湖南省岳阳市湘阴县第一中学2023-2024学年高三下学期期中数学试卷

2023-2024学年湖南省岳阳市湘阴一中高三（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数的共轭复数为，且满足，则在复平面内的对应点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设，，则（　　）

A.  B.  C.  D.

3. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡五千四百人，西乡四千四百八十人，南乡五千二百四十人，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡有5400人，西乡有4480人，南乡有5240人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是（    ）

A. 102 B. 112 C. 130 D. 136

4. 下列选项中叙述正确的是

A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B. 锐角是第一象限的角

C. 第二象限的角比第一象限的角大

D. 终边不同的角同一三角函数值不相等

5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn+1<0的正整数n的值为（    ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

6. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是

A.  B.  C.  D.

7. 某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（    ）

A. 24 B. 10 C. 16 D. 12

8. 设，其中，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（    ）

A. 若，则 B. 的最大值为

C.  D. 角的最小值为

11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（    ）

A. 若n为质数，则 B. 数列单调递增

C. 数列的最大值为1 D. 数列为等比数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知定义域为的偶函数，满足对任意的，有，且当时，．若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是________．

13. 已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________．

14. 祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线，，围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V=__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 设数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式．

（2）设数列满足，且数列的前项和为，求证：．

16. 如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且.

（1）证明：直线平面；

（2）若四棱锥的体积为，是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

17. 已知函数（为常数），是函数的一个极值点.

（1）求实数的值；

（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值；

（3）求证：.

18. 已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.

（1）求抛物线的方程；