专题01 数与式的运算 （四大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题01 数与式的运算 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式； （2）立方差公式； （3）三数和平方公式； （4）两数和立方公式； （5）两数差立方公式． 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． （2）二次根式的意义 知识点4：分式 （1）分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 上述性质被称为分式的基本性质． （2）繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【典例例题】 题型一：绝对值 【典例1-1】（2024·陕西西安·三模）的值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【变式1-1】（2024·重庆綦江·二模）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”．例如：对2，3，4作“差绝对值运算”，得到，则： ①对4，3，1，5作“差绝对值运算”的结果是13； ②对，1，2（，为常数）进行“差绝对值运算”的结果是，若，则； ③对，，（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有7种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【变式1-4】（2024·河北石家庄·三模）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值． (2)求的值． (3)若的值为非负数，求x的取值范围． 题型二：乘法公式 【典例2-1】（2024·江苏南通·二模）已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ． 【典例2-2】（2024·北京朝阳·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【变式2-1】（2024·四川达州·二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级下·河南新乡·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·四川南充·三模）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·江苏泰州·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：二次根式 【典例3-1】（2024·山西晋中·三模）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和， 使且，则可变为，即变成，从而使得化简．例如：，．请你仿照上例，化简： ． 【典例3-2】（2024·四川眉山·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 【变式3-1】（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【变式3-2】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【变式3-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 题型四：分式 【典例4-1】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【典例4-2】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式4-1】（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 【变式4-2】（2024·四川成都·二模）已知，则代数式的值为 ． 【变式4-3】（2024·四川成都·一模）若实数x满足，则的值为 ． 【变式4-4】（2024·黑龙江大庆·三模）已知，，则 ． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 2．（2024·重庆·模拟预测）对于关于，的多项式，（、为常数），下列结论正确的个数有（ ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③当，时，若，则； ④当，时，若，则． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2024·重庆九龙坡·三模）在多项式中，每次任选其中的个括号改变选定的括号前面的符号（，为整数，将“”变为“”，“”变为“”），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如： ，当时，， 当时，，所以或者． ①至少存在一种“变号绝对”操作，使得操作后化简的结果是单项式； ②若一种“变号绝对”操作，其化简的结果是，则； ③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共12种． 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）将有序实数对进行操作后可得到一个新的有序实数对，将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作例如，经过一次操作后得到，经过二次操作后得到，下列说法： ①若经过五次操作后得到，则； ②在平面直角坐标系中将所对应的点标记为点，将经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点，点，若线段平行于轴，则的面积为； ③若，，则经过三次操作后的结果为 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏南京·三模）如图，数轴上点两点所表示的数分别为，下列各式中：①；②；③；④，计算结果一定是正数的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2024·云南昆明·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ． 9．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 10．（2024·山东济宁·一模）已知，且，则 . 11．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）代数式有意义时，字母x的取值范围是 ． 12．（2024·甘肃平凉·一模）当 时，函数有意义． 13．（2024·海南海口·二模）化简： ． 14．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 15．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 三、解答题 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 17．（24-25九年级上·全国·假期作业）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，， ，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． ， ，即时取等号． 的最小值为4. 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 18．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 19．（2024·北京延庆·模拟预测）已知，求代数式的值． 20．（2024·广东佛山·三模）（1） （2）先化简，再求值：，其中 21．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 22．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）已知正实数x满足． (1)求的值； (2)求与的值． 23．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知，求代数式的值． 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，后求值：，其中． 25．（2024·北京大兴·二模）已知，求代数式的值． 26．（2024·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中． 27．（2024·广东广州·三模）已知． (1)化简A； (2)若a、b是方程的两根，求A的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式的运算 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． 知识点2：乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式； （2）立方差公式； （3）三数和平方公式； （4）两数和立方公式； （5）两数差立方公式． 知识点3：二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式． （1）分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． （2）二次根式的意义 知识点4：分式 （1）分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 上述性质被称为分式的基本性质． （2）繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【典例例题】 题型一：绝对值 【典例1-1】（2024·陕西西安·三模）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 的值为， 故选：C． 【典例1-2】（2024·江苏盐城·三模）a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】（2024·重庆綦江·二模）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”．例如：对2，3，4作“差绝对值运算”，得到，则： ①对4，3，1，5作“差绝对值运算”的结果是13； ②对，1，2（，为常数）进行“差绝对值运算”的结果是，若，则； ③对，，（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有7种． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①∵对4，3，1，5作“差绝对值运算”得到 ， 故①正确； ②对，1，2（，为常数）进行“差绝对值运算”得到 ，， ∴ 设，则， 即上式表示数轴上表示m的点到1和2的距离之和小于1，但这样的点不存在， 故若，则不成立；故②错误， ③对，，（互不相等）进行“差绝对值运算”得到 或或或或或共6种情况，故③错误； 故选：B 【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵实数在数轴上对应的点在原点左侧， ∴该数是一个负数， ∵该点到原点的距离为个单位长度， ∴这个数的绝对值是， ∴这个数是， 故选：． 【变式1-3】定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【解析】（1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 【变式1-4】（2024·河北石家庄·三模）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值． (2)求的值． (3)若的值为非负数，求x的取值范围． 【解析】（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B， ∴点B所表示的数比点A表示的数大2， ∵点A表示，点B所表示的数为m， ； （2）， ； （3）的值为非负数， ， ， ， ． 题型二：乘法公式 【典例2-1】（2024·江苏南通·二模）已知实数a，b满足，若，则p的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴，即， ∴ ， 当时取等号， ∴p的最小值为， 故答案为：． 【典例2-2】（2024·北京朝阳·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】∵， ∴， 又 ． 故选：A． 【变式2-1】（2024·四川达州·二模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设菱形的两条对角线长分别为， 则， ∴， ∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的边长， 故选：． 【变式2-2】（23-24九年级下·河南新乡·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，运算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（2024·四川南充·三模）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， ， ． 故选：B． 【变式2-4】（2024·江苏泰州·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 题型三：二次根式 【典例3-1】（2024·山西晋中·三模）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和， 使且，则可变为，即变成，从而使得化简．例如：，．请你仿照上例，化简： ． 【答案】/ 【解析】 故答案为： 【典例3-2】（2024·四川眉山·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】由题意，得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式3-1】（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【解析】 ， 故答案为：． 【变式3-2】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【解析】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【解析】（1）， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2） ； （3）∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 题型四：分式 【典例4-1】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【解析】，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 【典例4-2】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） ． 【变式4-1】（2024·四川眉山·中考真题）已知（且），，则的值为 ． 【答案】 【解析】， ， ， ， ， ， ……， 由上可得，每三个为一个循环， ， ． 故答案为：． 【变式4-2】（2024·四川成都·二模）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【解析】原式 ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【变式4-3】（2024·四川成都·一模）若实数x满足，则的值为 ． 【答案】 【解析】， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【变式4-4】（2024·黑龙江大庆·三模）已知，，则 ． 【答案】 【解析】对已知等式整理得， ， ， ， 又， ， 又， ， 即． 故答案为：． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【解析】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. ∵，，， 最小的数是. 故选：D. 2．（2024·重庆·模拟预测）对于关于，的多项式，（、为常数），下列结论正确的个数有（ ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③当，时，若，则； ④当，时，若，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】解∶ ①当时，， 若，则， ∴， 即或，故结论①错误； ②∵无论取任何实数，等式都恒成立， 即， ∴， ∴，故结论②正确； ③当，时， ， 即， 解得：，故结论③正确； ④当，时， ， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：， 当时，，此方程无解； 当时，， 解得：， ∴或，故结论④错误； 综上所述，正确的结论有个． 故选：B． 3．（2024·重庆九龙坡·三模）在多项式中，每次任选其中的个括号改变选定的括号前面的符号（，为整数，将“”变为“”，“”变为“”），化简后再求绝对值，称这种操作为“变号绝对”操作，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如： ，当时，， 当时，，所以或者． ①至少存在一种“变号绝对”操作，使得操作后化简的结果是单项式； ②若一种“变号绝对”操作，其化简的结果是，则； ③所有可能的“变号绝对”操作后所得代数式化简后的结果一共12种． 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①使操作后化简的结果为单项式，可以只有常数项或只有含的一次项的式子， 如：， 故①正确； ②∵，，，组成结果为时，只能是或， ∴，   ， 当时，，当时，， 故②正确； ③利用列举法可得每一整式有两种变化，个整式，共有种操作， 由②可知，4个整式符合都相反时化简结果相同， 所以只考虑种操作， 分别列举得结果为，，，，，，，， 其中是唯一的，其余都有两种结果， ∴所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有种不同的结果， ∴③错误， 综上，正确的结果是①②，共2个． 故选：C． 4．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 5．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）将有序实数对进行操作后可得到一个新的有序实数对，将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作例如，经过一次操作后得到，经过二次操作后得到，下列说法： ①若经过五次操作后得到，则； ②在平面直角坐标系中将所对应的点标记为点，将经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点，点，若线段平行于轴，则的面积为； ③若，，则经过三次操作后的结果为 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①将经过次操作得，经过次操作得，经过次操作得，经过次操作得，经过次操作得， ∵将经过次操作得， ∴有，， 解得，， ∴①不正确，不符合题意； ②由题干中所提供的操作方法可知， 将经过二次操作可得，五次操作可得，即，点， ∵线段平行于轴， ∴， 解得， ∴，，， ∴的面积为， ∴②不正确，不符合题意； ③由题干中所提供的操作方法可知，将经过三次操作得， ，， ， ∵， ∴， ∴ ， ∴将经过三次操作后的结果为或， ∴③不正确，不符合题意； 综上所述，正确的结论是个， 故选：A． 6．（2024·江苏南京·三模）如图，数轴上点两点所表示的数分别为，下列各式中：①；②；③；④，计算结果一定是正数的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】由数轴可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴可能是正数，也可能是负数， ∴不一定是正数， ∴计算结果一定是正数的有个， 故选：． 7．（2024·云南昆明·二模）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B：，故B不符合题意； C：，故C不符合题意； D：，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵互为相反数，为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 【答案】 【解析】∵，，是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 10．（2024·山东济宁·一模）已知，且，则 . 【答案】13或7 【解析】， ； ， ， ，； 当时，； 当时，； 综上，的值为13或7； 故答案为：13或7． 11．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）代数式有意义时，字母x的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】根据题意得：，， 且， 即自变量x的取值范围是且． 12．（2024·甘肃平凉·一模）当 时，函数有意义． 【答案】且 【解析】∵有意义， ∴，解得且， 故答案为：且． 13．（2024·海南海口·二模）化简： ． 【答案】 【解析】 ， 故答案为： 14．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 【答案】/0.125 【解析】， 得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 15．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【解析】（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 三、解答题 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 【解析】， ， ， ． 17．（24-25九年级上·全国·假期作业）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，， ，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． ， ，即时取等号． 的最小值为4. 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 【解析】（1）当时，， ， ， 即时，的最小值为2； （2）， ， ， 又， ，即， 的最小值为． 18．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 【解析】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 19．（2024·北京延庆·模拟预测）已知，求代数式的值． 【解析】 ． ， ， 原式． 20．（2024·广东佛山·三模）（1） （2）先化简，再求值：，其中 【解析】（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：； （2） ， 当时，原式． 21．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【解析】（1）根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是， 故答案为：． （3）根据阴影部分面积相等可得：， 故答案为：． （4） ． 22．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）已知正实数x满足． (1)求的值； (2)求与的值． 【解析】（1）∵， ∴． 又x为正实数， ∴； （2）． ， ∵ ∴， 解得：． 23．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知，求代数式的值． 【解析】原式， ， ∵， ∴， ∴原式． 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，后求值：，其中． 【解析】原式 ， 当时，原式． 25．（2024·北京大兴·二模）已知，求代数式的值． 【解析】 ． ∵， ∴， ∴原式． 26．（2024·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中． 【解析】原式 ； 当时，原式． 27．（2024·广东广州·三模）已知． (1)化简A； (2)若a、b是方程的两根，求A的值． 【解析】（1） ． （2）∵a、b是方程的两根， ∴， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$