2.4 等边三角形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.4 等边三角形的性质和判定 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 【考点3：等边三角形的判定】 【考点4：等边三角形的判定与性质】 【考点5：含30°角的直角三角形的性质】 【考点6：直角三角形斜边上的中线】 知识点1：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式1-1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【变式1-2】（2023春•东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．则CD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-3】（2022秋•浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为 　　． 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2022秋•金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式2-1】（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【变式2-2】（2023秋•琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．18° B．42° C．60° D．102° 【变式2-3】（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．60° C．75° D．45° 知识点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点3： 等边三角形的判定】 【典例3】（2023秋•前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【变式3-1】（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【变式3-2】（2023秋•宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD． 求证：△ECB是等边三角形． 【变式3-3】（2023秋•浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． （1）求证：∠C＝∠CDE． （2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 【考点4：等边三角形的判定与性质】 【典例4】（2023秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 【变式4-1】（2023•张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）求证：DC＝CF． 【变式4-2】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【变式4-3】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点5： 含30°角的直角三角形的性质】 【典例5】（2023秋•文昌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7.5 【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式5-2】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（　　） A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 知识点4：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【考点6： 直角三角形斜边上的中线】 【典例6】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式6-1】（2023秋•双桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】（2023秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．48° C．55° D．25° 【变式6-3】（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 1．如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．如图，过边长为1的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．    6．如图，D、E是边上的两点，且，则度数为 ． 7．如图，中，，于点D，，，则的长是 ． 8．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的长为 ． 9．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为 ． 10．如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 ． 11．如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 12．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 13．如图，在中，，，于D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 14．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 等边三角形的性质和判定 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 【考点3：等边三角形的判定】 【考点4：等边三角形的判定与性质】 【考点5：含30°角的直角三角形的性质】 【考点6：直角三角形斜边上的中线】 知识点1：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5， ∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EFC， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EC＝1， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4． 故选：C． 【变式1-1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8． ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8， ∵点E，F是BC边的三等分点， ∴， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴， ∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3×＝8． 故选：D． 【变式1-2】（2023春•东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．则CD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解答】解：∵∠B＝60°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝30°， ∴， ∵AB＝AC＝10，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝5， 故选：D． 【变式1-3】（2022秋•浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为 　15　． 【答案】15． 【解答】解：∵∠C＝60°，AC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∵BC＝5， ∴△ABC的周长为5×3＝15， 故答案为：15． 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2022秋•金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点， ∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB， ∴∠PBC＝30°， ∵PE＝PB， ∴∠PBC＝∠E＝30°， ∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°， 故选：C． 【变式2-1】（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 【变式2-2】（2023秋•琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．18° B．42° C．60° D．102° 【答案】D 【解答】解：∵a∥b，∠1＝42°， ∴∠1+∠BAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝42°+60° ＝102°， 故选：D． 【变式2-3】（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．60° C．75° D．45° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A+∠3+∠2＝180°， ∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝75°． 故选：C 知识点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点3： 等边三角形的判定】 【典例3】（2023秋•前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∵DE∥BC， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠DCA＝30°， ∴∠CDB＝60°， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB， ∴BC＝BD， ∴△BDC是等边三角形． 【变式3-1】（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DF平分∠CDE， ∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDE， ∵∠CDE＝120°， ∴∠CDF＝60°， ∵DF∥BA， ∴∠ABC＝∠CDF＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 【变式3-2】（2023秋•宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD． 求证：△ECB是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AD∥CE， ∴∠A＝∠CEB＝60°． ∵∠CEB＝∠B， ∴CE＝CB． ∴△CEB是等腰三角形． 又∵∠CEB＝60°， ∴△CEB是等边三角形． 【变式3-3】（2023秋•浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． （1）求证：∠C＝∠CDE． （2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AB， ∴∠CED＝∠B， ∴∠C＝∠CDE； （2）△DEC是等边三角形， 理由：∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠A＝60°， 由（1），△DEC是等腰三角形， ∴△DEC是等边三角形． 【考点4：等边三角形的判定与性质】 【典例4】（2023秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）60°； （3）证明过程见解答． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE． （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵等边三角形DCE， ∴∠CED＝∠CDE＝60°， ∴∠ADE+∠BED ＝∠ADC+∠CDE+∠BED ＝∠ADC+60°+∠BED ＝∠CED+60° ＝60°+60° ＝120°， ∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°， 答：∠DOE的度数是60°． （3）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC， 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM＝AD，BN＝BE， ∴AM＝BN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN， ∴CM＝CN， ∠ACM＝∠BCN， 又∠ACB＝60°， ∴∠ACM+∠MCB＝60°， ∴∠BCN+∠MCB＝60°， ∴∠MCN＝60°， ∴△MNC是等边三角形． 【变式4-1】（2023•张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）求证：DC＝CF． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC＝60°， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴CE＝CD， ∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°， ∴∠CEF＝∠F＝30°， ∴EC＝CF， ∴CD＝CF． 【变式4-2】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN， ∴BM+PB＝AB＝12cm， ∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2PB＝BM， ∴2PB+PB＝12cm， ∴PB＝4cm， ∴MC＝4cm． 【变式4-3】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴△ODE为等边三角形． （2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝OD；同理可证CE＝OE； ∴△ODE的周长＝BC＝10． 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点5： 含30°角的直角三角形的性质】 【典例5】（2023秋•文昌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝90°＝∠ACB， ∵∠B＝30°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°， ∵AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝2AC＝8， ∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6， 故选：C． 【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B， ∴∠B＝30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠DAE＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝∠DAE+∠B＝60°，AD＝2DE＝6， ∴∠CAD＝30°，BD＝6， ∴， ∴BC＝BD+DC＝9． 故选：C． 【变式5-2】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝8， ∴DO＝OP＝4， ∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB， ∴MD＝ND＝1， ∴MO＝DO﹣MD＝4﹣1＝3． 故选：B． 【变式5-3】如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（　　） A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 【答案】D 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠CAD＝90°， ∵△ABC中，AD为中线， ∴BD＝DC， 又∵∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA（AAS）， ∴BE＝AC， 又∵在Rt△BAE中，AB＝3，∠BAE＝30°， ∴， ∴AC＝1.5， 故选：D 知识点4：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【考点6： 直角三角形斜边上的中线】 【典例6】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴BC＝2AD＝8． 故选：B． 【变式6-1】（2023秋•双桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中、点D是AB的中点，CD＝2， ∴AB＝2CD＝4， 故选：C． 【变式6-2】（2023秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．48° C．55° D．25° 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∵∠B＝25°， ∴∠B＝∠BCD＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°． 故选：A． 【变式6-3】（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【解答】解：如图，连接CM、CN， △ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， ∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴CN＝DE＝3，CM＝AB＝5， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣3＝2． 故选：A． 1．如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，先根据等边三角形的性质得到，再根据平行线的性质计算出，然后根据三角形内角和定理得到的度数，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，D是上的一点，，E，F分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．连接．由，F是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即． 【详解】解：如图，连接． ∵，F是的中点， ∴． 在中， ∵，E是的中点，， ∴． 故选：D． 3．若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形有两条边相等， ∴这个三角形是等腰三角形， 又∵这个三角形有一个内角为， ∴这个三角形一定为等边三角形. 故选：A ． 4．如图，过边长为1的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过P作交于F． ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ， ． ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的三边上三线合一求解即可得到答案； 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴点D为的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 6．如图，D、E是边上的两点，且，则度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理．根据题意可知是等边三角形，是等腰三角形，继而得到，再利用三角形内角和定理即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，中，，于点D，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含直角三角形的性质； 求出，然后利用两次含直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，根据直角三角形斜边中线定理得出，求出，再根据三角形的外角性质求解，即可解题． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形全等可得结果，作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，如图所示： ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴（SAS） ∴， ∴的周长是： ． 故答案为：8． 11．如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质，即可证明结论； （2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过D作于H，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 12．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 13．如图，在中，，，于D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练的证明等边三角形是解本题的关键； （1）分别证明，即可得到结论； （2）利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，∵F在的垂直平分线上， ∴，且， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）∵， 在中，， ∴． ∵， ∴． 在中，，， 在中，，， ∴． 14．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即，∴； ②当时，则，即，∴； ③当时，则，即，∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$