1.4.2 充要条件（分层作业，8大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.4.2充要条件 题型1 判断命题的充分不必要条件 1．已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 题型2 根据充分不必要条件求参数 1．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 2．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 判断命题的必要不充分条件 1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 根据必要不充分条件求参数 1．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 2．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 题型5 充要条件的证明 1．已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．下列说法正确的是（ ） A．命题“存在素数是偶数”是真命题 B．是x的必要不充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 3．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，如下四个结论正确的是（    ） A．； B．； C．； D．整数、属于同一“类”的充要条件是“”． 题型6 探求命题为真的充要条件 1．设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 2．“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 题型7 根据充要条件求参数 1．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 2．“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型8 既不充分也不必要条件 1．“”是“是质数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 3．从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的 ； （2）“，”是“”的 ； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的 ； （4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的 ． 1．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列说法正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 3．已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 4．若“”是“”的充要条件，则的值为 . 5．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 6．试用子集与推出关系来说明命题是的什么条件． （1）：，，：且； （2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2充要条件 题型1 判断命题的充分不必要条件 1．已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式得到，，充分性成立，举出反例，故必要性不成立. 【详解】a，b均为正实数，，故， ， 充分性，，，故，充分性成立， 必要性，，不妨设，满足， 但不满足，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 3．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】由题，可得；但由，可得或， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A． 题型2 根据充分不必要条件求参数 1．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 2．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义求出a的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是. 故选：C 3．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件的定义求解. 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 题型3 判断命题的必要不充分条件 1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和和必要条件的概念推理即可． 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 2．“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 3．常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义求解 【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 题型4 根据必要不充分条件求参数 1．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 2．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可. 【详解】由，解得， 所以， 又由，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以集合真包含于， 所以，解得， 经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故选:A. 3．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据条件转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】，得或， 若“”是“”的必要不充分条件，得或， 所以，即的最大值为. 故答案为： 题型5 充要条件的证明 1．已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．下列说法正确的是（ ） A．命题“存在素数是偶数”是真命题 B．是x的必要不充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】由特殊值2判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断BCD． 【详解】2既是素数又是偶数，A正确； ，但时，不一定成立，如， 因此是的充分不必要条件，B错； ，但时，如时， ，因此不是充要条件，C错； 时一定有，但时，如时不成立， 所以“ab>4”是“a>2，b>2”的必要不充分条件，D正确， 故选：AD． 3．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，如下四个结论正确的是（    ） A．； B．； C．； D．整数、属于同一“类”的充要条件是“”． 【答案】CD 【分析】根据新定义判断A、B、C；结合充分、必要性定义判断D. 【详解】A，，错误； B，，错误； C，，正确； D，因为每个整数除以5后的余数只有，没有其他余数，故原命题成立. 所以整数、属于同一“类”的充要条件是“”， 证明如下： （充分性），不妨，则； （必要性），令，即除以5后余数相同，属于同一“类”.正确. 故选：CD 题型6 探求命题为真的充要条件 1．设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（    ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分别验证充分性和必要性得到答案. 【详解】若是方程的根，则； 若，则，即是方程的根. 综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件. 故选：A. 2．“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A 3．已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 【答案】B 【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论． 【详解】对于A选项，，解得：或， 所以，但， 故为的充分不必要条件，故A错误； B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确； C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误； D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等， 但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等， 例如：中，，斜边， 中，，则斜边， 故为的必要不充分条件． 故选：B． 题型7 根据充要条件求参数 1．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 2．“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为，解得答案. 【详解】，，即，即. 故选：. 【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力. 3．已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由两个集合相等可求得参数． 【详解】由已知，， 由p是q充要条件得，因此解得， 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系．掌握这个关系是解题基础． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件M． 题型8 既不充分也不必要条件 1．“”是“是质数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用质数的定义，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，所以481不是质数， 故“”是“是质数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 3．从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“”是“”的 ； （2）“，”是“”的 ； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的 ； （4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的 ． 【答案】 充要条件 既不充分又不必要条件 充分而不必要条件 充要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一分析判断即可得出答案. 【详解】解：（1）若，则，则充分性成立， 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件； （2）当，则，所以充分性不成立， 当，则， 即推不出，，则必要性不成立， 所以“，”是“”的既不充分又不必要条件； （3）两个角是对顶角，则两个角相等，则充分性成立， 当两个角相等，两个角不一定是对顶角，如两角为同位角，则必要性不成立， 所以“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分而不必要条件； （4）若，则是方程的一个根成立，则充分性成立， 当是方程的一个根时，则有，则必要性成立， 所以“”是“是方程的一个根”的充要条件. 故答案为：（1）充要条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充分而不必要条件；（4）充要条件. 1．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件. 故选:A. 2．下列说法正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 【答案】D 【解析】利用充分不必要条件的定义可判断选项A；由的单调性可判断选项B；等价于，可判断选项C和D． 【详解】对于A，可得或，即是的充分不必要条件，错误； 对于B，由在上单调递增，可得等价于，即是的充要条件，错误； 对于C，等价于，即是的充要条件，错误； 对于D，等价于，则是的必要不充分条件，正确； 故选：D 3．已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 4．若“”是“”的充要条件，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，由此求出的值，即可求出结果. 【详解】由题意可知，，解得，所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了充要条件的应用，属于基础题. 5．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 【答案】为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可. 【详解】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1). 显然 ,即. 充分性:在中,,不是直角. 假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D. 则 . 即,与“”矛盾. 故为锐角,即为锐角三角形.    (2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然: .即. 充分性:在中,, 不是直角,假设为锐角,如图(1), 则 .即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形. 【点睛】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明,证明时注意用反证法,属于中等题型. 6．试用子集与推出关系来说明命题是的什么条件． （1）：，，：且； （2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行． 【答案】（1）充要条件 （2）充分非必要条件 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． （2）一组对边平行的四边形，可能是梯形或者平行四边形． 【详解】解：（1）因为 ，则是的充要条件． （2）一组对边平行的四边形，可能是梯形或者平行四边形，所以 ，则是的充分非必要条件． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$