专题特训(五)等腰三角形的“三线合一”-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

46 　 　专题特训（五）　等腰三角形的“三线合一” ▶ “答案与解析”见P25 类型一 运用“三线合一”求角的度数 1. 如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=48°, O 为△ABC 内一点,∠OAB=12°,∠OBC= 18°,则∠ACO+∠AOB 的度数为 ( ) A. 190° B. 195° C. 200° D. 210° (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BD 于 点D,∠BAD=20°.若BC=2BD,则∠BAC 的度数为 . 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC 和 ∠ACB 的平分线相交于点D,∠BAC 的平 分线交BC 于点E,∠ADC=125°.求∠ACB 和∠BAC 的度数. (第3题) 类型二 运用“三线合一”说明线段或角相等 4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36°, BD 是∠ABC 的平分线,交AC 于点D,E 是 AB 的中点,连接ED 并延长,交BC 的延长 线于点F,连接AF.求证: (1) EF⊥AB. (2) AF=AB+BC. (第4题) 5. 如图①,在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的 中点,点E 在AD 上. (1) 求证:BE=CE. (2) 如图②,若BE 的延长线交AC 于点F, 且BF⊥AC,∠BAC=45°,其他条件不变,求 证:AE=BC. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 47 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线. (1) 求证:AM∥BC. (2) 若DN 平分∠ADC,交AM 于点N,试 判断△ADN 的形状,并说明理由. (第6题) 类型三 运用“三线合一”说明线段之间的位置 关系 答案讲解 7. 如图,在等腰三角形ABC 中,AB= AC,D、E 分别为AB、AC 上的点, 且满足AE=AD. (1) 求证:∠ABE=∠ACD. (2) 连接AO,试判断AO 与BC 的位置关 系,并予以证明. (第7题) 8. ★在△ABC 中,AB=AC,点E 在AB 上,以 BE 为 底 边,在△ABC 内 作 等 腰 三 角 形 DBE,取CE 的中点G,连接AG、DG. (1) 如图①,若BE=AE,∠BDE=120°, ∠BAC=60°,求证:AG⊥DG. (2) 如 图 ②,若 BE ≠ AE,∠BDE + ∠BAC=180°,则问题(1)中的结论仍然成立 吗? 请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形 此时△ABC 的三边长分别为8cm、 8cm、5cm,符合三角形的三边关系. ② 当(BC+CD)-(AB+AD)= 3cm,即BC-AB=3cm时, ∵ BC=5cm, ∴ AB=5-3=2(cm). 此时△ABC 的三边长分别为2cm、 2cm、5cm,不符合三角形的三边关系. 综上所述,腰长为8cm. 10. B 11. 20°或40°或70°或100° [解析] 如图①,当 AD=AB 时, ∠ADB=∠ABC=40°.如图②,当 AD=BD 时,∠DAB=∠DBA= 40°,∴ ∠ADB=180°-2×40°= 100°.如图③,当BD=AB,且△ABD 是锐角三角形时,∠ADB=∠BAD= 1 2 (180°-∠ABC)=70°.如图④,当 AB=BD,且△ABD 是钝角三角形 时,∠BAD=∠ADB=12∠ABC= 20°.综上所述,∠ADB 的度数为20° 或40°或70°或100°. (第11题) 12. (1) 画法不唯一,如图①,线段 BD 即为所求作. (2) 画法不唯一,如图②,线段BE、 EF 即为所求作. (3) 设∠B=x. ① 如图③,当DE=AD 时,∠AED= ∠DAE. ∵ AD=CD, ∴ ∠CAD=∠C=24°. ∵ BE=DE, ∴ ∠B=∠EDB=x. ∴ ∠AED=∠DAE=2x. ∴ 在△ABC 中,24°×2+2x+x= 180°. ∴ x=44°. ∴ ∠B=44°. ② 如图④,当AE=AD 时,∠AED= ∠ADE. ∵ AD=CD, ∴ ∠CAD=∠C=24°. ∴ ∠ADB=48°. ∵ BE=DE, ∴ ∠B=∠EDB=x. ∴ ∠AED=∠ADE=2x. ∴ ∠ADB=2x+x=48°. ∴ x=16°. ∴ ∠B=16°. ③ 当EA=DE时,∠DAE=∠ADE. 同理,可得∠AED=2x,∠CAD= 24°. ∴ ∠DAE=∠ADE= 12 (180°- ∠AED)=90°-x. 此时∠CAB+∠C+∠B=90°-x+ 24°+24°+x≠180°,不合题意,舍去. 综上所述,∠B 的度数为44°或16°. (第12题) 专题特训（五）　等腰 三角形的“三线合一” 1. D [解析] 如图,过点C 作CD⊥ AB,垂足为D,延长BO 交CD 于点 P,连 接 AP.∵ ∠OBC =18°, ∠CBA=48°,∴ ∠ABP=∠CBA- ∠OBC=30°.∵ ∠CAB=∠CBA= 48°,∴ CA =CB.∵ CD ⊥AB, ∴ AD=BD.∴ CD 是AB 的垂直平 分线.∴ PA =PB.∴ ∠PAB = ∠PBA=30°.∴ ∠CAP=∠CAB- ∠PAB=18°.∵ ∠AOP 是△AOB 的一个外角,∴ ∠AOP=∠OAB+ ∠OBA=42°.∵ CD⊥AB,∴ ∠CDA= 90°.∴ ∠ACD=90°-∠CAD=42°. ∴ ∠AOP=∠ACD.∵ ∠PAB= 30°,∠OAB =12°,∴ ∠PAO = ∠PAB-∠OAB=18°.∴ ∠CAP= ∠OAP.∵ AP=AP,∴ △ACP≌ △AOP.∴ AC=AO.∵ ∠CAO= ∠CAP+∠OAP=36°,∴ ∠ACO= ∠AOC=72°.∵ ∠AOB =180°- ∠OAB-∠OBA=138°,∴ ∠ACO+ ∠AOB=210°. (第1题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 2. 40° 3. ∵ AB=AC,AE 平分∠BAC, ∴ AE⊥BC. ∴ ∠AEC=90°. ∵ ∠ADC=125°, ∴ ∠CDE=180°-∠ADC=55°. ∴ ∠DCE=90°-∠CDE=35°. 又∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACB=2∠DCE=70°. 又∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠ACB=70°. ∴ ∠BAC = 180° - (∠B + ∠ACB)=40°. 4. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=36°, ∴ ∠ABC=12× (180°-36°)=72°. 又∵ BD 是∠ABC的平分线, ∴ ∠ABD=12∠ABC=36°. ∴ ∠BAD=∠ABD=36°. ∴ AD=BD. 又∵ E 是AB 的中点, ∴ ED⊥AB. (2) 由(1),知ED⊥AB. ∵ E 是AB 的中点, ∴ EF 是AB 的垂直平分线. ∴ AF=BF. ∴ ∠FAB=∠FBA=72°. ∴ 易得∠AFB=∠FAC=36°. ∴ CF=AC. ∴ AB=AC=CF. ∴ AF=BF=CF+BC=AB+BC. 5. (1) ∵ AB=AC,D 是BC的中点, ∴ AD⊥BC. ∴ AD 垂直平分BC. ∴ BE=CE. (2) ∵ BF⊥AC,∠BAC=45°, ∴ 易 得 ∠AFE = ∠BFC =90°, △ABF 是等腰直角三角形. ∴ AF=BF,∠CBF+∠C=90°. ∵ AB=AC,D 是BC的中点, ∴ AD⊥BC. ∴ ∠EAF+∠C=90°. ∴ ∠EAF=∠CBF. 在△AEF 和△BCF 中, ∠EAF=∠CBF, AF=BF, ∠AFE=∠BFC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△BCF. ∴ AE=BC. 6. (1) ∵ AB=AC,AD⊥BC, ∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC. ∵ AM 平分∠EAC, ∴ ∠EAM=∠MAC=12∠EAC. ∴ ∠MAD = ∠MAC+ ∠CAD = 1 2∠EAC+ 1 2∠BAC= 1 2×180°= 90°. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADC=90°. ∴ ∠MAD+∠ADC=180°. ∴ AM∥BC. (2) △ADN 是等腰直角三角形. 理由:∵ AM∥BC, ∴ ∠AND=∠NDC. ∵ DN 平分∠ADC, ∴ ∠ADN=∠NDC=∠AND. ∴ AD=AN. 由(1),得∠MAD=90°, ∴ △ADN 是等腰直角三角形. 7. (1) 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠ABE=∠ACD. (2) AO⊥BC. ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠ACB. ∵ ∠ABE=∠ACD, ∴ ∠ABC - ∠ABE = ∠ACB - ∠ACD. ∴ ∠OBC=∠OCB. ∴ OB=OC. 又∵ AB=AC, ∴ 点O、A 在线段BC 的垂直平分 线上. ∴ AO⊥BC. 8. (1) 如图①,延长DG 至点H,使 GH=GD,连接AD、AH、CH. ∵ G 为CE 的中点, ∴ GC=GE. 在△CHG 和△EDG 中, ∵ GH =GD,∠CGH = ∠EGD, GC=GE, ∴ △CHG≌△EDG. ∴ CH=ED,∠HCG=∠DEG. ∵ △DBE 是等腰三角形,∠BDE= 120°, ∴ BD =ED =CH,∠BED = ∠EBD=30°. ∵ AB=AC,∠BAC=60°, ∴ △ABC为等边三角形. ∴ AC=BC,∠ACB=60°. ∵ BE=AE, ∴ CE⊥AB,∠ACE=12∠ACB=30°. ∴ ∠BED+∠DEG=90°,∠BAC+ ∠ACE=90°. ∴ ∠HCG=∠DEG=60°. ∴ ∠ACH=∠HCG-∠ACE=30°. ∴ ∠ABD=∠ACH. 在△ABD 和△ACH 中, ∵ AB =AC,∠ABD = ∠ACH, BD=CH, ∴ △ABD≌△ACH. ∴ AD=AH. ∵ HG=DG, ∴ AG⊥DG. (2) 问题(1)中的结论仍然成立. 理由:如图②,延长 DG 至点M,使 GM=GD,连接AD、AM、CM. ∵ G 为CE 的中点, ∴ GC=GE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 在△CMG 和△EDG 中, ∵ GM =GD,∠CGM = ∠EGD, GC=GE, ∴ △CMG≌△EDG. ∴ CM=ED,∠MCG=∠DEG. ∵ △DBE 是等腰三角形, ∴ BD = ED =CM,∠BED = ∠EBD=12 (180°-∠BDE). ∵ ∠BDE+∠BAC=180°, ∴ ∠BAC=180°-∠BDE. ∴ ∠BAC=2∠BED=2∠EBD. ∵ ∠BEC = ∠BED + ∠DEG = ∠BAC+∠ACE, ∴ ∠BED + ∠MCG = ∠BAC + ∠ACE. ∵ ∠MCG=∠ACM+∠ACE, ∴ ∠BED + ∠ACM + ∠ACE = 2∠BED+∠ACE. ∴ ∠ACM=∠BED=∠ABD. 在△ABD 和△ACM 中, ∵ AB =AC,∠ABD = ∠ACM, BD=CM, ∴ △ABD≌△ACM. ∴ AD=AM. ∵ MG=DG, ∴ AG⊥DG. (第8题) 探究图形变换类问题的 一般方法 探究图形变换类问题的一般 方法是猜想并验证,也就是根据所 给的特殊图形得到的结论进行合 理猜想,并结合问题条件,运用图 形的性质,将问题逐步转化,经过 推理、论证,得出结论. 第2章复习 ［知识体系构建］ 两端 两端 顶角平分线 有两个角 相等 所在直线 一半 ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] 选项A、C、D中 的图形都能找到这样的一条直线,使 图形沿一条直线折叠,直线两旁的部 分能够互相重合,∴ 是轴对称图形. 选项B中的图形不能找到这样的一 条直线,使图形沿一条直线折叠,直线 两旁的部分能够互相重合,∴ 不是轴 对称图形. [跟踪训练] 1. D 典例2 D [解析] 如图,连接CO. ∵ ∠AOB = 140°,∴ ∠OAB + ∠OBA = 180° - 140° = 40°. ∴ ∠OCA + ∠OAC + ∠OCB + ∠OBC=180°-40°=140°.∵ O 是三 边垂直平分线的交点,∴ OA=OB= OC.∴ ∠OCA=∠OAC,∠OCB= ∠OBC.∴ ∠OCA+∠OCB=70°. ∴ ∠CAB+∠CBA=180°-70°= 110°.∵ AI 平 分∠CAB,BI 平 分 ∠CBA,∴ ∠IAB = 12 ∠CAB , ∠IBA = 12 ∠CBA.∴ ∠IAB + ∠IBA= 12 (∠CAB+∠CBA)= 55°.∴ ∠AIB=180°-55°=125°. (典例2图) [跟踪训练] 2. B [解析] ∵ P 为 △ABC 三 边 垂 直 平 分 线 的 交 点, ∴ PA =PB =PC.∴ ∠PCA = ∠PAC=22°,∠PBC=∠PCB=33°, ∠PAB = ∠PBA.∵ ∠PCA + ∠PAC + ∠PBC + ∠PCB + ∠PAB + ∠PBA = 180°, ∴ ∠PAB=∠PBA=35°. 典例3 (1) ∵ ∠C=3∠B,∠C=75°, ∴ ∠B=25°. ∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=12∠BAC=40°. ∴ ∠ADE=∠BAD+∠B=65°. ∵ AE⊥BC, ∴ ∠AED=90°. ∴ ∠DAE=90°-∠ADE=90°- 65°=25°. (2) 设∠B=α,则∠C=3α. ∴ ∠BAC=180°- ∠B - ∠C= 180°-4α. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=12∠BAC=90°-2α. ∵ DF⊥AD, ∴ ∠ADF=90°. ∴ ∠AFD=90°-∠BAD=2α. ∵ ∠AFD=∠B+∠BDF, ∴ ∠BDF=α=∠B. ∴ BF=DF. [跟踪训练] 3. (1) 如图.∵ EF∥ AD, ∴ ∠1=∠4,∠2=∠P. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠4=∠P. ∴ AF=AP. ∴ △APF 是等腰三角形. (2) AB=PC. 理由:如图.∵ CH∥AB, ∴ ∠5=∠B,∠H=∠1. ∵ EF∥AD, ∴ ∠1=∠3. ∴ ∠H=∠3. 在△BEF 和△CDH 中, ∠B=∠5, ∠3=∠H, BE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72