥3.下列四个结论： ①b＜0；②4ac－b2＜4a；③当n＝3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t＞1；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根，则0<m≤. 其中正确的是__②③④__(填写序号). 【解析】 ①∵c＜0，且抛物线经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n≥3， ∴函数大致图象如右图所示，则a＜0，b＞0，∴结论①不正确． ②由图象得，抛物线顶点的纵坐标大于1，∴y＝＞1. ∵a＜0，∴4ac－b2＜4a，∴结论②正确． ③当n＝3时，对称轴为直线x＝＝. 由图象得，0＜m＜1， ∴<<2.∴2－<－1. ∴当n＝2时的函数值比当n＝1时的函数值大，即t＞1， ∴结论③成立． ④∵方程ax2＋bx＋c＝x的解为抛物线y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图象的交点的横坐标， 且点(1，1)既在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，又在直线y＝x上， ∴x＝1为方程ax2＋bx＋c＝x的一个解． ∵方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根， ∴方程ax2＋bx＋c＝x的解为x1＝x2＝1. 方程化简为ax2＋(b－1)x＋c＝0， ∴x1x2＝＝1，∴c＝a. ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(m，0)，(n，0)， ∴mn＝＝1，则m＝. ∵n≥3， ∴0<m≤，结论④正确． 例8 2023·杭州设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … －1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … 　　(1)若m＝4， ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． (2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 思考：(1)由表格中函数值y和自变量x的部分对应取值，能得到二次函数图象的哪些特征？ (2)由二次函数的图象与性质，能得到哪些等量关系与不等关系？ 解：(1)①若m＝4，则将(－1，4)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1得a＝1，b＝－2，故y＝x2－2x＋1. ②由①得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴当x≤1时，y随x的增大而减小． (2)由表格得二次函数图象经过点(0，1)，(2，1)，则对称轴为直线x＝1，根据二次函数图象的对称性得，x＝－1与x＝3时的函数值相等，即m＝p. ∵m，n，p这三个实数中只有一个是正数， ∴n>0，m＝p≤0，则 ∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，则b＝－2a. 将b＝－2a代入不等式组中 解得a≤－. 变式 2022·杭州模拟在平面直角坐标系中，设二次函数y＝－(x－2m)2＋3－m(m是实数). (1)当m＝2时，若点A(8，n)在该函数图象上，求n的值． (2)当0≤x≤3时，y的最大值为3，求m的值． (3)已知点P(a＋1，c)，Q(4m－5＋a，c)都在该二次函数图象上，求证：c≤. 思考：(1)已知自变量的取值范围和对应函数的最值，如何确定对称轴的位置？ (2)如何利用二次函数图象的对称性得出各参数之间的关系？ (3)已知自变量的值或范围，如何求函数值的范围？ 解：(1)当m＝2时，y＝－(x－4)2＋1， ∵A(8，n)在该函数图象上，∴n＝－×(8－4)2＋1＝－7. (2)①当2m≥3，即m≥时，令x＝3，得－(3－2m)2＋3－m＝3，此方程无解． ②当2m≤0，即m≤0时，令x＝0，得－(0－2m)2＋3－m＝3，解得m＝0或m＝－0.5. ③当0<m<时，令x＝2m，得3－m＝3，得m＝0，舍去． 综上所述，m＝0或－0.5. (3)证明：∵P(a＋1，c)，Q(4m－5＋a，c)都在二次函数的图象上， ∴对称轴是直线x＝＝a＋2m－2，∴a＋2m－2＝2m，∴a＝2，∴P(3，c)， ∴c＝－(3－2m)2＋3－m＝－2m2＋5m－＝－2(m－)2＋≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$