精品解析：重庆市第八中学2023-2024学年九年级下学期第七次作业数学试题

重庆八中2023—2024学年度（下）初三年级第七次作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，在数轴上，表示数的点到原点的距离叫做绝对值，根据绝对值的意义进行解答即可. 【详解】解：的绝对值是7， 故选：B 2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看到图形即可作出判断． 【详解】观察几何体可得，这个几何体的主视图是四个正方形组成，分上下两层，上层一个靠左，下层三个一排． 故选：B． 【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键． 3. 如图，直线a、b被直线c所截，同位角是（ ） A. B. C. D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可得出答案． 【详解】解：同位角是， 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出与的面积比，进而得出答案． 【详解】解：与关于原点位似，， 与相似比为：：， 与面积之比为：， ， ， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键． 5. 已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第二、四象限内 C. 在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D. 时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】因为， 所以A正确，不符合题意； 因为反比例函数， 所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大； 所以B、C正确，不符合题意； 当时，或， 所以D错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键． 6. 用正六边形按如图所示规律拼成“蜂窝图”，其中第1个图案中有4个正六边形，第2个图案中有7个正六边形，第3个图案中有10个正六边形，第4个图案中有13个正六边形，则第2024个图案中的：“ ”的个数是（ ） A. 6075 B. 6073 C. 6071 D. 6069 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有个正方形是解题的关键．再把代入计算即可． 【详解】解：第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形，…， ∴第n个图案中有个正方形， ∴第2024个图案中正方形的个数为：， 故选：B． 7. 估计的值应在（ ）． A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可． 【详解】解：＝＝， ∵9<12<16， ∴3<<4， ∴5＜＜6， ∴的值应在5和6之间． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法． 8. 如图，是的切线，切点为点H，连接、分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，根据切线的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和三角形内角和定理，得到，，利用勾股定理求出，然后利用圆周角定理得到，从而得到，推出，即可求出的长． 详解】解：连接、， 是的切线，切点为点H， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题是圆和三角形的综合题，考查了切线的性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 9. 如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：延长交于H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 而， ∴， ∵，正方形的边长为4， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解． 10. 已知正整数a，b，c，d，满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有5组解． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解的含义． 将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴，，，是该四元方程的一组解； 故①正确， 设，，，，其中n是正整数， ∴ ， ∴， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解； 故②正确， ∵，，且c、d均为正整数， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∴时，或或， 同理时，或， 时，， ∴若，则该四元方程有6组解． 故③错误， 综上可知，正确的是①②， 故选：C 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂和特殊角的三角函数值，代入特殊角三角函数值和计算零指数幂后进行加法计算即可． 【详解】， 故答案为： 12. 正方形的一个内角是正n边形一个外角的3倍，则_______． 【答案】12##十二 【解析】 【分析】先根据正方形的一个内角为，进而得正n边形的外角为，再根据外角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的一个内角为，正方形的一个内角是正n边形一个外角的3倍 ∴正n边形的外角为， ∴正n边形的边数为：． 故答案为：12． 13. 在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出树状图，得出所有可能的结果和符合事件要求的所有可能的结果，用概率公式求得即可． 【详解】如图， ， 共有9种等可能性的结果，其中两次摸到不同数字的结果有4种， 两次摸到不同数字的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查用树状图或列表法求简单事件的概率，正确画出树状图是解题的关键． 14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求法，仔细观察图形，利用图形是解题的关键． 根据阴影部分面积扇形扇形,根据圆的性质，证明为等边三角形，即可得出的度数，即可解答． 【详解】解：扇形与扇形的弧交于点， 为等边三角形， ， 四边形为正方形，， ，, ． 故答案为： 17. 若关于y的不等式组有解且最多4个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式组，注意分式方程取增根的情况；分别解不等式组与分式方程，由题意可得a的取值范围，进而得整数a的值，即可求得整数的和． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 因不等式组有解，则； 由于不等式组有解且最多4个整数解，则； 解关于x的分式方程，得， 由题意得：且， 解得：且； 综上，则a的范围为：且， 所以整数a的值为：0，1，2，其和为； 故答案为：3． 18. 对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的_______；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，整式的加减运算的应用，新定义运算，理解新定义是解题的关键．根据新定义运算直接判断，再根据新定义的含义列式计算即可；根据新定义先分别计算，，再根据与，k能被13整除，进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴是和对称数， ∵， ∴不是和对称数， ∵是和对称数， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵最小， ∴，，取最大， ∴ ， ∴能够被整除，而，取最大， ∴，，经检验符合题意； 故答案为：；； 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号， 然后合并同类项即可； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，平分交于点F，连接． （1）用尺规作图：过点F作的垂线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证．他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空． 证明：四边形是矩形 ，， _______ _______ ∴， _______ 在中， _______ 在和中 ． 【答案】（1）画图见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定和性质，余角的性质，矩形的性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法画图即可； （2）根据证明三角形全等，再根据全等的性质证明． 【详解】解：（1）如图： 证明：（2）四边形是矩形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中 ． 21. 有研究发现，即使是不做运动，只要每天到公园待上20分钟，也能让状态更好，称为“公园20分钟效应”，小明想要了解市民日常在公园停留的时间长短，选择了家附近某公园，分“青少年组”和“中老年组”各自随机调查了20位市民平均每天在公园停留的时长（单位：分钟），并对收集的数据进行了整理、描述和分析（停留时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： “青少年组”停留时长在C等级中的全部数据为： 40，40，40，50，50，50，50，50，50 “中老年组”停留时长中，，两等级的数据个数相同；，两等级的全部数据为： 40，40，40，40，40，40，40，50，50，50 两组市民停留时长统计表 组名 平均数 中位数 众数 青少年组 45 a 50 中老年组 45 40 b 青少年组停留时长扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______；_______；青少年组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为_______； （2）根据以上数据分析，从两组市民的停留时长来看，哪一类人群更喜欢在公园休闲？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）某天入园市民约800人，请你估计当天共有多少位市民的停留时长低于40分钟？ 【答案】（1），， （2）青少年组更喜欢在公园休闲；理由见解析 （3）估计当天共有位市民的停留时长低于40分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数、众数、样本估计总体，解题的关键是熟练掌握众数、中位数的定义． （1）根据中位数的定义、众数的定义求出a、b的值，再利用乘以青少年组扇形统计图中C的占比即可得到扇形的圆心角的度数； （2）根据中位数、众数进行解答即可； （3）用800乘以40人中A、B两等级的人数占比即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图可知，青少年组停留时长A组和B组的人数共有（人）， ∴青少年组停留时长排在第10和第11位的在C等级中，且排在第10和第11的都是50， ∴青少年组停留时长的中位数； “中老年组”停留时长中，，两等级的全部数据为：40，40，40，40，40，40，40，50，50，50， 共计10人，则B，D两等级的总人数为（人）， ∵，两等级的数据个数相同， ∴，两等级的数据个数分别为， ∴，两等级的数据中出现次数最多的不可能超过5次， ∴“中老年组”停留时长中出现次数最多的数据一定为40，共出现7次， ∴“中老年组”停留时长的众数； 青少年组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：青少年组更喜欢在公园休闲；理由：青少年组停留时长的中位数和众数都高于“中老年组”停留时长的中位数和众数． 【小问3详解】 解：∵青少年组停留时长A组和B组的人数共有（人），“中老年组”停留时长等级的数据个数为， ∴（人） 即估计当天共有位市民的停留时长低于40分钟． 22. 喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数． 【答案】（1）增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个 （2）乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解此题的关键． （1）设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，根据“工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务”，列出方程，解方程即可得到答案； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前2天完成任务”，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 个， 增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； 【小问2详解】 解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个． 23. 如图，在等腰中，，，，动点P从B点出发，沿运动（包含端点），点P运动到点C时停止运动，过点P作交于点Q，记，点的运动路程为x． （1）直接写出y关于x的函数关系式，注明x的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象； （2）根据所画的函数图象，写出该函数的一条性质_______； （3）在射线上有一动点M，始终满足，结合函数图象：当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1），画图见解析 （2）函数当时，函数取最大值． （3）x的取值范围为：． 【解析】 【分析】（1）过点A作于点D，根据面积求出，根据勾股定理求出，再进行分类讨论①当点P在上时，；②当点P在上时，，根据相似三角形对应边成比例即可解答； （2）根据图象分析其最值，即可解答； （3）根据（1）中得出的关于x的表达式，结合，列出方程结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点D， ∵，， ∴，解得：． ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， ①当点P在上时，， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 整理得：，， ∴； ②当点P在上时，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 综上：， 画出图形如下： ； 【小问2详解】 解：由图可知，该函数当时，函数取最大值． 【小问3详解】 解：如图，画出函数在上的图象得： 当时， ∴， ∵， ∴； 结合图象可得：时， x的取值范围为：． 【点睛】本题为三角形综合题，考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，反比例函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 24. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条跑步锻炼线路，如图： ①；②．经勘测，点B在点A的正南方，点B在点C的北偏西方向，点D在点C的正西方6千米处，点B在点D的北偏西方向，点A在点C的西偏北方向．（参考数据：，，，，） （1）求的长度． （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1） （2）小明决定选择一条较短线路进行锻炼，他应该选择线路②． 【解析】 【分析】（1）如图，过作，过作，证明，结合等腰三角形的判定可得答案； （2）解：如图，延长，交于点，可得，求解，，结合，求解，，，再分别计算两条线路的路程，再比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过作，过作，延长，交于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴①的路程为；； ②的路程为． ∴小明决定选择一条较短线路进行锻炼，他应该选择线路②． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，方位角的含义，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，理解题意，构建适当的直角三角形是解本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，两点，交y轴于点C，点D是线段的中点． （1）求抛物线表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，点Q为线段的中点，求周长的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，点E为y轴上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，若，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求解其中一个点Q的坐标的过程写出来． 【答案】（1） （2）最大值为：，； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解，，，为，设，可得，可得，证明，证明，可得，再建立二次函数求解即可； （3）求解抛物线的对称轴为直线，而原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，可得原抛物线的平移方式可看作每次向左平移2个单位，同时向上平移4个单位，求解新抛物线为，由，可得，，，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点且交x轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 解：当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∵点D是线段的中点． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴为， 设， ∴， ∴， ∵，点Q为线段的中点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 当时，的周长取最大值， 最大值为：， 此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， 而原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点， 而， ∴原抛物线的平移方式可看作每次向左平移2个单位，同时向上平移4个单位， 设原抛物线y平移后的抛物线为， 当时，， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴新抛物线为， ∵， ∴，，， 如图，过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴； 如图，同理可得：， ∴， ∴， ∴， 综上：或 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，涉及待定系数法，二次函数的平移，二次函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 26. 如图，在和中，，，． （1）如图1，当点在同一直线上时，连接，满足，，求的面积； （2）如图2，当点在同一直线上时，连接，为的中点，连接，试猜想线段与关系； （3）如图3，若，为边上一动点，连接，将沿所在直线翻折，点D的对应点为，为中点，连接，请直接写出当取最小值时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）6 （2），，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设交于点O，根据，得到，结合，推出点C是的中点，由等腰直角三角形的性质得到，推出，进而证明，由即可求解； （2）延长到T，使得，连接，延长交于点．证明，推出，再利用三角形中位线定理即可证明，在根据三角形内角和定理得到，由平行线的性质得到，即可证明； （3）取的中点，的中点，连接，根据，是等腰直角三角形，求出，从而得到，根据，可得出当且仅当三点共线时取最小值，此时，，推出，由折叠的性质得到，，证明四点共圆，得到，由，从而得到，推出，证明，得到，求出，即可求出的长． 【小问1详解】 解：设交于点O， ，点在同一直线上， ， ， ， ， ， 点C是的中点， 中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：延长到T，使得，连接，延长交于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ，，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：取的中点，的中点，连接， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 当且仅当三点共线时取最小值， 此时，， ， 由折叠的性质得到，，， ，即， 设， ， ，即， ， 四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆八中2023—2024学年度（下）初三年级第七次作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 7 C. D. 2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线a、b被直线c所截，的同位角是（ ） A. B. C. D. 以上都不是 4. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若，则为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象分别位于第二、四象限内 C. 在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D. 时， 6. 用正六边形按如图所示的规律拼成“蜂窝图”，其中第1个图案中有4个正六边形，第2个图案中有7个正六边形，第3个图案中有10个正六边形，第4个图案中有13个正六边形，则第2024个图案中的：“ ”的个数是（ ） A 6075 B. 6073 C. 6071 D. 6069 7. 估计的值应在（ ）． A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 如图，是的切线，切点为点H，连接、分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A. B. C. D. 10. 已知正整数a，b，c，d，满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有5组解． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 正方形的一个内角是正n边形一个外角的3倍，则_______． 13. 在三张大小、质地均相同卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 16. 如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留） 17. 若关于y的不等式组有解且最多4个整数解，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 18. 对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的_______；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时，_______． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19 计算： （1） （2） 20. 如图，在矩形中，平分交于点F，连接． （1）用尺规作图：过点F作的垂线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证．他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空． 证明：四边形是矩形 ，， _______ _______ ∴， _______ 在中， _______ 在和中 ． 21. 有研究发现，即使是不做运动，只要每天到公园待上20分钟，也能让状态更好，称为“公园20分钟效应”，小明想要了解市民日常在公园停留的时间长短，选择了家附近某公园，分“青少年组”和“中老年组”各自随机调查了20位市民平均每天在公园停留的时长（单位：分钟），并对收集的数据进行了整理、描述和分析（停留时长用x表示，共分为四个等级：其中，，，），下面给出部分信息： “青少年组”停留时长在C等级中的全部数据为： 40，40，40，50，50，50，50，50，50 “中老年组”停留时长中，，两等级的数据个数相同；，两等级的全部数据为： 40，40，40，40，40，40，40，50，50，50 两组市民停留时长统计表 组名 平均数 中位数 众数 青少年组 45 a 50 中老年组 45 40 b 青少年组停留时长扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______；_______；青少年组扇形统计图中C所在扇形的圆心角的度数为_______； （2）根据以上数据分析，从两组市民的停留时长来看，哪一类人群更喜欢在公园休闲？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）某天入园市民约800人，请你估计当天共有多少位市民的停留时长低于40分钟？ 22. 喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数． 23. 如图，在等腰中，，，，动点P从B点出发，沿运动（包含端点），点P运动到点C时停止运动，过点P作交于点Q，记，点的运动路程为x． （1）直接写出y关于x函数关系式，注明x的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象； （2）根据所画的函数图象，写出该函数的一条性质_______； （3）在射线上有一动点M，始终满足，结合函数图象：当时，直接写出x的取值范围． 24. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条跑步锻炼线路，如图： ①；②．经勘测，点B在点A的正南方，点B在点C的北偏西方向，点D在点C的正西方6千米处，点B在点D的北偏西方向，点A在点C的西偏北方向．（参考数据：，，，，） （1）求的长度． （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，两点，交y轴于点C，点D是线段的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，点Q为线段的中点，求周长的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，点E为y轴上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，若，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求解其中一个点Q的坐标的过程写出来． 26. 如图，在和中，，，． （1）如图1，当点在同一直线上时，连接，满足，，求的面积； （2）如图2，当点在同一直线上时，连接，为的中点，连接，试猜想线段与关系； （3）如图3，若，为边上一动点，连接，将沿所在直线翻折，点D的对应点为，为中点，连接，请直接写出当取最小值时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$