上海市松江区第四中学2023-2024学年高一下学期期末测试数学试卷

淞江四中2023学年第二学期高一数学期末学情诊断试卷 (满分:150分 时间:120分钟) 命题教师:周淑丽 审题教师:周钢 注意事项: 1. 答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在 答题纸的相应位置直接填写结果 1.已知向量ā-(2,1),-(4,t),若ā/,则实数t= 2. 半径为6,圆心角等于"的扇形的面积是 3. 已知复数z满足(1+i)z-1+3i,则复数Imz-__ 4. 已知=1,-2,且(,b=60”,则+孔- 5.若tanθ=2,则2sing-cose sinf+2cosf 6.在 ABC中,角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,若b^2+c^2}-a}=bc,则A=_ 7.已知向量ā-(3,4),5-(-1,1),则向量a在5方向上的投影向量的坐标为 8. 若函数(x)=4Ain(x+)4>0.o→0.0<)的部分图像如图所 示,则函数的解析式/(x)=_ 9. 若x-"是方程2sin(x+g)-1的解,其中ae(0,2n),则 .第8题图. 10. 设函数f(x)=3sin(x+②)+cos(x+②)对任意的实数×均满足 f(-x)=/(x),则tan=__. 11. 如图,直径AB一4的半圆,D为圆心,点C在半圆孤上 ZADC-".线段AC上有动点P,则DP.B的最小值 第11题图 为. log:xxo 12.已知函数/(x)- 若方程f(x)一a恰有四个不同的实数解,分 别记为x、×、×、×,则×+×+×+×的取值范围是。 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) _ _ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 设在复平面内,复数3-1和2+3i对应的点分别为A,B,则向量0表示的复数所对应的点 位于 _ ) C. 第三象限 A. 第一象限 B. 第二象限 D. 第四象限 ,_ 15. 下列函数中,既是偶函数又是周期为“的函数为 _ B. v=sinxl C. y=sin2x A. y=cosx D. y-tan2x 16. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式:。*-cosx+isinx,其中e是自然对数的 底数,i是虚数单位,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的 关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选 ( 项正确的是 ) A.的虚部为i B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 C. sinx-e“-e-* 三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤. 17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 已知a=(2,-1),5-(3,1). (1)设向量a,5的夹角为e,求9的值;1 (3)若向量a-2与+5互相垂直,求的值.~3 18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 己知i为虚数单位,复数z=(m2-3m-4)+(m2+m)i. (1)当实数取何值时,z是纯虚数; (2)当m=1时,复数:是关于x的方程x2+x+a=0的一个根,求实数P与?的值 19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 在平面直角坐标系中,角“的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经 过点P(-3.4). (1)求sin2a的值 (2)若g_(),0o-=). 且sin(x+R)-,求cosB的值. 20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题 满分8分 在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地,如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐 休闲的需求,在四边形ABCD区域中,将三角形ABD区域设立成花弃观赏区,三角形BCD区 域设立成烧烤区,边AB、BC、CD.DA修建观赏步道,边BD修建隔离防护栏,其中CD=100米 (1)若BD-1003米,求烧烤区的面积? (2)为了保证烧烤区的占地面积最大,那么需要修建多长的隔离防护栏 (3)在(2)条件下,为了使得花弃观赏区的面积也尽可能大,则应如何设计观赏步道? D ,l。 烧烤区 花卉观赏区 21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题 满分8分 己知O为坐标原点,对于函数f(x)=asinx+bcosx,称向量OM=(a.b)为函数f(x)的互生 向量,同时称函数f(x)为向量O的互生函数 (1)设函数(x)-co(-+x)+cos(-),试求/(x)的互生向量OV:(u (2)记向量OW-(45,-1)的互生函数为/(x),求函数y-f(2x)在x [0=]上的严格增区间:c-1 (3)记OM=(2,0)的互生函数为f(x),若函数g(x)=f(x)+2v3lcosx-k在[0,2x]上有四个零 点,求实数k的取值范围