专题02 分解因式（三大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题02 分解因式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：十字相乘法 要点一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则. 要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若， 则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 ，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点2：提取公因式法与分组分解法 1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2、符号语言： 3、提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4、注意事项：因式分解一定要彻底 知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 【典例例题】 题型一：十字相乘法 【典例1-1】（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【典例1-2】（23-24八年级上·天津和平·期末）分解因式： (1)___________； (2)___________； (3)（要求写过程）． 【变式1-1】（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）因式分 【变式1-2】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）分解因式：． 【变式1-3】（23-24八年级上·四川南充·期末）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例1：分解因式：； 原式； 例2：求代数式的最小值． 原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)求多项式的最小值； (3)已知，求m，n的值． 题型二：提取公因式法与分组分解法 【典例2-1】（2023八年级下·全国·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·湖北·周测）因式分(1) (2) 【变式2-2】（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 【变式2-3】（2022七年级上·上海·专题练习）当时，代数式 【变式2-4】（2024·内蒙古赤峰·三模）分解因式： ． 题型三：关于x的二次三项式的因式分解 【典例3-1】（22-23九年级·江苏南京·自主招生）因式分(1)； (2)． 【典例3-2】（2024·广西桂林·二模）把因式分解得，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（2024·山东威海·中考真题）因式分 ． 【变式3-2】小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片__________张，3号卡片__________张； (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________； (4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式，并画出拼图的图形． 【变式3-3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分； (2)因式分． 【变式3-4】（23-24八年级上·河北张家口·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． (3)解决问题：已知、、、为的三边长，，且为等腰三角形，求的周长． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·河南南阳·三模）下列等式，成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南驻马店·一模）下列等式，成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）对进行因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北唐山·二模）对比和 因式分解的结果，共同的整式部分为（      ） A． B． C． D． 7．（2024·河北·二模）将多项式“？”因式分解，结果为，则“？”是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东聊城·三模）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法： 甲：整式P、Q的公因式为a；          乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1． 其中正确的是 （        ） A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对 二、填空题 12．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分 ； 13．（2024·四川内江·一模）分解因式： ． 14．（2024·陕西西安·三模）分解因式： ． 15．（2024·辽宁朝阳·三模）分解因式： ． 16．（2024·四川凉山·二模）因式分解为： ． 17．（2024·河北石家庄·中考模拟）已知，则的值为 ． 18．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知a，b，c是的三边长，则代数式 0（填“＞”，“＜”或“=”）． 19．（2024·吉林·三模）因式分 ． 三、解答题 20．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务． 材料一 材料二 如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程： 设，原式 (1)填空：因式分解_______； (2)因式分解（写出详细步骤）：； (3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由． 21．（23-24九年级上·山东威海·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 22．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）因式分解下列各式： (1)， (2)， (3) 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 24．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分； (2)若，求式子的值． 25．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 26．（22-23八年级下·四川达州·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式． 分解步骤： 1、分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角； 2、分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 3、交叉相乘，求代数和，使其等于一次项； 4、观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 例如：        分析：    观察得出：两个因式分别为与 原式 ③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）______； ②（十字相乘法）______； (2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分解因式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：十字相乘法 要点一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则. 要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若， 则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号； （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即 ，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点2：提取公因式法与分组分解法 1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2、符号语言： 3、提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 4、注意事项：因式分解一定要彻底 知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 【典例例题】 题型一：十字相乘法 【典例1-1】（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【解析】（1） ， ； （2） ， ； （3） ， ． 【典例1-2】（23-24八年级上·天津和平·期末）分解因式： (1)___________； (2)___________； (3)（要求写过程）． 【解析】（1）根据十字相乘法，得 原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 【变式1-1】（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）因式分 【解析】（1）， ； （2） 【变式1-2】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）分解因式：． 【解析】 ． 【变式1-3】（23-24八年级上·四川南充·期末）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例1：分解因式：； 原式； 例2：求代数式的最小值． 原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)求多项式的最小值； (3)已知，求m，n的值． 【解析】（1） ； （2）原式 ， ∵ 多项式 有最小值，最小值是； （3）， ， 即， ，， 解得：，， 的值为，的值为3． 题型二：提取公因式法与分组分解法 【典例2-1】（2023八年级下·全国·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【典例2-2】（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C． 【变式2-1】（23-24九年级上·湖北·周测）因式分(1) (2) 【解析】（1） ； （2） ． 【变式2-2】（2024·上海徐汇·三模）在实数范围内分解因式， ． 【答案】 【解析】 ． 【变式2-3】（2022七年级上·上海·专题练习）当时，代数式 【答案】 【解析】∵，， ∴ ． 故答案为：0． 【变式2-4】（2024·内蒙古赤峰·三模）分解因式： ． 【答案】 【解析】 ， 故答案为：． 题型三：关于x的二次三项式的因式分解 【典例3-1】（22-23九年级·江苏南京·自主招生）因式分(1)； (2)． 【解析】（1） （2） 【典例3-2】（2024·广西桂林·二模）把因式分解得，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】∵ ， 又∵把因式分解得， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（2024·山东威海·中考真题）因式分 ． 【答案】 【解析】 故答案为：． 【变式3-2】小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片__________张，3号卡片__________张； (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________； (4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式，并画出拼图的图形． 【解析】（1）由图得，正方形面积为，或为， ， 故答案为：； （2）， 需要2号卡2个，三号卡3个， 故答案为：2，3； （3）长方形面积为，或为， ， 故答案为：； （4）， 如图所示， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分； (2)因式分． 【解析】（1） ； （2） ． 【变式3-4】（23-24八年级上·河北张家口·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． (3)解决问题：已知、、、为的三边长，，且为等腰三角形，求的周长． 【解析】（1） ； （2） ； （3）， ， ， ，， ，， 是等腰三角形， 或(不符合三角形三边关系，舍去) 的周长． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·河南南阳·三模）下列等式，成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】．，该选项错误，不合题意； ．，该选项错误，不合题意； ．，该选项错误，不合题意； ．，该选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2024·河南驻马店·一模）下列等式，成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A. ，原选项不符合题意； B. ，原选项符合题意； C. ，原选项不符合题意； D. ，原选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】， ， ， ， ， ， 各因式的系数都是整数， 满足条件的整数的个数为． 故选：B． 4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）对进行因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选：A． 6．（2024·河北唐山·二模）对比和 因式分解的结果，共同的整式部分为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 共同的整式部分为， 故选：C． 7．（2024·河北·二模）将多项式“？”因式分解，结果为，则“？”是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴“？”是． 故选：A． 8．（2024·山东聊城·三模）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，故原选项不成立； B、，故原选项不成立； C、，故原选项不成立； D、，故原选项成立； 故选D． 9．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A． 10．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．与不是同类项，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 11．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法： 甲：整式P、Q的公因式为a；          乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1． 其中正确的是 （        ） A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对 【答案】B 【解析】由题意可知, ∴整式的公因式为，故甲不对 ∵ ∴当a的逐渐增大，趋近于1，故乙正确 故选:B 二、填空题 12．（23-24七年级上·上海静安·期中）因式分 ； 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 13．（2024·四川内江·一模）分解因式： ． 【答案】 【解析】 ， 故答案为：． 14．（2024·陕西西安·三模）分解因式： ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 15．（2024·辽宁朝阳·三模）分解因式： ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 16．（2024·四川凉山·二模）因式分解为： ． 【答案】 【解析】 故答案为：． 17．（2024·河北石家庄·中考模拟）已知，则的值为 ． 【答案】4 【解析】， ． 故答案为：4． 18．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知a，b，c是的三边长，则代数式 0（填“＞”，“＜”或“=”）． 【答案】 【解析】； ，，是的三边长， ，， ，， ， 代数式， 故答案为：． 19．（2024·吉林·三模）因式分 ． 【答案】 【解析】 故答案为： 三、解答题 20．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务． 材料一 材料二 如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程： 设，原式 (1)填空：因式分解_______； (2)因式分解（写出详细步骤）：； (3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由． 【解析】（1）， 故答案为：． （2） 设，则原式 （3）是等边三角形，理由如下； ∵ ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形 21．（23-24九年级上·山东威海·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 22．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）因式分解下列各式： (1)， (2)， (3) 【解析】（1） （2） （3） 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． （6）原式 ． 24．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分； (2)若，求式子的值． 【解析】（1） （2）∵， ∴， ∴ 25．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 【解析】（1） ； （2） ∴因式能被9整除． 26．（22-23八年级下·四川达州·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式． 分解步骤： 1、分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角； 2、分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 3、交叉相乘，求代数和，使其等于一次项； 4、观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 例如：        分析：    观察得出：两个因式分别为与 原式 ③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）______； ②（十字相乘法）______； (2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状． 【解析】（1）① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$