1.2.1（第1课时）必要条件与充分条件（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

1.2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 知识点一 命题 ★1．概念 可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题. 判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题. ★2．命题的形式 一般地,一个命题由条件和结论两部分组成.通常把命题表示为“若,则”和“是”两种形式,其中,是命题的条件,是命题的结论. ★3．的含义 (1)当命题“若,则”为真命题时,就说能推出,记作“”. (2)当命题“若,则”为假命题时,就说推不出,记作. 知识点二 必要条件 ★1．概念 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． ★2．性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 注意： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”． (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”． ★3．必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． 知识点三 充分条件与判定定理 ★1．充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件． ★2．判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． ★3．必要条件与充分条件 对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． 注意： (1)叙述充分、必要条件时，注意p和q的前后顺序． (2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”． ★4. 充分条件与判定定理 一般地,数学中的每一个判定定理都给出了使相应数学结论成立的一个充分条件. ★5. 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 题型一、判断命题的充分不必要条件 解题技巧提炼 利用定义法判断必要条件、充分条件的步骤 (1)分清命题的条件p和结论p. (2)化简条件p和结论p. (3)找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假. (4)根据推式及定义得出结论. 1．（23-24高一上·江西九江·期末）设，则“是合数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由合数、充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】由是合数知，能得出，但由不一定能得出是合数，故“是合数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 因为“”“”，但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，则“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A：即，因为，所以不一定成立，故A错误； 对于B：即，因为，所以不一定成立，故B错误； 对于C：即，因为，所以不一定成立，故C错误； 对于D：即，则成立，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高一上·河南商丘·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，即可判断. 【详解】解：， 因为“”“”，但“””， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 题型二、根据充分不必要条件求参数 解题技巧提炼 根据必要条件、充分条件求参数的方法 (1)记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系:若p是q的充分不必要条件,则AB;若p是q的必要不充分条件,则BA;若p是q的充要条件,则A＝B. (3)根据集合间的关系列关于参数的方程或不等式(组). (4)解方程或不等式(组)即可得参数. 5．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 6．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 7．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再根据集合得包含关系即可得解； （2）由题意可得，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，. 8．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求出集合，利用集合的并集运算从而可求解. （2）由题意可知集合是集合的真子集，再分类讨论，从而可求解. 【详解】（1）由题意知，当，得， 因为，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 当时，即，解得； 当时，即，解得 综上实数的取值范围为. 题型三、判断命题的必要不充分条件 解题技巧提炼 探求充分条件、必要条件的方法 首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件。 9．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的规定,分别判断充分性和必要性是否满足即得. 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 10．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的性质判断即可得. 【详解】由题知命题表示正整数a能被2整除， 而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出， 而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B． 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得， 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 12．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为 ⫋， 所以：，是：的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 题型四、根据必要不充分条件求参数 解题技巧提炼 从以下两点考虑: (1)从集合角度认识条件与结论的关系;(2)根据集合之间的包含关系,寻找参数满足的条件. 13．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 14．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 15．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 16．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 题型五、充分条件的判定及性质 解题技巧提炼 “p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”的区别 ①p是q的充分条件说明p是条件，q是结论; ②p的充分条件是q说明q是条件，p是结论. 17．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件直接判断即可. 【详解】当，则成立，但不成立， 所以充分性不成立； 因为，所以， 又因为，所以，即， 所以必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 18．（23-24高一上·新疆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解方程求的根，根据充分、必要性定义判断它们的关系. 【详解】由，可得或， 所以是的充分不必要条件. 故选：C 19．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 20．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知非空集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集和交集的定义可得结果. （2）由“”是“”的充分条件，得,根据子集关系可得结果. 【详解】（1）当时，，或，又， 所以. （2）若“”是“”的充分条件，即, 因为P是非空集合，所以，即， 所以，解得， 故实数a的取值范围为：. 题型六、必要条件的判定及性质 解题技巧提炼 若p是q的必要条件,则p,q的推出关系是q⇒p,可简记为“后推前”. 21．（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 22．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先由题意求出，然后根据必要条件的定义逐个分析判断即可. 【详解】因为条件，所以， 对于A，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以A错误； 对于B，因为能推出，所以是的必要条件，所以B正确； 对于C，因为不能推出，所以不是的必要条件，所以C错误； 对于D，因为能推出，所以是的必要条件，所以D正确． 故选：BD． 23．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 24．（21-22高一上·吉林通化·期中）集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念求解即可. （2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）若，，. 则，. （2）因为是的必要条件，所以. 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 知识点一 命题 ★1．概念 可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题. 判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题. ★2．命题的形式 一般地,一个命题由条件和结论两部分组成.通常把命题表示为“若,则”和“是”两种形式,其中,是命题的条件,是命题的结论. ★3．的含义 (1)当命题“若,则”为真命题时,就说能推出,记作“”. (2)当命题“若,则”为假命题时,就说推不出,记作. 知识点二 必要条件 ★1．概念 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． ★2．性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 注意： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”． (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”． ★3．必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． 知识点三 充分条件与判定定理 ★1．充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件． ★2．判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． ★3．必要条件与充分条件 对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． 注意： (1)叙述充分、必要条件时，注意p和q的前后顺序． (2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”． ★4. 充分条件与判定定理 一般地,数学中的每一个判定定理都给出了使相应数学结论成立的一个充分条件. ★5. 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 题型一、判断命题的充分不必要条件 解题技巧提炼 利用定义法判断必要条件、充分条件的步骤 (1)分清命题的条件p和结论p. (2)化简条件p和结论p. (3)找推式:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假. (4)根据推式及定义得出结论. 1．（23-24高一上·江西九江·期末）设，则“是合数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，则“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南商丘·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二、根据充分不必要条件求参数 解题技巧提炼 根据必要条件、充分条件求参数的方法 (1)记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系:若p是q的充分不必要条件,则AB;若p是q的必要不充分条件,则BA;若p是q的充要条件,则A＝B. (3)根据集合间的关系列关于参数的方程或不等式(组). (4)解方程或不等式(组)即可得参数. 5．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 8．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型三、判断命题的必要不充分条件 解题技巧提炼 探求充分条件、必要条件的方法 首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件。 9．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（23-24高一上·浙江杭州·期末）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 题型四、根据必要不充分条件求参数 解题技巧提炼 从以下两点考虑: (1)从集合角度认识条件与结论的关系;(2)根据集合之间的包含关系,寻找参数满足的条件. 13．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 16．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 题型五、充分条件的判定及性质 解题技巧提炼 “p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”的区别 ①p是q的充分条件说明p是条件，q是结论; ②p的充分条件是q说明q是条件，p是结论. 17．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 18．（23-24高一上·新疆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知非空集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 题型六、必要条件的判定及性质 解题技巧提炼 若p是q的必要条件,则p,q的推出关系是q⇒p,可简记为“后推前”. 21．（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 24．（21-22高一上·吉林通化·期中）集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$