1.3 集合的基本运算（分层作业，10大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.3集合的基本运算 题型1 交集的概念及运算 1．集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 3．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知阴影部分表示的集合为，先求出集合，再求两集合交集即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 由，得，所以， 因为， 所以， 故选：B 题型2 根据交集结果求集合或参数 1．已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答. 【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意. 故选：A 2．下列命题正确的是（    ） A．若不等式的解集为，则实数 B．集合，，若，则满足条件的所有取值是或 C．已知集合，，则满足条件的集合有3个 D．设集合，，则 【答案】AC 【分析】A,对分三种情况讨论得解,该选项正确； B, 满足条件的所有取值是或或0，所以该选项错误； C, 满足条件的集合有3个,所以该选项正确； D. ，所以该选项错误. 【详解】A.当时，，所以，无解；当时，，所以，所以，显然不满足题意，所以该选项正确； B. 集合，,所以,则满足条件的所有取值是或或0，所以该选项错误； C. 已知集合，，则满足条件的集合有3个，它们是，所以该选项正确； D. ，所以该选项错误. 故选：AC 3．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若与“相交”，则可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先求出集合M，再由集合M，N的特点并结合给定定义确定出集合M，N恰有一个公共元素即可得解. 【详解】依题意，，显然集合M，N都含有两个元素， 由两个集合“相交”的意义得：集合M，N恰有一个公共元素， 或者，解得或， 所以可能等于4或1. 故选：AD 题型3 并集的概念及运算 1．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人．则两科都在90分以上的人数为 ． 【答案】8 【分析】由题意设出集合，，得到集合，以及中元素的个数，即可得出中元素的个数. 【详解】设集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有25个元素， 集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有21个元素， 表示两科中至少有一科在90分以上的学生，则集合中有38个元素， 表示两科都在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 所以两科都在90分以上的人数为8人. 故答案为：8. 2．设{语文，数学，英语，德育}，{数学，语文，体育}．则 ， ． 【答案】 {语文，数学} {语文，数学，英语，德育，体育} 【分析】根据交集和并集的定义求和即可. 【详解】根据题意得{语文，数学}，{语文，数学，英语，德育，体育}. 故答案为：①{语文，数学}；②{语文，数学，英语，德育，体育}. 3．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 【答案】3 【分析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，作出韦恩图，数形结合计算即得. 【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)， 因此，至少看了一支短视频的有(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为. 故答案为：3 题型4 根据并集结果求集合或参数 1．已知集合，若，则（    ） A．0或5 B．0或3 C．1或 D．1或3 【答案】B 【分析】 根据对进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】由于，所以或， 当时，，满足， 当时，解得或， 当时，，满足， 当时，不满足集合元素的互异性. 综上所述，的值为或. 故选：B 2．已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性分情况讨论求解即可. 【详解】因为中有三个元素，且，，所以或． ①当时，解得或，均符合题意； ②当时，解得，符合题意． 故选：C 3．下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可. 【详解】对于选项A和B，，， 若，则的取值范围是，所以A错误，B正确； 对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误. 故选：BD. 题型5 补集的概念及运算 1．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成， 而，，则， 得， 故所求集合为. 故选：C. 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的定义与运算求出，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由题意知，，又， 所以. 故选：A 3．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由集合交并补的定义运算. 【详解】， ，，B选项正确； ，，或，ACD选项都不符合. 故选：B 题型6 根据补集结果求集合或参数 1．已知全集，集合，，则的值为 A．3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】试题分析：由 考点：集合的补集运算 2．已如集合，则 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可． 【详解】解：由10，即0，即解得， 即，则 故选D． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 3．已知，且，，，则 . 【答案】 【分析】根据集合间的运算结果推出，并画出韦恩图验证，得到答案. 【详解】由题意得， 又，故， 又，故，且，， 因为，故，， 因为，故，， 综上：，画出韦恩图如下： 故答案为： 题型7 交并补混合运算 1．已知集合，，，则 ． 【答案】 【分析】借助集合交并补的概念计算即可得. 【详解】由，，故， 故. 故答案为：. 2．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 3．已知非空集合，同时满足以下四个条件： ①； ②； ③； ④． 注：其中、分别表示、中元素的个数． （1）如果集合中只有一个元素，那么 ； （2）如果集合中有3个元素，则有序集合对的个数是 ． 【答案】 3 【分析】由题意，结合交集和并集的定义，注意检验条件，可得答案. 【详解】（1）如果集合中只有一个元素，则，由③得：，④，可得，即，可得，； （2）如果集合中有3个元素，则，可得，由，可得中至少含2个元素，且，可得为二元集，，可得，可得．则，；或，；或，． 故答案为：；3． 题型8 根据交并补混合运算求集合或参数 1．若，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合运算结果作出图，由图可求得结果. 【详解】根据集合运算结果可得图如下图所示， . 故选：C. 2．已知集合，若，则实数a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】先由得到，然后根据集合相等求出的值，最后还要注意检验. 【详解】由可知，故，解得或. 当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确. 经检验可知符合题意. 故选：C. 3．已知集合，，若，则实数的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果． 【详解】，且，， ∴的值可以为． 故选：D． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 题型9 利用Venn图求集合 1．已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据韦恩图及补集、交集的定义判断即可. 【详解】由韦恩图可知包含区域①④， 所以表示的区域为①. 故选：A 2．某校向5班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余 17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】D 【分析】设出未知数，作出韦恩图，得到方程，求出答案. 【详解】设对A，B都赞成的学生人数为，则对A，B都不赞成的学生人数为， 作出韦恩图如下： 故， 解得， 故对A，B都赞成的学生人数为21. 故选：D 3．某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设立集合，利用图分析集合之间的关系，运算即可得解. 【详解】解：设全班学生构成的集合为全集，围棋爱好者构成的集合为， 足球爱好者构成的集合为，由题意，中有个元素，中有个元素， 全集中有个元素， ∵同时爱好这两项的学生构成的集合就是，    ∴要使中人数最多，即元素个数最多，需满足是的真子集，如上图， ∴.    要使中人数最少，即元素个数最少，需满足，如上图， ∴，解得：. ∴. 故选：D. 题型10 容斥原理的应用 1．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 2．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 3．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设对两项运动都喜爱的人数为，根据已知作出venn图，根据venn图列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】设对两项运动都喜爱的人数为 根据已知作出venn图，    根据venn图可得，， 解得. 故选：C. 1．设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 2．已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 3．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值. 【答案】 【分析】根据描述法的定义，分别化简集合 ，先根据，可得，再由，所以，进而可得结果. 【详解】 ，因此且， 所以，即； 又， 因此 即，，所以； 又， 因此 即，，所以. 【点睛】集合的基本运算的关注点： （1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算 题型1 交集的概念及运算 1．集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 题型2 根据交集结果求集合或参数 1．已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   2．下列命题正确的是（    ） A．若不等式的解集为，则实数 B．集合，，若，则满足条件的所有取值是或 C．已知集合，，则满足条件的集合有3个 D．设集合，，则 3．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若与“相交”，则可能等于（    ） A． B． C． D． 题型3 并集的概念及运算 1．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人．则两科都在90分以上的人数为 ． 2．设{语文，数学，英语，德育}，{数学，语文，体育}．则 ， ． 3．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 题型4 根据并集结果求集合或参数 1．已知集合，若，则（    ） A．0或5 B．0或3 C．1或 D．1或3 2．已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为（    ）． A． B． C． D． 3．下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 题型5 补集的概念及运算 1．已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 题型6 根据补集结果求集合或参数 1．已知全集，集合，，则的值为 A．3 B． C．3 D． 2．已如集合，则 A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知，且，，，则 . 题型7 交并补混合运算 1．已知集合，，，则 ． 2．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 3．已知非空集合，同时满足以下四个条件： ①； ②； ③； ④． 注：其中、分别表示、中元素的个数． （1）如果集合中只有一个元素，那么 ； （2）如果集合中有3个元素，则有序集合对的个数是 ． 题型8 根据交并补混合运算求集合或参数 1．若，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则实数a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 3．已知集合，，若，则实数的值可以为（  ） A． B． C． D． 题型9 利用Venn图求集合 1．已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．某校向5班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余 17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 3．某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D． 题型10 容斥原理的应用 1．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 2．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 3．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 1．设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 2．已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 3．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$