精品解析：辽宁省辽阳市第二中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题

辽宁省辽阳市二中协作校2023-2024学年下学期第二次月考 八年级学情调研三数学试卷 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、∵m＞n，∴，故本选项不合题意； B、∵m＞n，∴，故本选项不合题意； C、∵m＞n，∴，故本选项不合题意； D、∵m＞n，∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】A． ，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B． ，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意； C． ，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意； D． ，是因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式． 4. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 42° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据∠AOC的度数为105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，可得∠AOB＝65°，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝70°，然后求出∠B即可． 【详解】解：∵∠AOC的度数为105°，∠AOD＝∠BOC＝40°， ∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°， ∵△AOD中，AO＝DO， ∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°， ∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°， ∴∠C＝∠B＝45°， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答． 6. 若不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组的解集可列出关于的不等式，根据不等式的基本性质求出的关系即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是不等式组的解集的确定方法， 解一元一次不等式组确定解集应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 同时考查了不等式的基本性质： （1）不等式的两边同加（或同减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）不等式的两边同乘（或同除）同一个正数（或式子），不等号的方向不变； （3）不等式的两边同乘（或同除）同一个负数（或式子），不等号的方向改变． 7. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象可知：直线经过点（1，0）、（3，4）,写出函数值大于0小于4时自变量的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知：直线经过点（1，0）、（3，4） ∴当y=0时，x=1; 当y=4时，x=3; ∴关于x的不等式0＜kx+b＜4的解集为1＜x＜3． 故选C. 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系等知识，解题的关键是熟练掌握数形结合思想，属于中考常考题型． 9. 如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于， 是的角平分线，， 故选：C． 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP． 【详解】解：①如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③正确； ④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO＋∠OPE＝60°， ∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明：“在中，若，则”，则应先假设__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键． 根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论 所以先假设 故答案为：． 12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论． 在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， ， ； 当在外部时，如图2， 为高， ， ， ， ， 而， ； 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 13. 在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1． 则2x﹣1≥﹣3 ∵x△k＝2x﹣k≥2， ∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3， ∴k＝﹣4． 故答案填：﹣4． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 14. 如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________． 【答案】（8088，0） 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再找到图形变换规律为：△OAB每连续3次旋转后与原来的状态一样，然后求得△2022的横坐标，进而得到答案. 【详解】∵A（-3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB==5， ∴△ABO的周长=3+4+5=12， 图形变换规律为：△OAB每连续3次后与原来的状态一样， ∵2022÷3=674， ∴△2022的直角顶点是第674个循环组第三个三角形的直角顶点， ∴△2022的直角顶点的横坐标=674×12=8088， ∴△2022的直角顶点坐标为（8088，0）． 故答案为（8088，0）． 【点睛】本题主要考查图形的变换规律，勾股定理，解此题的关键在于准确理解题意找到题中图形的变化规律． 15. 若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负整数解，则满足条件的所有整数的和为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，关键是能准确求解，并根据题意确定字母参数的取值． 先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解关于的方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 由题意得， 解方程得，， 关于的方程有非负整数解， 且为奇数， 解得，， 的取值范围为：， 为奇数， 整数的取值为，，，，1，3， 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. （1）因式分解：． （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用提公因式法因式分解求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，非负整数解为0 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解为， ∴不等式组的非负整数解为0． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 【答案】（1）见解析 （2）图形见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图，求一次函数解析式． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P．再利用一次函数解析式求点坐标即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求，． 【小问3详解】 作点B关于轴的对称点，再连接与轴的交点即为所求点P， 由题意可得，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴． 19. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 （2）共有5种购买方案，最低费用是8440元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； 【小问2详解】 解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 20. 如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【小问1详解】 作，垂足为点 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） 【小问2详解】 ，（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 21. 如图1，在中，，D、E是AC边上的两点，且满足．以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，其他条件不变．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据可知，再由图形旋转的性质可知，，故可得出，由全等三角形的性质即可得出，故可得出结论； （2）把逆时针旋转，由于是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，，所以，由（1）证，再根据勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵由旋转而成， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 同（1）可得， ∴． 【点睛】本题考查的是图形的旋转及勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 22. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3）当或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 23. 【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得： 【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为________________； （2）说明是等腰三角形； （3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】 数学阅读： 证明：如图2，连接， ∵，， ， ∴， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 推广延伸： 解：，理由如下： 如图3，连接， ∵， ， ， ∴， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 解决问题： （1）； （2）证明： 由得， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴是等腰三角形． （3）或． 【解析】 【分析】数学阅读：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：． 推广延伸：如图3，连接，由与面积之和等于的面积可得：． 解决问题：（1）将和联立，解方程组，即可得C点的坐标． （2）求出A、B 两点的坐标，即可得的长，再根据勾股定理求出的长，即可得证． （3）分两种情况：M点在射线上，和M点在射线的反向延长线上，运用上面的结论即可求出点M的坐标． 【详解】数学阅读：略 推广延伸：略 解决问题： 解：（1）联立，得， ∴两条直线的交点C的坐标为； （2）略 （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点． 图 在，， 由图②得， ∴， ∴， ∴M点的纵坐标为2， 由，得， ∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得， 图 ∴， ∴M点的纵坐标为4， 由，得， ． 综上，M点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念．能综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省辽阳市二中协作校2023-2024学年下学期第二次月考 八年级学情调研三数学试卷 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 42° D. 40° 6. 若不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明：“在中，若，则”，则应先假设__________. 12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为______． 13. 在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____． 14. 如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________． 15. 若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负整数解，则满足条件的所有整数的和为__． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. （1）因式分解：． （2）利用因式分解计算：． 17. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为，， （1）画出△ABC关于原点O对称的； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，写出点坐标 （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出P点坐标 19. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 20. 如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 21. 如图1，在中，，D、E是AC边上的两点，且满足．以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，其他条件不变．求证：． 22. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 23. 【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得： 【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为________________； （2）说明是等腰三角形； （3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $