精品解析：辽宁省沈阳市第四十三中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题

2023-2024下学期·四月月考·八年级（43中学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B错误； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C正确； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 已知，则下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】， ， ， ∴ 选项A不符合题意； ， ， 选项B符合题意； ， ， 选项C不符合题意； ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 3. 下图中的数轴所表示的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了再数轴上表示不等式的解集，找准分界点和方向是解题关键，同时注意实心点和空心圆圈的区别．根据数轴写出不等式解集即可． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是， 故选：D． 4. 线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E(﹣1，3)的对应点M(2，5)，则点F(﹣3，﹣2)的对应点N的坐标是(　　) A. (﹣1，0) B. (﹣6，0) C. (0，﹣4) D. (0，0) 【答案】D 【解析】 【分析】各对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标加2，那么让点F的横坐标加3，纵坐标加2即为点N的坐标． 【详解】解：线段MN是由线段EF经过平移得到的，点E（﹣1，3）的对应点M（2，5），故各对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标加2， ∴点N的横坐标为：﹣3+3=0；点N的纵坐标为﹣2+2=0； 即点N的坐标是（0，0）． 故选D． 【点睛】本题考查图形的平移变换，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，解决本题的关键是找到各对应点之间的变化规律． 5. 如图，在平行四边形中，已知，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵平行四边形，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 若，的面积为18，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质及三角形面积公式的应用； 作，，根据作图过程可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，再根据的面积为18，求出的长，进而可得结果． 【详解】如图，过点作于点，于点 根据作图过程可知： 是的角平分线 ∵ 故选：D． 7. 如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在上，且，则的大小是（ ） A. 28° B. 30° C. 33° D. 42° 【答案】C 【解析】 【分析】先由旋转的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，接着求出，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，灵活运用所学知识是解题的关键． 8. 如图，某学校欲增设一个篮球场，为了方便学生活动，要求新建的篮球场到A点、B点和C点的距离均相等，则篮球场应该建设在（ ） A. 两边垂直平分线的交点处 B. 在两边中线的交点处 C. 在两内角平分线的交点处 D. 在两边高线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】作两边的垂直平分线，它们的交点是P， 由线段的垂直平分线的性质，， 故选：A． 9. 对于不等式组，下列说法正确的是（ ） A. 此不等式组的解集是 B. 此不等式组有4个整数解 C. 此不等式组的正整数解为1，2，3，4 D. 此不等式组无解 【答案】B 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到x≥0和x＜4，利用“大小小大取中间”可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断． 【详解】解：， 解①得x≥0， 解②得x＜4， 所以不等式组的解集为0≤x＜4， 所以不等式组的正整数解为0，1，2，3． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解：解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质逐个判断即可． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ①， 故①正确； ②∵，，，， ∴， 故②正确； ③如图，连接，作于M，于N． ∵，， ∴， ∴， ∴当时才有； 故③错误； ④∵，，， ∴， ∴， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°， ∴BD=AD=6， ∴CD=BD=6×=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、含30°角的直角三角形、等腰三角形的判定以及角的平分线的定义．解题的关键是熟练掌握有关性质和定理． 12. 夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 _____m． 【答案】140 【解析】 【详解】将小桥横，纵两方向都平移到一边可知，小桥总长中矩形周长的一半，为140m． 13. 如图，正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用两条直线的交点求不等式的解集，先求出点的横坐标，找到直线在直线上方时的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴， 由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质和角平分线的定义证明和均为等腰三角形，易得，，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________． 【答案】4或3 【解析】 【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴AP=A′P， ∴∠PAA′=∠AA′P， ∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°， ∴∠PCA′=∠PA′C， ∴PC=PA′， ∴PC=AC=4， 如图2，当∠ACA′=90°时， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6． ∴AB=10， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴A′B=AB=10，PA=PA′， ∴A′C=4， 设PC=x， ∴AP=8-x， ∵A′C2+PC2=PA′2， ∴42+x2=（8-x）2， 解得：x=3， ∴PC=3， 综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3， 故答案为：4或3． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题 16. 计算 （1）解不等式：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次不等式组． （1）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题； （2）先分别解不等式，再取公共部分即可． 【小问1详解】 不等式两边同乘以6，得 去括号，得 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 故原不等式的解集是； 【小问2详解】 由不等式，得， 由不等式，得， 故原不等式组的解集是． 17. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质． （1）由线段垂直平分线性质得到，因此，求出，即可得到； （2）设，由勾股定理得，求出，得到． 【小问1详解】 垂直平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 设，则， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 18. 在“垃圾分类，你我有责”活动中，某校准备购买A、B两类垃圾桶共40个，其中A类垃圾桶的个数不多于B类垃圾桶的个数的2倍． （1）求最多能够买几个A类垃圾桶； （2）若A类垃圾桶单价为25元，B类垃圾桶单价为45元，则购买两类垃圾桶最少需要________元． 【答案】（1）最多能够买26个A类垃圾桶； （2）1280 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，根据数量关系正确列式是解题关键． （1）设够买A类垃圾桶个，则够买Ｂ类垃圾桶个，根据题意列一元一次不等式求解即可 （2）设购买两类垃圾桶的花费为元，根据题意列一次函数，再根据一次函数的增减性求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设够买A类垃圾桶个，则够买B类垃圾桶个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大取值为26， 即最多能够买26个A类垃圾桶； 【小问2详解】 解：设购买两类垃圾桶的花费为元， 由题意得，， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为， 购买两类垃圾桶最少需要1280元， 故答案为：1280． 19. 如图，在平面直角坐标系中，和关于点E称中心对称． （1）请写出点E的坐标________； （2）画出绕点O逆时针旋转后的； （3）若将点E平移到处，则需要平移的最短距离为________； （4）在x轴上存在一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）连接，它们的交点为E，根据图形确定坐标即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点即可； （3）找到将点E平移到处的路径，再计算即可； （4）作关于轴的对称点，若周长最小，则即最小，根据最短路径即可得到点P为与轴的交点，观察图形求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：连接，它们的交点为E，由图形可得点E的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：由图形可得：点E向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度到处， ∴若将点E平移到处，则需要平移的最短距离为， 故答案为：； 【小问4详解】 作关于轴的对称点，若周长最小，则即最小，根据最短路径即可得到点P为与轴的交点， 由图形可得，， ∴设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 令，由得， ∴与轴的交点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画旋转图形，图形的平移，画两个图形的对称中心，求一次函数的解析式，最短路径问题等，熟练掌握最短路径问题是解题的关键． 20. （1）如图1，平行四边形的对角线、交于点O，过点O作直线，分别交、于点E、F，求证：； （2）如图2，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点B坐标是，点D的坐标是，直线平分平行四边形的面积，请直接写出k的值为________． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）由平行四边形的性质，证明，即可得出结论； （2）连接、交于点，根据坐标中点公式，得出点坐标为，再根据平分平行四边形面积的直线必过对角线交点，将点代入直线，求出k的值即可． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，连接、交于点， 四边形是平行四边形，点B的坐标是，点D的坐标是， 点坐标为， 直线平分平行四边形的面积， 直线过点， ， 解得：， 故答案为：． 21. 【问题】认识“倍力桥”的结构 图1是搭成的“倍力桥”，纵梁、夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固；图2是长为（cm）、宽为3的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为、、，，2，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计． （1）探究1：图3是“桥”侧面示意图，A、B为横梁与地面的交点，C、E为圆心，D、、是横梁侧面两边的交点，测得，点C到的距离为12． ①求的值； ②请直接写出的长为________； （2）探究2：若由12根横梁搭成的“桥”刚好能绕城环，其侧面示意图的内部形成一个正十二边形，即这个十二边形每条边长都相等，每个内角都是，请直接写出的值为________． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】考查的是相似的性质和判定、正多边形的性质、勾股定理． （1①根据等腰三角形性质可求出长度，利用勾股定理即可求出长度，从而求出值； ②由可得，代入计算即可． （2）根据十二边形的特性可知，利用特殊角求出长度，根据求得值． 【小问1详解】 ①过点作于点． 由题意，得，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 【小问2详解】 过点作于点， 由题意，得，，，，，， ，, ，， ∴ ， 故答案为：． 22. 综合与实践 【发现问题】在学习旋转时，小明发现，如图1，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，则为等边三角形； 【提出问题】依据小明的发现，小红提出这样的问题：如图2，为等边三角形，点D在边上，将绕着点A逆时针旋转后得到，连接，则是绕点A旋转后得到的图形吗？请做出判断并说明理由； 【解决问题】如图3，点P为等边三角形内一点，且，求的长； 【学以致用】如图4，设村庄A、B、C的连线构成一个三角形，且已知，，现欲建设中转站P沿直线向A、B、C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A、B、C的铺设成本均为4万元，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为________万元． 【答案】（提出问题）是绕点A旋转后得到的图形 （解决问题） （学以致用）总的铺设成本最低为万元 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质； （提出问题）根据旋转的性质判定即可； （解决问题）把逆时针旋转，此时与重合，对应点，即可得到是等边三角形，是直角三角形，且、、三点共线，利用勾股定理计算即可； （学以致用）把顺时针旋转得到，即可得到、是等边三角形，得到，在中求出的长，即可得到最小值，进而得到最低成本． 【详解】解：（提出问题）∵为等边三角形， ∴可以看成将线段绕点A逆时针旋转后得到线段， ∵将绕着点A逆时针旋转后得到， ∴是绕点A逆时针旋转后得到得到的图形； （解决问题）把逆时针旋转，此时与重合，对应点，则，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴, ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴； （学以致用）把顺时针旋转得到，则，，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 过作于， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴最小值为， ∴总的铺设成本最低为万元 故答案为：． 23. 【问题提出】在中，，一动点D从点A出发，沿折线运动，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接，若点D在上的运动速度为，在上的速度为，设运动的时间为，围成的图形的面积为，探究S与t的关系； 【初步感知】某数学活动小组在研究此类动点问题时，想利用数形结合的思想，通过画图象来解决此类问题． （1）如图1，当点D在线段上时，经探究发现S与t的函数图象如图所示，求所在直线的表达式； 【延伸探究】 （2）若存在3个时刻、、（）对应的的面积均相等． ①________； ②当时，求的面积S的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）取中点，证明，得到，即可得到S与t的函数关系； （2）①分别求出三种情况下的函数解析式，令，用a表示出，代入计算即可； ②根据的关系，代入计算，求得a值，即S值． 【详解】（1）当点D在线段上时，取中点，连，则，，， ∵将绕点D顺时针旋转90°得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 当点D在线段上时，，，， ∴， ∴， 当点D在线段上时，，，， ∴， ∴， ∴所在直线的表达式为； （2）①当点D在线段上时，， ∵， ∴, 令， 当点D在线段上时，， 当点D在线段上时，， 当点D在线段上时，， ∴， 故答案为：2； ②∵， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024下学期·四月月考·八年级（43中学） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图中的数轴所表示的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E(﹣1，3)的对应点M(2，5)，则点F(﹣3，﹣2)的对应点N的坐标是(　　) A. (﹣1，0) B. (﹣6，0) C. (0，﹣4) D. (0，0) 5. 如图，在平行四边形中，已知，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 若，的面积为18，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 7. 如图，是由绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在上，且，则的大小是（ ） A. 28° B. 30° C. 33° D. 42° 8. 如图，某学校欲增设一个篮球场，为了方便学生活动，要求新建的篮球场到A点、B点和C点的距离均相等，则篮球场应该建设在（ ） A. 两边垂直平分线的交点处 B. 在两边中线的交点处 C. 在两内角平分线的交点处 D. 在两边高线的交点处 9. 对于不等式组，下列说法正确的是（ ） A. 此不等式组解集是 B. 此不等式组有4个整数解 C. 此不等式组的正整数解为1，2，3，4 D. 此不等式组无解 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______. 12. 夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 _____m． 13. 如图，正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是_____． 14. 如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为__________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________． 三、解答题 16. 计算 （1）解不等式：； （2）解不等式：． 17. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 18. 在“垃圾分类，你我有责”活动中，某校准备购买A、B两类垃圾桶共40个，其中A类垃圾桶的个数不多于B类垃圾桶的个数的2倍． （1）求最多能够买几个A类垃圾桶； （2）若A类垃圾桶单价为25元，B类垃圾桶单价为45元，则购买两类垃圾桶最少需要________元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，和关于点E称中心对称． （1）请写出点E的坐标________； （2）画出绕点O逆时针旋转后的； （3）若将点E平移到处，则需要平移的最短距离为________； （4）在x轴上存在一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为________． 20. （1）如图1，平行四边形的对角线、交于点O，过点O作直线，分别交、于点E、F，求证：； （2）如图2，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标是，点D的坐标是，直线平分平行四边形的面积，请直接写出k的值为________． 21. 【问题】认识“倍力桥”的结构 图1是搭成的“倍力桥”，纵梁、夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固；图2是长为（cm）、宽为3的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为、、，，2，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计． （1）探究1：图3是“桥”侧面示意图，A、B为横梁与地面的交点，C、E为圆心，D、、是横梁侧面两边的交点，测得，点C到的距离为12． ①求的值； ②请直接写出的长为________； （2）探究2：若由12根横梁搭成的“桥”刚好能绕城环，其侧面示意图的内部形成一个正十二边形，即这个十二边形每条边长都相等，每个内角都是，请直接写出的值为________． 22. 综合与实践 【发现问题】在学习旋转时，小明发现，如图1，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，则为等边三角形； 【提出问题】依据小明的发现，小红提出这样的问题：如图2，为等边三角形，点D在边上，将绕着点A逆时针旋转后得到，连接，则是绕点A旋转后得到的图形吗？请做出判断并说明理由； 【解决问题】如图3，点P为等边三角形内一点，且，求的长； 【学以致用】如图4，设村庄A、B、C的连线构成一个三角形，且已知，，现欲建设中转站P沿直线向A、B、C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A、B、C的铺设成本均为4万元，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为________万元． 23. 【问题提出】在中，，一动点D从点A出发，沿折线运动，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接，若点D在上的运动速度为，在上的速度为，设运动的时间为，围成的图形的面积为，探究S与t的关系； 【初步感知】某数学活动小组在研究此类动点问题时，想利用数形结合的思想，通过画图象来解决此类问题． （1）如图1，当点D在线段上时，经探究发现S与t的函数图象如图所示，求所在直线的表达式； 延伸探究】 （2）若存在3个时刻、、（）对应的的面积均相等． ①________； ②当时，求的面积S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$