第01讲 空间向量及其运算（10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解空间向量的有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．掌握空间向量的线性运算、数量积、空间向量基本定理及坐标表示，凸显数学运算、直观想象的核心素养； 3．了解空间直角坐标系，会求线段中点坐标及线段长度，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 空间向量的概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量． ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 知识点2 空间向量的线性运算 空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广． 1.加法：向量加法的三角形法则和平行四边形法则 三个不共面的向量和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量. 2.减法：向量减法的三角形法则 3.数乘向量： 4.空间向量的线性运算 (1)设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，. （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 知识点3 空间向量的数量积 1.向量a与b的夹角：平面内，给定两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，做向量OA=a,OB=b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作<a,b>,a⊥b⇔<a，b>＝(a，b为非零向量) 2.数量积的定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，其几何意义a与b的数量积等于a在b上的投影a、数量与b的长度乘积，规定零向量与任意向量的数量积为0. 3.数量积的性质： （1）a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； （2）|a|2＝a2=a·a （3）|a·b|≤|a|·|b| （4）(λa）·b＝λ（a·b）. （5）a·b=b·a（交换律） （6）(a＋b)·c＝a·c +b·c（分配律） 知识点4 空间向量基本定理 1.共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使. 2.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使. 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z， 使.其中x＋y＋z＝1. 3.向量p的表达式称为向量a,b,c的线性组合或线性表达式. 空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}叫做空间向量的一个基底．a，b，c都称作基向量． 如果，则称为向量p在基底{a，b，c}下的分解式 知识点5 空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.空间中向量的坐标：一般地，如果向量的基底{e1，e2，e3}中 ,e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解式称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组（x,y,z）为向量p的坐标，记作p=（x,y,z），其中，x,y,z都称为向量p的坐标分量. 2.空间向量的运算与坐标的关系 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a|＝ 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 3.空间直角坐标系 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. 结论：空间直角坐标系中的中点坐标公式：A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2）的中点M（x,y,z） （x,y,z）=（ ， ， ）. 考点一：空间向量的有关概念 例1（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【变式1-2】（多选）（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【变式1-3】（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 考点二：空间向量的线性运算 例2.（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 考点三：空间向量的数量积及其应用 例3. （2024·贵州·模拟预测）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 【变式3-1】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 考点四：空间向量的共线、共面问题 例4.（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【变式4-1】（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【变式4-3】（2022·高二课时练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则_________． 考点五：空间向量基本定理及其应用 例5. （23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【变式5-2】（多选）（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【变式5-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 考点六：空间向量的坐标运算 例6. （23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【变式6-1】（23-24高二上·山东东营·阶段练习）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 【变式6-3】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且，求向量的坐标. 考点七：空间向量的平行问题 例7. （23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 【变式7-1】（22-23高二上·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（20-21高二上·天津滨海新·阶段练习）已知点、，若，则点的坐标是 . 【变式7-3】（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 考点八：空间向量的垂直问题 例8.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【变式8-1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式8-2】（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式8-3】（2022·高二课时练习）已知，，若，，且平面，则_________． 考点九：空间向量模长问题 例9. （23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 考点十：空间向量的夹角问题 例10. （23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【变式10-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【变式10-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 2．（2023高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 3．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 4．（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 6．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，，则 . 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    8.（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 9.（20-21高二·江苏·课后作业）已知，，M是线段AB的中点，求，以及点M的坐标． 10．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 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（2）|a|2＝a2=a·a （3）|a·b|≤|a|·|b| （4）(λa）·b＝λ（a·b）. （5）a·b=b·a（交换律） （6）(a＋b)·c＝a·c +b·c（分配律） 知识点4 空间向量基本定理 1.共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使. 2.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使. 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z， 使.其中x＋y＋z＝1. 3.向量p的表达式称为向量a,b,c的线性组合或线性表达式. 空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}叫做空间向量的一个基底．a，b，c都称作基向量． 如果，则称为向量p在基底{a，b，c}下的分解式 知识点5 空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.空间中向量的坐标：一般地，如果向量的基底{e1，e2，e3}中 ,e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解式称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组（x,y,z）为向量p的坐标，记作p=（x,y,z），其中，x,y,z都称为向量p的坐标分量. 2.空间向量的运算与坐标的关系 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a|＝ 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 3.空间直角坐标系 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. 结论：空间直角坐标系中的中点坐标公式：A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2）的中点M（x,y,z） （x,y,z）=（ ， ， ）. 考点一：空间向量的有关概念 例1（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【变式1-1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 【变式1-2】（多选）（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可. 【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 【变式1-3】（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 考点二：空间向量的线性运算 例2.（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连，，根据空间向量的线性运算分析求解. 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 【变式2-2】（23-24高一下·吉林长春·期中）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的定义及题设条件即可化简得到结论. 【详解】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 考点三：空间向量的数量积及其应用 例3. （2024·贵州·模拟预测）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 【答案】 【分析】由正方体的外接球的半径求出正方体的棱长，根据公式计算体积即可；将化简为，结合的范围即可求解． 【详解】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积， 因为 ， 因为点在正方体表面上运动， 所以，故范围为 故答案为：，．    【变式3-1】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量数量积的运算律计算即可． 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】 在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 【变式3-3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 考点四：空间向量的共线、共面问题 例4.（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 【变式4-1】（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果. 【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 【变式4-3】（2022·高二课时练习）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则_________． 【答案】 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 考点五：空间向量基本定理及其应用 例5. （23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 【变式5-2】（多选）（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【分析】利用向量基底的意义，逐项判断得解. 【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 【变式5-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 考点六：空间向量的坐标运算 例6. （23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可； （2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可； 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 【变式6-1】（23-24高二上·山东东营·阶段练习）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，分析可得，利用空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】由题意，点、， 是线段上的点，且，则， 设点，则，即，解得， 故点的坐标为. 故选：A. 【变式6-2】（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 【答案】3 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【详解】设，即， 故，解得. 故答案为：3 【变式6-3】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且，求向量的坐标. 【答案】 【分析】方法一：根据空间向量的线性运算表示出，然后结合坐标轴正向的单位向量可求向量的坐标；方法二：先表示出坐标，然后根据中点求解出的坐标，结合的坐标可求结果. 【详解】设正方形的边长为a，∵，且PA，AD，AB两两互相垂直， 故可设， 以为坐标轴正向的单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系. 方法一：∵ ， ∴. 方法二：∵， ∴N点的坐标为， ∵M点的坐标为， ∴. 考点七：空间向量的平行问题 例7. （23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式7-1】（22-23高二上·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 【变式7-2】（20-21高二上·天津滨海新·阶段练习）已知点、，若，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标. 【详解】设，由可得， 则，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据向量平行得到关于m的等式，解出m即可. 【详解】因为与平行， 所以存在实数使即， 所以解得 故答案为：4. 考点八：空间向量的垂直问题 例8.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 【变式8-1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为，，且，所以， 解得. 故选：D 【变式8-2】（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】，， 由与互相垂直，得，即， 所以. 故选：D 【变式8-3】（2022·高二课时练习）已知，，若，，且平面，则_________． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，再根据线面垂直得到，，由数量积的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为平面，平面，所以，， 所以，解得，因此． 故答案为： 考点九：空间向量模长问题 例9. （23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，以分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，， 则，则， 因为平面，所以， 即，解得， 所以，所以， 又，所以当时，即是的中点时，取得最小值， 当或，即与点或重合时，取得最大值， 所以线段长度的取值范围为. 故选：C 【变式9-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 【变式9-2】（23-24高二上·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量坐标运算求出，利用向量模的坐标运算可得结果. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 【变式9-3】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】先计算出，再运用向量的模长公式展开，代入即得. 【详解】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 考点十：空间向量的夹角问题 例10. （23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 . 【答案】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 【变式10-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 【变式10-2】（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的垂直的坐标表示求出m的值，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 【变式10-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，，且与夹角为， 则，，， 所以， 由题可知，解得. 故答案为：. 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模. 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 2．（2023高二上·全国·专题练习）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】 根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】 由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 3．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由向量共面列式求解即得. 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 4．（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 5．（多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 【答案】AC 【分析】根据空间向量的运算求得正确答案. 【详解】对A，，A选项正确； 对B，，B选项错误； 对C，，C选项正确； 对D，， 所以向量的夹角为，D选项错误. 故选：AC 6．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知向量，，则 . 【答案】0 【分析】先求与的坐标，再进行数量积运算即可. 【详解】由， 则， 则， 故答案为：0. 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）    【答案】 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 8.（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 9.（20-21高二·江苏·课后作业）已知，，M是线段AB的中点，求，以及点M的坐标． 【答案】，， 【分析】根据空间直角坐标系下两点的中点坐标公式及空间向量的坐标表示计算可得； 【详解】解：因为，，所以 ，因为是线段的中点，所以 10．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$