专题2.4 等边三角形的性质和应用（六个考点2个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题2.4 等边三角形的性质和应用（六个考点3个易错点） 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 【考点3：等边三角形的判定】 【考点4：等边三角形的判定与性质】 【考点5：含30°角的直角三角形的性质】 【考点6：直角三角形斜边上的中线】 【易错点1 等边三角形的性质】 【易错点2 等边三角形的判定】 【易错点3 直角三角形斜边上的中线】 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 1．（2024•福州模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的长度为（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（2023秋•楚雄州期末）如图，BE是等边△ABD的中线，作BC⊥AB，交AD的延长线于点C．若CE＝6，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 3．（2023春•龙岗区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若AB＝5，CE＝3，则BC的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 4．（2022秋•渑池县期末）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 5．（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 6．（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 7．（2023秋•潮南区校级月考）如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的周长为 　　． 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 8．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 9．（2024•青山湖区模拟）如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．140° 10．（2023春•龙岗区期中）如图所示△ABC中，AD＝DE＝EA＝BD＝EC，则∠BAC的大小为（　　） A．150° B．135° C．120° D．90° 11．（2022秋•永善县期末）如图，在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、OC，那么∠BOC是（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 12．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3的大小为 　　（度）． 13．（2023春•永春县期末）如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在AC边上，若∠CDE＝25°，则∠CBD的度数为 　　． 【考点3：等边三角形的判定】 14．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　） A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 15．下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 16．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，则△ABC的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有30°角的直角三角形 D．钝角三角形 17．已知如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．且BE∥AC．求证：△ABC是等边三角形． 18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D，连接AE、AD．求证：△AED是等边三角形． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由． 20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【考点4：等边三角形的判定与性质】 21．如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 22．已知：如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED． （1）求证：△DEC为等边三角形； （2）求∠BED的度数． 23．如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE． （1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形； （2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外） 24．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 25．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【考点5：含30°角的直角三角形的性质】 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 28．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 29．如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（　　） A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以每秒1cm的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，△BDE是直角三角形，则t的值为（　　） A．2 B．0.5 C．2或3.5 D．2或0.5 【考点6：直角三角形斜边上的中线】 31．（2023秋•西安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 32．（2023秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　） A．5 B．4 C．8 D．6 33．（2023秋•裕华区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　） A．20 B．12 C．16 D．13 34． （2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝3，则AB＝　　． 【易错点1 等边三角形的性质】 1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC的度数是（　　） A．60° B．115° C．120° D．130° 2．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE的度数为 　　． 3．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　　． 4．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是　　． 【易错点2 等边三角形的判定】 1．下列条件不能得到等边三角形的是（　　） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【易错点3 直角三角形斜边上的中线】 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 等边三角形的性质和应用（六个考点3个易错点） 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 【考点3：等边三角形的判定】 【考点4：等边三角形的判定与性质】 【考点5：含30°角的直角三角形的性质】 【考点6：直角三角形斜边上的中线】 【易错点1 等边三角形的性质】 【易错点2 等边三角形的判定】 【易错点3 直角三角形斜边上的中线】 【考点1：利用等边三角形的性质求边长】 1．（2024•福州模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD⊥AB，CD∥AB，则CD的长度为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解答】解：在等边△ABC中，AB＝4， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠D+∠ABD＝180°， ∴∠D＝90°， ∴CD＝BC＝2， 故选：A． 2．（2023秋•楚雄州期末）如图，BE是等边△ABD的中线，作BC⊥AB，交AD的延长线于点C．若CE＝6，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解答】解：∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB，∠A＝∠ABD＝60°， ∵BE是等边△ABD的中线， ∴DE＝AD＝BD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∵∠A＝∠ABD＝60°， ∴∠CBD＝∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴CD＝BD， ∴DE＝CD， ∴CD＝CE＝×6＝4， ∴AB＝CD＝4． 故选：D． 3．（2023春•龙岗区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若AB＝5，CE＝3，则BC的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【解答】解：∵∠ABC＝60°， ∴∠CAB+∠ACB＝120°． ∵等边△ACD， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°． ∴∠ACB+∠DCE＝120°． ∴∠CAB＝∠DCE． 过点C作CP⊥AB于点P， ∴∠APC＝90°． ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°． 在△DCE和△CAP中， ， ∴△DCE≌△CAP（AAS）． ∴CE＝AP＝3． ∵AB＝5， ∴BP＝2． 在Rt△BPC中，∠B＝60°， ∴BC＝2BP＝4． 故选：A． 4．（2022秋•渑池县期末）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：∵AB⊥MG， ∴∠BAG＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAG＝∠BAC﹣∠BAC＝30°， ∴∠G＝60°， 同理∠M＝∠N＝60°， ∴△MNG是等边三角形． ∴MG＝MN＝NG． 在Rt△ABM中， ∠M＝60°， ∴∠MBA＝30°， ∴MB＝2MA＝4， ∵AC⊥MG， ∴∠ACG＝90°， 在△ABM与△CAG中， ， ∴△ABM≌△CAG（AAS） ∴GA＝MB＝4， ∴MG＝GA+AM＝6， ∴△MNG的周长为MG+MN+NG＝3MG＝18． 故选：B． 5．（2022秋•海兴县期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE＝30°， ∵EC＝1.5， ∴CD＝2EC＝3， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD＝CD＝3， ∴AB＝AC＝AD+CD＝6． 故选：C． 6．（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5， ∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EFC， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EC＝1， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4． 故选：C． 7．（2023秋•潮南区校级月考）如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的周长为 　60cm　． 【答案】60cm． 【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长， 所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为， 故答案为：60cm． 【考点2：利用等边三角形的性质求角度】 8．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【答案】D 【解答】解：∵△ACE为等边三角形， ∴∠ECA＝∠EAC＝60°， ∵AB//CD， ∴∠DCA+∠BAC＝180°， ∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°， ∵∠DCE＝45°， ∴45°+60°+60°+∠EAB＝180°， 解得∠EAB＝15°． 故选：D． 9．（2024•青山湖区模拟）如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠BDE＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．140° 【答案】A 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， ∴∠BDE＝180°﹣∠DBE﹣∠E＝120°， 故选：A． 10．（2023春•龙岗区期中）如图所示△ABC中，AD＝DE＝EA＝BD＝EC，则∠BAC的大小为（　　） A．150° B．135° C．120° D．90° 【答案】C 【解答】解：∵AD＝DE＝EA， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°， ∵DA＝DB，∠ADE是△ABD的一个外角， ∴∠B＝∠DAB＝30°， ∵EA＝EC，∠AED是△AEC的一个外角， ∴∠C＝∠EAC＝30°， ∴∠BAC＝∠DAB+∠DAE+∠EAC＝120°， 故选：C． 11．（2022秋•永善县期末）如图，在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、OC，那么∠BOC是（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，O为三条高线的交点， ∴BO平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝∠OCB＝60°＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故选：C． 12．（2022秋•东丽区期末）如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1＝∠2，则∠3的大小为 　60　（度）． 【答案】60． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵∠APC＝∠2+∠3＝∠1+∠B， 又∠1＝∠2， ∴∠3＝∠B＝60°， 故答案为：60． 13．（2023春•永春县期末）如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在AC边上，若∠CDE＝25°，则∠CBD的度数为 　35°　． 【答案】35°． 【解答】解：∵△ABC与△BDE均为等边三角形， ∴∠A＝∠BDE＝60°， ∵∠CDE＝25°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝95°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝25°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝35°， 故答案为：35°． 【考点3：等边三角形的判定】 14．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　） A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 【答案】D 【解答】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； B、2，3，3是等三角形，不符合题意； C、2，4，5是直角三角形，不是等边三角形，不符合题意； D、4，4，4是等腰三角形，是等边三角形，符合题意； 故选：D． 15．下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【答案】D 【解答】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意； B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断正确，不符合题意； D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意． 故选：D． 16．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，则△ABC的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有30°角的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， ∴a＝b，b＝c，c＝a， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 故选：A． 17．已知如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．且BE∥AC．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵AB平分∠DAE， ∴∠BAE＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE， ∵BE∥AC， ∴∠EAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D，连接AE、AD．求证：△AED是等边三角形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝×（180°﹣120°）＝30°， ∵AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D， ∴AE＝BE，AD＝CD， ∴∠BAE＝∠B＝30°，∠CAD＝∠C＝30°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C+∠CAD＝60°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：△CEB是等边三角形． 证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC， ∴∠CBE＝∠ABE＝60°． 又∵DE＝DB，BE⊥AC， ∴CB＝CE． ∴△CEB是等边三角形． 20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 故答案为：30°． （2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB． ∴∠ADC＝∠AEB＝60°， ∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【考点4：等边三角形的判定与性质】 21．如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【答案】见解析． 【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝30°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形； （2）∵CE∥DA， ∴∠BEC＝∠ADB＝60， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝BE＝CB， ∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°， ∴BC＝BD， ∴CE＝BD， ∴E是BD的中点， ∴AE是边BD的中线， ∵△ADB是等边三角形， ∴AE⊥BD． 22．已知：如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED． （1）求证：△DEC为等边三角形； （2）求∠BED的度数． 【答案】（1）见解答：（2）120°． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，AB∥DE， ∴∠DEC＝∠C， ∵EC＝ED， ∴∠C＝∠EDC， ∴∠DEC＝∠C＝∠EDC＝60°， ∴△DEC为等边三角形． （2）解：∵△DEC是等边三角形， ∴∠EDC＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EDC+∠C＝60°+60°＝120°． 23．如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE． （1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形； （2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外） 【答案】（1）证明过程见解答． （2）△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． （2）解：△BDE，△DEC，△DEF和△BFC为等腰三角形． 由（1）可知，AB＝AC，∠＝60°， ∵D、E分别为AB、AC中点， ∴AD＝， ∵AD＝AE， ∴△ADE为等边三角形， ∴AD＝DE＝， ∴BD＝DE， 即△BDE为等腰三角形， 同理△DEC为等腰三角形． ∵AB＝BC，E为AC的中点， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°， ∵∠ADE＝∠ABC＝60°， ∴DE∥BC， ∴∠EBC＝∠DEB＝30°， 同理∠BCD＝∠EDC＝30°， ∴FB＝FC，DF＝EF． 即△DEF和△BFC都为等腰三角形． 24．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN， ∴BM+PB＝AB＝12cm， ∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2PB＝BM， ∴2PB+PB＝12cm， ∴PB＝4cm， ∴MC＝4cm． 25．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴△ODE为等边三角形． （2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝OD；同理可证CE＝OE； ∴△ODE的周长＝BC＝10． 【考点5：含30°角的直角三角形的性质】 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B， ∴∠B＝30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠DAE＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝∠DAE+∠B＝60°，AD＝2DE＝6， ∴∠CAD＝30°，BD＝6， ∴， ∴BC＝BD+DC＝9． 故选：C． 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 【答案】D 【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于6； ∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝12， ∴AP的长不能大于12， ∴6≤AP≤12． 故选：D． 28．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝8， ∴DO＝OP＝4， ∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB， ∴MD＝ND＝1， ∴MO＝DO﹣MD＝4﹣1＝3． 故选：B． 29．如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（　　） A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5 【答案】D 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠CAD＝90°， ∵△ABC中，AD为中线， ∴BD＝DC， 又∵∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA（AAS）， ∴BE＝AC， 又∵在Rt△BAE中，AB＝3，∠BAE＝30°， ∴， ∴AC＝1.5， 故选：D． 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以每秒1cm的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，△BDE是直角三角形，则t的值为（　　） A．2 B．0.5 C．2或3.5 D．2或0.5 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A＝30°， ∵BC＝2cm， ∴AB＝2BC＝4cm， ①∠BDE＝90°时， ∵D为BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AE＝AB＝×4＝2（cm）， 点E在AB上时，t＝2÷1＝2（秒）， 点E在BA上时，点E运动的路程为4×2﹣2＝6（cm）， ∴t＝6÷1＝6（秒）（舍去）； ②∠BED＝90°时，BE＝0.5cm， 点E在AB上时，t＝（4﹣0.5）÷1＝3.5（秒）． 综上所述，t的值为2或3.5． 故选：C． 【考点6：直角三角形斜边上的中线】 31．（2023秋•西安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC的中线， ∴CD＝AB＝AD＝DB， ∴∠B＝∠DCB， ∵∠CDA＝∠B+∠DCB＝120°， ∴∠B＝60°． 故选：D． 32．（2023秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（　　） A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线， ∴CD＝AB， ∵AB＝12， ∴CD＝6． 故选：D． 33．（2023秋•裕华区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（　　） A．20 B．12 C．16 D．13 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，CD＝BC＝4， ∵AD⊥BC，点E为AC的中点， ∴DE＝EC＝AC＝6， ∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16， 故选：C． 34．（2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝3，则AB＝　6　． 【答案】6． 【解答】解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝3， ∴AB＝2CD＝3×2＝6， 故答案为：6 【易错点1 等边三角形的性质】 1．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC的度数是（　　） A．60° B．115° C．120° D．130° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC＝∠ABC＝30°，∠ICB＝∠ACB＝30°， ∴∠BIC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故选：C． 2．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE的度数为 　75°　． 【答案】75°． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED＝＝75°． 故答案为：75°． 3．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 　30a　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手， 比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x， 则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a， 所以六边形周长是， 2x+2（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）＝7x+9a， 而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍， 即x+3a＝2x， 故x＝3a． 所以周长为7x+9a＝30a． 故答案为：30a． 4．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是　17　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，∵六个内角都是120°， ∴三角形的每个内角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形， ∴CE＝2，BF＝3， ∴BC＝2+4+3＝9， ∴AH＝AB﹣GH﹣BG＝9﹣1﹣3＝5， ∴DI＝AC﹣AI﹣CD＝9﹣5﹣2＝2，HI＝AH＝5， ∴该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5＝17． 故答案为17． 【易错点2 等边三角形的判定】 1．下列条件不能得到等边三角形的是（　　） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 【答案】A 【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形， 所以A选项符合题意； 所以B选项不符合题意； 因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形， 所以C不符合题意； 因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】A 【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形； ④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等． 所以都正确． 故选：A． 【易错点3 直角三角形斜边上的中线】 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝AB＝×6＝3． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$